www.etrapez.pl 

Strona 1 

 

 
 

 

 
 

KURS 

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 

 

Lekcja 8 

Ekstrema warunkowe (mnożnik Lagrange’a) 

 
 

ZADANIE DOMOWE 

 

 

 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 2 

 

Częśd 1: TEST 

Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). 

Pytanie 1 

Jak inaczej określid można obliczanie ekstremów warunkowych? 

a)  Obliczaniem ekstremów globalnych spełniających pewien warunek 
b)  Obliczaniem ekstremów absolutnych 
c)  Obliczaniem ekstremów lokalnych spełniających pewien warunek 
d)  Obliczaniem największych i najmniejszych wartości funkcji spełniających pewien 

warunek 

Pytanie 2 

 

2

2

,

f x y

x

y





 

przy warunku, że: 

1 0

x

y

  

 

Mamy do obliczenia ektrema powyższej funkcji z danym warunkiem. Co należy zrobid w tym 
momencie zadania?

 

a)  Utworzyd funkcję:  

 





2

2

,

1

F x y

x

y

x

y









 

 

b)  Obliczyd pochodne cząstkowe:  

,

f

f

x

y

 

 

 

c)  Utworzyd układ równao:  

2

2

0

1

0

x

y

x

y









  



 

d)  Utworzyd funkcję:  

 





2

2

,

F x y

x

y

x

y











 

Pytanie 3 

Jakie są elementy pierwszego wiersza i pierwszej kolumny hesjana obrzeżonego? 

a)  Zero i pochodne cząstkowe drugiego rzędu po x i y liczone z pochodnej cząstkowej po 

x 

b)  Zero i pochodne cząstkowe drugiego rzędu po x i y liczone z pochodnej cząstkowej po 

y 

c)  Zero i pochodne cząstkowe po x i y liczone z funkcji, która jest warunkiem 
d)  Zero i pochodne cząstkowe liczone po 



 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 3 

 

Pytanie 4 

Wyznacznik z hesjanu obrzeżonego w punkcie A wyszedł równy 1. Co to oznacza? 

a)  Że w punkcie A funkcja osiągnęła minimum warunkowe 
b)  Że w punkcie A funkcja osiągnęła minimum warunkowe o wartości 1 
c)  Że w punkcie A funkcja osiągnęła maksimum warunkowe 
d)  Że w punkcie A funkcja osiągnęła maksimum warunkowe o wartości 1 

Pytanie 5 

Jeżeli otrzymamy warunek w postaci:   

2

2

9

x

y





  

…co należy zrobid w tym momencie zadania?   

a)  Narysowad okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 3 

b)  Utworzyd funkcję:  

 





2

2

2

2

,

9

F x y

x

y

x

y













 

c)  Obliczyd pochodne cząstkowe z funkcji 

2

2

9

x

y





 

d)  Przenieśd 9 na lewą stronę równania warunku 

Pytanie 6 

2

xy



 

Pochodna z powyższego wyrażenia liczona po 



 wyniesie… 

a)  2 xy



 

b) 

2

xy

 

c) 

2

y



 

d)  0  

 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 4 

 

Pytanie 7 

W pierwszym etapie zadania wyszedł nam punkt stacjonarny (taki, w którym może byd 

ekstremum) o współrzędnych 





1

1, 2,30

P

 

 .  W drugiej części zadania okazało się, że w tym 

punkcie zostało osiągnięte minimum. Oznacza to, że…

 

a)  Funkcja osiąga minimum w punkcie 





1, 2

 

, a wartośd funkcji w minimum musimy 

jeszcze policzyd 

b)  Funkcja osiąga minimum w punkcie 





1, 2

 

, a wartośd funkcji w minimum równa 

jest 30 

c)  Funkcja osiąga minimum w punkcie 





1, 2,30

 

 

d)  Funkcj osiąga minimum, ale nie możemy określid jego wartości  

Pytanie 8 

Jaką maksymalną ilośd ekstremów warunkowych może przyjmowad funkcja? 

1)  Dwa 
2)  Nie ma takiej maksymalnej ilości 
3)  Cztery 
4)  Dwa minima i dwa maksima 

Pytanie 9 

W pierwszym etapie zadania po porównaniu odpowiednich pochodnych do zera mamy układ 
równao. Po wyznaczeniu z pierwszego równania zmiennej x i wstawieniu wyznaczonej 
zmiennej do pozostałych dwóch równao otrzymaliśmy trzecie równanie w postaci:   2 0

 

 . 

Co to oznacza? 

a)  Że układ jest sprzeczny i nie można określid, czy ekstrema warunkowe funkcji istnieją, 

czy nie 

b)  Że funkcja nie osiąga żadnych ekstremów warunkowych 
c)  Że funkcja osiąga nieskooczenie wiele ekstremów warunkowych 
d)  Że należy wyznaczyd zmienne y i 



 z drugiego równania 

Pytanie 10 

Czy ekstrema warunkowe funkcji zawsze istnieją? 

a)  Tak 
b)  Nie

 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 5 

 

Częśd 2: ZADANIA 

Oblicz ekstrema warunkowe funkcji przy zadanym warunku: 

1) 





2

2

,

1

f x y

x

y

x

y

 





 

2) 





2

2

2

2

,

16

f x y

x

y

x

y









 

3) 





2

2

,

3

2

2

10

f x y

x

y

x

y

x

y





 





 

 

4) 





2

2

1

1

1

1

,

1

0

f x y

x

y

x

y

 



 

 

KONIEC