T.1.

 

POMIARY

 

PARAMETRÓW

 

PRĄDU

 

STAŁEGO

 

PRZYRZĄDAMI

 

 

ANALOGOWYM 

 
 
I. PROTOKÓŁ POMIAROWY  

Nieodzowną  częścią  każdego  ćwiczenia  laboratoryjnego  jest  sporządzenie  właściwej  jego 

dokumentacji.  Z  reguły  zbiór  podstawowych  dokumentów  obejmuje  wypełniany  w  trakcie 
wykony

wania  pomiarów  protokół  oraz  sporządzone  na  jego  podstawie  sprawozdanie, 

stanowi

ące  ostateczne  podsumowanie  przeprowadzonych  pomiarów.  Protokół  pomiarowy  jest 

dokumentem, który należy prowadzić na bieżąco z wykorzystaniem wcześniej przygotowanego 
for

mularza.  Powinien  on  być  zwięzły,  ale  jednocześnie  zawierać  taką  ilość  informacji  o 

przeprowadzanym  eksperymencie  i  warun

kach  w  jakich  się  on  odbywał,  aby  mógł  być 

zrozumiały przez inne osoby nie biorące bezpośredniego udziału w pomiarach.  

Wyniki odczyta

ne z przyrządów powinny być natychmiast notowane. Z uwagi na możliwość 

powstania  błędów,  niedopuszczalne  jest  jakiekolwiek  przeliczanie  ich  w  pamięci  przed 
wpisaniem  do  protokołu.  Kolejność  czynności  powinna  być  następująca:  odczyt  –  zapis  – 
sprawdzenie od

czytu z zapisem. Niewskazane jest również przepisywanie protokołu, głównie ze 

względu na powstające wówczas pomyłki, przeinaczenia, pomijanie tych wyników, które wydają 
się  mniej ważne lub błędne.  Na odrzucenie danego wyniku  można decydować się  dopiero  na 
etapie ostatecznego sprawozda

nia, po wykonaniu stosownych obliczeń i rozważeniu wszystkich 

warunków wykonania eksperymentu. 

Mimo  wymogów  wypełniania  na  bieżąco,  protokół  powinien  być  prowadzony  starannie. 

Niechlujne  lub  nieczytelne  notowa

nie  wyników  jest  częstym  powodem  błędnych  interpretacji 

i 

świadczy o niskiej kulturze technicznej eksperymentatora. Do podstawowych informacji, które 

z reguły powinny znaleźć się w każdym protokole należą: 
1) 

dane  dotyczące  osoby  lub  osób  przeprowadzających  pomiary,  miejsce,  data  i  temat, 
zestawio

ne najczęściej w formie odpowiedniej tabeli nagłówkowej, 

2) 

cel pomiarów, 

3) 

niezbędne dane teoretyczne o przeprowadzanych pomiarach (jeśli wymagane), 

4) 

wykaz aparatury, najlepiej sporządzony w formie odpowiedniej tabeli,  

5)  ponumerowane schemat

y układów pomiarowych, umieszczone pod odpowiednimi punktami 

pomiarowymi, 

6) 

wyniki  pomiarów  sporządzone,  o  ile  to  jest  tylko  możliwe,  w  postaci  tabeli  zaopatrzonej 
w 

numer  i  tytuł.  Tabela  jest  najbardziej  jasną  i  zwartą  formą  zapisu.  Każda  kolumna  lub 

każdy  wiersz  w  tabeli  powinny  być  oznaczone  symbolem  wielkości,  której  wartości  one 
zawierają,  symbolem  jednostki,  w  której  te  wartości  są  podawane  oraz  numerem 
porządkowym. 

 
II. ZASADY OPRACOWANIA SPRAWOZDANIA 

Sprawozdanie  z  przeprowadzonych  po

miarów  tworzy  się  na  podstawie  oryginalnego 

protokołu  pomiarów.  W  zależności  od  wymagań  stawianych  autorowi,  może  ono  przybierać 
różne formy. Najczęściej jednak obejmuje następujące części składowe: 
1) 

tabelę nagłówkową zawierająca dane o autorze, dacie wykonania i tytuł, 

2)  str

eszczenie będące zwięzłą prezentacją całej treści, 

3) 

krótki  opis  podstaw  teoretycznych  przeprowadzanego  doświadczenia  (lub  doświadczeń 
przypisanych do odpo

wiednich punktów pomiarowych protokołu) z uwzględnieniem zwięzłej 

prezentacji zastosowanych metod pomiarowych, 

4) 

opracowane  wyniki  pomiarów  –  wyniki  wykonanych  obliczeń,  przykładowe  obliczenia, 
wykresy, 

5) 

dyskusję otrzymanych wyników. 

