www.etrapez.pl 

Strona 1 

 

 
 

 

 
 

KURS 

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 

 

Lekcja 6 

Funkcje uwikłane 

 
 

ZADANIE DOMOWE 

 

 

 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 2 

 

Częśd 1: TEST 

Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). 

Pytanie 1 

Które z poniższych wyrażeo przedstawia funkcję w postaci uwikłanej? 

a) 

2

2

y

x



 

b) 

2

1

y

x





 

c) 

 

 

2

1

x t

t

y t

t



 









 

d) 

 

sin

0

xy



 

Pytanie 2 

Jeśli y jest funkcją daną w postaci uwikłanej znaczy to, że… 

a)  x jest zmienną zależną od y w wyrażeniu 

 

,

0

F x y



 

b)  y jest zmienną zależną od x w wyrażeniu 

 

,

0

F x y



 

c)  x i y są zmiennymi wzajemnie zależnymi w wyrażeniu 

 

,

0

F x y



 

d)  x i y są zmiennymi wzajemnie niezależnymi w wyrażeniu 

 

,

0

F x y



 

Pytanie 3 

 

,

0

F x y



 

Pochodna z funkcji uwikłanej y równa jest… 

a)  iloczynowi pochodnych cząstkowych po x i y z funkcji F ze znakiem minus 
b)  sumie pochodnych cząstkowych po x i y z funkcji F ze znakiem minus 
c)  ilorazowi pochodnej cząstkowej po x z funkcji F przez pochodną cząstkową po y z 

funkcji F ze znakiem minus 

d)  różnicy pochodnych cząstkowych po x i y z funkcji F ze znakiem minus 

 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 3 

 

Pytanie 4 

Pochodna z funkcji uwikłanej jest funkcją… 

a)  Zmiennych x i y (otrzymujemy równanie różniczkowe) 
b)  Tylko zmiennej x 
c)  Tylko zmiennej y 
d)  Stałą 

Pytanie 5 

sin

1

y

x

 

 

Jak można wyznaczyd pochodną z funkcji y w powyższym wyrażeniu?

 

a)  Obliczając pochodną z 

1

x



 

b)  Dzieląc obie strony przez 

sin

 

c)  Jest to niemożliwe 
d)  Przenosząc x i 1 na lewą stronę równania i obliczając pochodną z funkcji uwikłanej 

Pytanie 6 

Pochodną drugiego rzędu z funkcji uwikłanej liczymy… 

a)  Obliczając pochodną z pochodnej pierwszego rzędu 
b)  Podstawiając odpowiednie pochodne cząstkowe do gotowego wzoru 
c)  Obliczenie takiej pochodnej jest niemożliwe 
d)  Przy zadaniach na styczną i normalną do krzywej w postaci uwikłanej 

Pytanie 7 

Jak można sprawdzid, czy funkcja w postaci uwikłanej osiąga ekstremum w danym punkcie?

 

a)  Rozwiązując układ równao 









,

0

,

0

F x y

F

x y

x











 



 

b)  Podstawiając współrzędne punktu do związku 





,

0

F x y



 

c)  Obliczając pochodną drugiego rzędu z funkcji, podstawiając do niej współrzędne 

punktu i sprawdzając znak wyniku 

d)  Obliczając pochodną pierwszego rzędu z funkcji, podstawiając do niej współrzędne 

punktu i sprawdzając znak wyniku 

 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 4 

 

Pytanie 8 

Czy ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych i ekstrema z funkcji uwikłanej są tym samym? 

1)  Nie 
2)  Tak, jedne można sprowadzid do drugich 

Pytanie 9 

Co to jest normalna do krzywej w punkcie P? 

a)  Prosta przecinająca krzywą tylko w jednym punkcie P 
b)  Prosta stykająca się z krzywą tylko w jednym punkcie P 
c)  Prosta prostopadła do stycznej do krzywej w punkcie P 
d)  Prosta równoległa do krzywej w punkcie P 

Pytanie 10 

 

F

P

y





 

Co oznacza powyższy zapis? 

a)  Pochodną cząstkową po y z funkcji F przemnożoną przez P 
b)  Pochodną cząstkową po y z funkcji F przemnożoną przez funkcję P 
c)  Pochodną cząstkową po y z funkcji F 
d)  Pochodną cząstkową po y z funkcji F, do której wstawiono współrzędne punktu P 

 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 5 

 

Częśd 2: ZADANIA 

Zad.1 

Oblicz pochodne pierwszego rzędu z funkcji uwikłanych: 

1) 

2

2

0

x

y



 

 

2) 

2

2

3

2

4

6

5

0

x

xy

y

x

y





 

 

 

3) 

2

2

4

12

4

0

x

xy

y









 

4) 

2

2

0

y

y

e

x e

x









 

Zad.2 

Oblicz pochodne pierwszego i drugiego rzędu z funkcji uwikłanych: 

1) 

2

2

2

4

7

0

x

y

x

y







 

 

2) 

2

2

16

x

y





 

3) 

2

3

10

0

x

y

e







 

Zad.3 

Oblicz ekstrema z funkcji uwikłanych: 

1) 

2

2

2

5

2

4

1

0

x

xy

y

x

y









 

 

2) 

2

2

1

2

4

0

4

x

xy

y

y







 

 

3) 

2

2

16

xy

x y



 

 

Zad.4 

Oblicz styczne i normalne do krzywych w danych punktach: 

1) 

 

3

2

1

0

1, 0

x

x

y

M

 

  

 

2) 

2

1

1

1,

1

2

y

M

x

















 

3) 

 

2

3

2

4

0

1, 2

x y

y

M



 

 

KONIEC