 

 

 

2 

III. PRZYRZĄDY POMIAROWE  
 
1. Amperomierz analogowy 

Przyrząd  taki  jest  najczęściej  wykonywany  w  oparciu  o  ustrój  magnetoelektryczny  (ME). 

Ustrój  taki  jest  typowym  ustrojem  amperomierzowym,  ponieważ  kąt  wychylenia  organu 
ruchomego  zależy  od  natężenia  prądu  płynącego  przez  uzwojenie  ustroju  a  nie  od  napięcia. 
Zależność ta jest liniowa.  Mierniki  ME charakteryzują  się  dużą czułością  i już prądy  rzędu 



A 

czy  mA  powodują  znaczne  wychylenie  organu  ruchomego,  do  którego  mocowana  jest 
wskazówka miernika.  

Amperomierze o zakresie pomiarowym od 1 



 do 25 mA a nawet do 0,5 A wykonywane 

są  jako  amperomierze  bezpośrednie,  tzn.,  że  przez  ustrój  miernika  płynie  cały  prąd  mierzony 
(rys.  1

a).  Aby  móc  zwiększyć  zakres  natężenia  prądu,  który  można  by  mierzyć  za  pomocą 

takiego  ustroju  bocznikuje  go  rezystorami  o  wartościach  mniejszych  od  rezystancji  ustroju. 
Sposób rozszerzania zakresu amperomierza przedstawia rys. 1b.  

I 

I

N

 

R

Cu 

 

R

Cu 

 

R

d 

 

R

b 

 

P

 

 

a)

 

 

b)

 

 

I

Cu

 

 

Rys.1. Budowa amperomierza ME:  

a) amperomierz bezpośredni; 
b) amperomierz wielozakresowy z bocznikiem. 

 

Wskazania  takiego  amperomierza  powinny  być  niezależne  od  temperatury.  Zgodnie  z 

odpowiednimi  przepisami  w  zakresie  temperatur  (293



10)K  błąd  dodatkowy  od  temperatury 

otoczenia  nie  powinien  być  większy  od  błędu  podstawowego  przyrządu.  Rezystory 
bocznikujące wykonuje się z manganinu cechującego się niewielkimi zmianami rezystancji przy 
nawet  znacznych  zmia

nach  temperatury  (niski  współczynnik  temperaturowy  rezystancji). 

Tymczasem  uzwojenie  ustroju  ME  wykonywane  jest  z  miedzi,  która  ma  współczynnik 
temperaturowy rezystancji o dość dużej wartości. Zmiana temperatury spowodowałaby zmianę 
rozpływu  prądu między  ustrojem  a bocznikiem.  Aby  temu  zapobiec  szeregowo  do  ustroju  ME 
umieszcza  się  rezystor  dodatkowy,  wykonany  z  manganinu,  który  ma  kompensować  wpływ 
zmian temperatury. Można udowodnić, że wartość tego rezystora powinna spełniać następującą 
nierówność 

d

kl

d

kl

R

R

Cu

d

.

.

4





 

Stosując  odpowiednio  prawa  Kirchhoffa  można  wyprowadzić  wzór  na  wartość  rezystancji 
bocznika R

b

 

w zależności od prądu nominalnego, na jaki chcemy zaprojektować amperomierz.  

Cu

N

Cu

d

Cu

b

I

I

I

R

R

R







)

(

 

Rezystancja wewnętrzna amperomierza z bocznikiem jest równa 

d

Cu

b

d

Cu

b

we

R

R

R

R

R

R

R









)

(

 

Rezystancja  ta  musi  być  jak  najmniejsza,  aby  spadek  prądu  wywołany  włączeniem 
amperomierza  do  obwodu  pomiarowego  był  nie  większy  niż  błąd  podstawowy  (graniczny) 
amperomierza.  

 

3 

2. Woltomierz analogowy  

 
Woltomierze  an

alogowe  są  obecnie  wykonywane  najczęściej  w  oparciu  o  ustrój  ME. 

Mierniki  takie  służą  do  pomiaru  napięcia  stałego,  a  jeśli  są  wyposażone  w  odpowiedni 
przetwornik  AC/DC  to  można  je  wykorzystywać  także  do  pomiarów  napięć  zmiennych. 
Woltomierz ME powstaje, je

śli szeregowo do ustroju włączy się rezystor R

p

 zwany posobnikiem. 

Zadaniem  takiego  rezystora  jest  zapewnienie  dużej  rezystancji  wewnętrznej  woltomierza. 
Użycie  rezystora  o  dużej  wartości  ogranicza  wartość  natężenia  prądu  płynącego  przez  ustrój 
ME.  Maleje 

drastycznie  czułość  przyrządu,  ponieważ  ustrój  magnetoelektryczny  do  swojego 

działania potrzebuje przepływu prądu.  

Niezależnie  od  zakresu  pomiarowego  woltomierza,  aby  wskazówka  takiego  miernika 

mogła  wychylać  się  o  ten  sam  kąt  przez  ustrój  ME  musi  płynąć  ten  sam  prąd.  Zgodnie  z 
prawem  Ohma,  aby  zapewnić  ten  warunek  zmiana  zakresu  pomiarowego  wymusza  zmianę 
wartości  rezystancji  posobnika.  Im  zakres  woltomierza  jest  mniejszy,  tym  rezystancja  R

p 

  jest 

mniejsza.  Maleje  także  rezystancja  wewnętrzna.  Rezystancja  wewnętrzna  typowych 
woltomierzy  analogowych  waha  się  w  przedziale  od  kilkudziesięciu  omów  do  kilkudziesięciu 
kiloomów. Jest to podstawowa wada przyrządów o takiej konstrukcji.  

Bardzo  często  dla  woltomierzy  analogowych  podawana  jest  tzw.  jednostkowa 

rezys

tancja  wewnętrzna  określająca  wartość  rezystancji  wewnętrznej  przypadającej  na  1  wolt 

zakresu  pomiarowego.  Przeciwdziałanie  polega  na  tym,  że  cewkę  woltomierza  nawija  się 
cieńszym  drutem  i  ma  ona  więcej  zwojów  niż  amperomierze  ME.  Zwiększa  to  czułość 
przyr

ządu.  Innym  sposobem  jest  zastosowanie  na  wejściu  woltomierza  wzmacniacza  o  dużej 

rezystancji wejściowej.  

I

N

 

 

R

Cu 

 

 

R

p 

 

 

U

N 

 

 

 

Rys.2. Budowa woltomierza magnetoelektrycznego  

 

Na rys. 2 przedstawiono schemat ideowy typowego woltomierza analogowe

go. Wartości 

rezystorów R

p 

 

dobiera się tak, aby spełniona była zależność  

N

N

p

I

U

R



 

 

Nie uwzględnia ono rezystancji ustroju R

Cu

 

, ponieważ przyjęto założenie, że R

p

 



R

Cu

.  

Jeżeli  zrezygnuje  się  z  posobników,  to  ustrój  ME  może  być  także  wykorzystany  do  pomiaru 
napięcia o wartości nominalnej  
 

Cu

N

N

R

I

U



 

 
Mała  rezystancja  wewnętrzna  woltomierza  może  jednak  spowodować  zakłócenie  pracy 
badanego  urządzenia,  ponieważ  ulegnie  zmianie  rozpływ  prądów  w  obwodzie  pomiarowym. 
Zjawisko  to  jest 

źródłem  błędu dodatkowego,  którego  wartość  nie  może  przekraczać  wartości 

błędu podstawowego woltomierza. 
 
 
 
 

 

4 

3. Omomierz analogowy  

Omomierze  analogowe  wykonuje  się  w  oparciu  o  ustrój  ME.  Służą  one  do  pomiaru 

rezystancji  liniowej  lub  do  sprawdzania  ciągłości  obwodu  (wykrywanie  stanu  zwarcia  lub 
rozwarcia).  Idea  pracy  omomierza  polega  na  tym,  że  do  obwodu  pomiarowego  włącza  się 
badany  element.  Obwód  zasilany  jest  napięciem  stałym  -  na  ogół  z  bateryjki.  Doprowadzone 
napięcie wymusza przepływ prądu elektrycznego, którego natężenie jest mierzone za pomocą 
amperomierza  magnetoelektrycznego.  Przyrządy  tego  typu  nie  są  zbyt  dokładne  a  osiąga  się 
nimi dokładności pomiaru rzędu kilku do kilkunastu procent – w zależności od klasy. Wadą tego 
typu  przyrządów  jest  także  to,  że  w  trakcie  pomiaru  zmianie  może  ulegać  napięcie  baterii 
spowodowane  pobieraniem  z  niej  prądu  i  wzrostem  rezystancji  wewnętrznej  baterii  R

0

. 

Podziałka  miernika  jest  silnie  nieliniowa.  W  zależności  od  konfiguracji  obwodu  pomiarowego 
woltomierza  i  spos

obu  włączania  rezystora  badanego  względem  amperomierza  (ustroju  ME) 

rozróżnia się omomierze szeregowe i równoległe. 
 
3.1. Omomierz szeregowy 

Schemat  omomierza  szeregowego  przedstawia  rys.  3

.  Układ  składa  się  ze  źródła 

napięcia  stałego  o  sile  elektromotorycznej  E  i  rezystancji  R

0

,  rezystora  R

S

  i  ustroju 

magnetoelektrycznego. Badany element włączany jest szeregowo do pozostałych elementów. 

 

 

R

s 

R

x 

E

 

R

Cu 

R

0 

I

 

 

Rys.3. Schemat omomierza szeregowego 

 
Wartość prądu płynącego przez ustrój ME jest równa  
 

X

S

Cu

x

R

R

R

R

E

I









0

 

 
Największy możliwy prąd w układzie jest uzyskiwany wtedy, gdy rezystor R

x

 stanowi zwarcie.  

 

S

Cu

R

R

R

E

I







0

max

 

 
Dzieląc obydwa równania stronami otrzymamy 
 

X

S

Cu

S

Cu

X

R

R

R

R

R

R

R

I

I













0

0

max

 

 
Jeśli uwzględnimy, że R

S

 >> (R

0

 + R

Cu

 ),  

to można przyjąć, że R

0

 + R

Cu

 + R

S

 = R

we

 

, a wówczas 

 

we

X

X

we

we

X

R

R

R

R

R

I

I









1

1

max

 

 

 

5 

Ponieważ kąt wychylenia organu ruchomego jest równy 



 = c I , to 

 

we

X

X

R

R





1

1

max





 

 

Równanie powyższe opisuje charakterystykę przetwarzania omomierza szeregowego. Zgodnie 
z nim mo

żna wyróżnić trzy istotne punkty charkterystyki przetwarzania: 

 

- R

X

 = 0  

 

- 



X

 = 



max

; 

- R

X

 = R

we

    

- 



X

 = 



max

/2 ; 

- R

X

 = 



  

 

- 



X

 = 0. 

 
Wynika z tego, że podziałka ma nietypowy przebieg – od prawej do lewej i jest silnie nieliniowa. 
Przykład podziałki omomierza szeregowego przedstawia poniższy rys. 4.  

2 

1 

4 

6 

0 

10 



 



 

 

Rys. 4

. Podziałka omomierza szeregowego 

 
 
Dla omomierza szeregowego błąd graniczny jest wyrażany następująco: 
 

2

1

100

.



















we

m

we

g

R

R

R

d

kl

R

 

 

 

 

 

 

gdzie: R

we

 

– wartość rezystancji wewnętrznej omomierza; 

R

m

 

– wartość rezystancji mierzonej (wartość, którą wskazał miernik).  

 
Dokładność pomiaru dla omomierza szeregowego jest określona następująco: 
 

2

%

1

.

















we

m

m

we

R

R

R

R

d

kl

R



 

 
Silna  nieliniowość  podziałki  powoduje,  że  klasę  dokładności  tego  miernika  określa  się 

inaczej  niż  standardowo.  Analizując  powyższe  wzory  dochodzimy  do  wniosku,  że  pomiar  tym 
miernikiem, jest tym dokładniejszy, im wskazówka znajduje się bliżej środka podziałki.  

Z drugiej jednak strony, jeśli przyrząd jest zasilany z bateryjki, to im rezystancja mierzona 

jest mniejsza, tym większy prąd pobieramy, a to powoduje zwiększenie rezystancji wewnętrznej 
baterii, a co za tym idzie maleć będzie SEM baterii.  

 
Wynika  z  tego,  że  omomierzem  szeregowym  powinno  się  mierzyć  rezystancje  duże  – 

powyżej  połowy  wychylenia.  Jednocześnie  przed  każdym  pomiarem  powinno  się  zwierać 
zaciski  omomierza  i  korektorem  położenia  ustawiać  położenie  wskazówki  na  „zero”.  Przy 
dużych wartościach R

x

 

mniejsza jest też wrażliwość omomierza na zmiany warunków otoczenia.  

 

6 

3.2. Omomierz równoległy  

Schemat  omomierza  równoległego  przedstawia  rys.  5.  Układ  pomiarowy  składa  się  z 

szeregowo  połączonych  źródła  napięcia  stałego  o  rezystancji  wewnętrznej  R

0 

i  sile 

elektromotorycznej (SEM) równej E, rezystora dodatkowego R

S

 i ustroju ME. Element badany o 

rezystancji R

X

 

włączany jest równolegle do ustroju miernika. 

 

R

s 

R

x 

E

 

R

Cu 

R

0 

I

 

 

Rys. 5

. Schemat ideowy omomierza równoległego 

 

Taka konfiguracja układu powoduje, że przez ustrój ME płynie prąd o wartości  

X

Cu

S

Cu

Cu

S

R

R

R

R

R

R

R

R

E

I











0

0

 

Gdy rezystor R

X

 

stanowi rozwarcie dla obwodu, wartość tego prądu jest największa i wynosi  

Cu

S

R

R

R

E

I







0

max

 

Dzieląc te równania stronami otrzymamy następujący wzór 

max

1

1

I

R

C

I

X





 

gdzie: 

S

Cu

S

Cu

R

R

R

R

R

R

C









0

0

)

(

 

Uwzględniając,  że  wychylenie  organu  ruchomego  w  ustroju  ME  jest  liniową  funkcją  prądu,  to 
wyrażenie na równanie charakterystyki przetwarzania omomierza równoległego ma postać  

X

R

C





1

max





 

Współczynnik C ma wymiar rezystancji i czasami jest nazywany rezystancją środka skali. 

Podobnie  jak  w  omomierzu  szeregowym  podziałka  jest  silnie  nieliniowa  jednak  analiza 

powyższego  wyrażenia  wskazuje  na to,  że jest to podziałka prosta,  która  biegnie  od lewej do 
prawej strony. Przykład takiej podziałki przedstawia rys. 6. 

 

2 

1 

4 

6 

0 

10 



 



 

 

Rys. 6

. Podziałka omomierza równoległego 

 
Dla omomierza równoległego błąd graniczny jest wyrażany następująco: 





C

C

R

d

kl

R

m

g

2

100

.









 

gdzie:  

 

7 

C 

– stała charakterystyczna dla danej konstrukcji omomierza (w przybliżeniu C = R

we

 

dla środka 

podziałki) 

Dokładność pomiaru dla omomierza równoległego jest określona następująco: 





C

R

C

R

d

kl

R

m

m

2

%

.









 

Z wyrażeń powyższych wynika, że dokładność pomiaru omomierzem jest silnie zależna od 

wartości  mierzonej,  a  wartość  klasy  przyrządu  umieszczana  na  podzielni  miernika  nie  ma 
bezpośredniego  związku  z  dokładnością  pomiaru.  Dokładniejsza  analiza  powyższych  wzorów 
pozwala na wyciągnięcie następujących spostrzeżeń: 
- 

pomiar omomierzem szeregowym jest najdokładniejszy przy R

m

 = R

we

;  

- pomiar omomierzem r

ównoległym jest najdokładniejszy R

m

 = C, wtedy 



%

R = 4 kl.d.  

- 

zakres  pomiarowy  omomierza  należy  tak  dobierać,  aby  0,4R

we 



  R

m

 



  2,5R

we

,  wtedy  



%

R = 5 kl.d. 

W  związku  z  powyższym  można  stwierdzić,  że  omomierze  analogowe  są  przyrządami 

mało dokładnymi, a  ich zakres  zastosowań jest ograniczony do pomiaru dużych rezystancji  w 
przypadku omomierza szeregowego i małych rezystancji w przypadku omomierzy równoległych. 

D

okładność pomiaru jest największa w okolicach środka podziałki. Można udowodnić, że 

omomierz równoległy jest  mniej wrażliwy na zmianę warunków pracy (temperatura,  obce pola 
zakłócające, itd.) przy małych wartościach rezystancji. Zakres pomiarowy powinno dobierać się 
tak, aby wskazówka miernika znajdowała się tuż poniżej środka skali.  

 

 
4. Multimetr analogowy  

Typowy  multimetr  analogowy  zbudowany  jest  tak,  jak  na  rys.  7

.  Składa  się  on  z 

amperomierza  ME,  zestawu  posobników,  zestawu  rezystorów  R

S

 

i  przełącznika  funkcyjnego. 

Przełącznik funkcyjny pozwala na wybranie funkcji pomiarowej w multimetrze  – omomierz (R), 
amperomierz  (I),  woltomierz  (U).  Podstawową  funkcją  pomiarową  jest  pomiar  prądu  przez 
amperomierz  ME.  Każda  inna  funkcja  pomiarowa  jest  realizowana  przez  dodanie  do  obwodu 
amperomierza  zestawu  rezystorów  dodatkowych  (R

S

 

lub  posobników)  a  w  przypadku 

omomierza dołączenie jeszcze źródła napięcia stałego. Jeśli w układzie zostanie zastosowany 
dodatkowo przetwornik AC/DC to przyrząd będzie mógł mierzyć także prąd i napięcie zmienne.  

Wadą  multimetrów  jest  to,  że  wymagają  od  użytkownika  większej  ostrożności  niż 

przyrządy monofunkcyjne, ponieważ oprócz bezpiecznego doboru zakresu pomiarowego należy 
uważać,  aby  nie  pomylić  funkcji  pomiarowej.  Wybranie  np.  funkcji  omomierza  i  włączenie 
przyrządu do zasilanego obwodu pomiarowego grozi trwałym uszkodzeniem miernika. 

Przed  wykonaniem  pomiarów  wybranej  wielkości  pamiętać  należy,  że  przed  włączeniem 

zasilania w obwodzie pomiarowym: 
- 

zakres pomiarowy miernika należy ustawiać na maksymalny możliwy;  

- 

korektorem położenia ustawić wskazówkę miernika na „zero”;  

-  przy

rząd  powinien  pracować  w  warunkach  dla  których  został  stworzony  (pozycja  pracy, 

temperatura otoczenia, udary, itd.). 

Zestaw 

posobnik ów 

A 

Zestaw 

rezystorów 

R

S

 

U 

I 

R 

P 

E 

 

Rys.7. Schemat blokowy multimetru analogowego  

 
 

 

8 

5. Pomiar rezystancji z wykorzystaniem amperomierza i woltomierza  

Przy  braku  omomierza,  pomiaru  rezystancji  można  dokonać  metodą  pośrednią,  przez 

pomiar napięcia i prądu płynącego przez badany rezystor. Wielkości podstawić można do wzoru 

X

X

X

I

U

R



 

 

 

 

 

 

 

Rozróżnia się dwa układy pomiarowe – układ z poprawnie mierzonym prądem oraz układ z 

poprawnie  mierzonym  napięciem.  Pod  warunkiem,  że  wyeliminuje  się  tzw.  błąd  metody,  dla 
obydwu układów dokładność pomiaru wynosi 

X

X

I

U

R











 

 

 

 

 

 

Gdzie: 



U

X

 

– dokładność pomiaru napięcia woltomierzem; 



I

X

 

– dokładność pomiaru prądu.  

Jeśli  błędu  metody  nie  wyeliminuje  się,  to  można  udowodnić,  że  układ  z  poprawnie 

mierzonym  prądem  powinno  stosować  się  do  pomiaru  dużych  rezystancji,  tzn.  takich,  które 
spełniają nierówność:  

A

V

X

R

R

R



 

gdzie:  R

V

 

– rezystancja wewnętrzna woltomierza;  

R

A

 

– rezystancja wewnętrzna amperomierza. 

Układ z poprawnie mierzonym napięciem jest dokładniejszy, jeśli:  

A

V

X

R

R

R



 

Przyjmuje się jednak, że wykonujący pomiary dobrał właściwie zakresy pomiarowe mierników. 
Jeśli  w  pomiarach  wykorzystywane  są  przyrządy  elektroniczne,  to  na  ogół  spełniony  jest 
warunek  

R

V

 >> R

X

 

i należy stosować układ z poprawnie mierzonym napięciem. 
 
 
6

. Układ z poprawnie mierzonym prądem 

Schemat układu   pomiarowego przedstawia rys. 8. W układzie tym, przez amperomierz 

płynie ten sam prąd, co przez badany rezystor (stąd nazwa układu).  

Natomiast  woltomierz  wskazuje  napięcie  nie  na  rezystorze  badanym,  lecz  na 

szeregowym  połączeniu  rezystora  badanego  i  amperomierza,  który  charakteryzuje  się 
rezy

stancją wewnętrzną R

A

. W związku z tym, rzeczywista wartość rezystancji wynosi  

X

A

X

XR

I

U

U

R





 

gdzie U

A

 = I

X



 R

A

.  

 
Jeśli tak, to 

A

X

X

XR

R

I

U

R





 

Zakłada się, że R

A

 

jest znane z nieskończoną dokładnością, co nie jest prawdą.  

 

A 

V 

E 

U

R 

U

A 

U

X 

I

X 

R

XR 

 

 

Rys.8

. Schemat układu do pomiaru rezystancji z poprawnie mierzonym prądem 

 

9 

7

. Układ z poprawnie mierzonym napięciem 

 

Na rys. 9 

przedstawiono schemat układu pomiarowego.  

 

A 

V 

R

XR 

E 

I

R 

I

V 

U

X 

I

X 

 

Rys. 9

. Schemat układu do pomiaru rezystancji z poprawnie mierzonym napięciem 

 
W  układzie  tym  poprawnie  mierzoną  wielkością  jest  napięcie.  Ze  względu  na  to,  że 

rezystancja wewnętrzna woltomierza R

V

 

jest skończona, amperomierz wskazuje sumę prądów 

I

V

  oraz  I

R

.  W  związku  z  tym  można  zapisać,  że  wartość  rzeczywista  rezystancji  mierzonej 

wynosi 

V

X

X

XR

I

I

U

R





 

 
gdzie I

V

 = U

X

 / R

V

 

. Jeśli tak, to 

V

X

X

X

XR

R

U

I

U

R





 

Przyjmuje się założenie, że R

V

 

jest znane z nieskończoną dokładnością.  

 

 
7. Rezystor dekadowy  
 

Rezystory  dekadowe  są  regulowanymi  wzorcami  rezystancji  –  jako  wzorce  są 

przyrządami  pomiarowymi.  Rezystory  takie  składają  się  z  dekad.  Każda  z  dekad  składa się  z 
rezystorów  stałych  (nieregulowanych)  o  wartościach  tego  samego  rzędu  (np.  jedności, 
dziesiątki,  setki,  tysiące  omów).  Dany  rezystor  w  dekadzie  wybierany  jest  za  pomocą 
przełącznika. Wartość danej dekady może się zmieniać w zakresie (0



10)



n

 



, gdzie n 

– rząd 

dekady.  Wszystkie dekady rezystora dekadowego są połączone szeregowo. Sposób połączeń 
dekad w rezystorze dekadowym przedstawiono na rys.17.  

 

R

3 

R

2 

R

1 

R

0 

 

Rys.18. Schemat połączeń rezystora dekadowego z ekranem 

 

Do  podstawowych  parametrów  rezystorów  dekadowych  należ  prąd  nominalny,  liczba 

dekad,  zakres  nominalny,  klasa  dokładności.  Ze  względu  na  specyfikę  wykonania  takie 
parametry jak klasa czy prąd znamionowy określa się dla każdej z dekad osobno.  

Klasę dekady określa się względem jej wartości nominalnej. Jeśli więc istnieje potrzeba 

wyznaczenia  błędu  granicznego  ustawienia  żądanej  wartości  rezystancji,  należy  wyznaczyć 
błędy graniczne dla każdej z dekad, na której wybrano wartość inną niż zerowa i zsumować je 
ze  sobą  (rezystancja  połączenia  szeregowego  dekad  jest  równa  sumie  wartości  rezystancji 
rezystorów wybranych w poszczególnych dekadach) – zgodnie z prawem przenoszenia błędów.  

 

 

10 

III. POMIARY  

 
1. Odczyt wartości mierzonej na podstawie wskazań przyrządów analogowych  
 

Jednym  z  podstawowych  parametrów  przyrządów  analogowych  (wskazówkowych)  jest 

stała  miernika.  Jeżeli  miernik  jest  wyposażony  we  wskaźnik,  który  ma  naniesioną  podziałkę 
liniową, to stała miernika jest równa stałej podziałki.  Stała podziałki jest to stosunek wartości 
nominalnej podzakresu pomiarowego X

N

  

do maksymalnej liczby działek na podziałce miernika 



max

  

max



N

X

S



 

W  przyrządach  o  podziałce  liniowej  odczytu  wartości  mierzonej  dokonuje  się  mnożąc 

liczbę  działek 



,  o  którą  wychyliła  się  wskazówka  miernika  od położenia  początkowego przez 

stałą podziałki S. Wynik pomiaru będzie więc równy 

N

m

X

X

S

X

X

max















 

Jeżeli miernik ma podziałkę silnie nieliniową (różne odległości między kolejnymi działkami), 

to  należy  określić  stałą  fragmentu  podziałki.  Taka  sytuacja  zachodzi  w  omomierzach 
analogowych.  Przyjmuje  się  założenie,  że  na  podziałce  nieliniowej  można  określić  pewne 
przedziały, w których jest ona liniowa. Na ogół granice takich przedziałów są opisane działkami 
oznaczonymi liczbowo. Wynik pomiaru będzie równy 

min

min

'

'

'

X

X

X

S

X

m





















 

gdzie:  



’ – liczba działek, o które odchyliła się wskazówka od początku rozpatrywanego przedziału; 



 



 



max

 



 



min

 

– szerokość przedziału liniowego w działkach;  



X 



  X

max

 



  X

min

 

przyrost  wartości  wielkości  mierzonej  powodującej  zmianę  położenia 

wskazówki od położenia 



min

 do 



max

. 

 

Wadą  przyrządów  analogowych  jest  możliwość  niedokładnego  odczytu  wartości 

wska

zywanej  przez  urządzenie  odczytowe  miernika.  Urządzenie  to  składa  się  z  podzielni,  na 

której  naniesiona  jest  podziałka  oraz  wskazówki  –  materialnej  (rys.10)  lub  świetlnej  (rys.3). 
Podziałka jest to uporządkowany zbiór znaków (najczęściej kresek – wskazów). Dla ułatwienia 
odczytu niektóre z tych znaków mogą być opisane cyframi. Część podziałki między sąsiednimi 
wskazami  nazywamy 

działką  elementarną.  Długość  podziałki  oraz  liczba  działek  są  ściśle 

zależne  od  klasy  oraz  gabarytów  miernika.  Im  klasa  wyższa  tym  podziałka  dłuższa,  a  liczba 
działek większa [1].  

2 

1 

 

Rys.10

. Wskazówka nożowa i skala lustrzana: 1 – lustro, 2 – wskazówka 

 

Charakterystyczną cechą mierników analogowych jest zdolność rozdzielcza, która określa 

najmniejszą  część  działki  możliwą  do  odczytania.  W  zależności  od  odległości  między 
sąsiednimi  wskazami,  przyjmuje  się,  że  zdolność  rozdzielcza  wynosi  0.5,  0.2  lub  0.1  mm 
(działki). Przyjęcie zbyt małej zdolności rozdzielczej zwiększa błąd odczytu.  

Błąd  odczytu  ma  charakter  błędu  przypadkowego  i  jest  zależny  przede  wszystkim  od 

staranności  eksperymentatora.  Przy  pomiarach  jednokrotnych  błąd  taki  jest  trudny  lub  wręcz 
niemożliwy  do  oszacowania.  Błąd  odczytu  może  zostać  także  popełniony,  jeśli  wykonujący 

 

11 

pomiary nie patrzy na 

wskazówkę prostopadle do płaszczyzny podzielni. Jest to błąd krzywego 

patrzenia, nazywany także błędem paralaksy. Istotę tego błędu przedstawia rys. 11. 

źl

e 

źle

 

d

o

b

rz

e 

k oniec 
wskazówki 

 

Rys.11

. Sposób powstawania błędu paralaksy. 

 

Błąd  paralaksy  można  wyeliminować  patrząc  na  wskazówkę  prostopadle  do  podzielni. 

Ułatwia  to  umieszczone  pod  wskazówką  lusterko  lub  stosowanie  wskazówki  świetlnej. 
Wskazówka  świetlna  powstaje  na  zasadzie  odbicia  światła  z  żarówki  od  lustereczka,  na 
którym jest naniesiony znacznik wskazówki. Lustereczko jest przymocowane do osi, której kąt 
odchylenia od położenia równowagi zależy od wartości wielkości mierzonej.  

Przemieszczająca  się  wzdłuż  podziałki  plamka  uniemożliwia  powstanie  błędu  paralaksy, 

ponieważ cień wskazówki znajduje się bezpośrednio na podzielni. 

2 

1 

 

Rys.12

. Skala i wskazówka świetlna: 1 – podziałka, 

 2 

– plamka świetlna ze znacznikiem wskazówki 

 

3. Błąd graniczny i dokładność pomiaru przy pomiarach jednokrotnych  
 

Wskazanie  przyrządu  bez  podania  granic  błędu,  z  jakim  pomiar  został  wykonany,  ze 

względów poznawczych nie ma żadnego znaczenia. Można nawet stwierdzić, że pojęcia pomiar 
i błąd pomiaru lub jego dokładność są pojęciami nierozerwalnymi. Wynik pomiaru  X

r 

powinien 

być zawsze przedstawiany w postaci 

X

X

X

g

m

r







 

gdzie:  
X

m

 

– wartość zmierzona zapisana z uwzględnieniem odpowiedniej liczby miejsc znaczących; 



g

X 

– błąd graniczny pomiaru. 

Ze względu na wymaganą dokładność, pomiary można podzielić na:  

- laboratoryjne wysokiej precyzji  (



%

X < 0,05%);  

- 

laboratoryjne średniej dokładności  

(0,05% 



 



%

X 



 0,5%);  

- techniczne   

 

 

(



%

X > 0,5%).  

W zależności od tego do rachunku błędów podchodzi się z różną precyzją.  
Poniżej  omówiono  metodykę  wyznaczania  błędów  przy  pomiarach  technicznych.  Pomiar 

danej  wielkości  odbywa  się  na  ogół  jednokrotnie  a  błąd  ma  na  ogół  charakter  systematyczny 
ograniczony  dokładnością  użytych  przyrządów  (jego  błędem  podstawowym  i  błędami 
dodatkowymi. Ogólnie można spotkać dwa przypadki:  

– pomiar bezpośredni (wartość wielkości mierzonej jest określana na podstawie wskazania 

jednego przyrządu); 

- 

pomiar  pośredni  (wyznaczana  wielkość  jest  funkcją  kilku  wielkości  mierzonych 

bezpośrednio).  

 

12 

3.1. Pomiary bezpośrednie  
3.1.1. Błąd graniczny pomiaru przyrządów analogowych 
 

Jeśli  klasa  przyrządu  pomiarowego  jest  oznaczana  symbolem  kl.d  np.  1,5  (co  oznacza 

1,5%), to błąd graniczny pomiaru wielkości X wyznaczany jest za pomocą wyrażenia 

N

g

X

d

kl

X

%

100

.





 

gdzie:  
X

N

 

–  wartość  nominalna  (maksymalna)  zakresu  pomiarowego  (dla  przyrządów 

wielozakresowych  jest  to  wartość  maksymalna  podzakresu  pomiarowego,  na  którym  był 
wykonywany pomiar).  
Istotne  jest  to,  że  wartość  błędu  granicznego  pomiaru  jest  stała  na  danym  podzakresie 

miernika i nie zależy od wartości wielkości mierzonej X

m

. 

Jeśli dokładność przyrządu pomiarowego jest wyrażana w procentach wartości mierzonej, 

co jest oznaczane na podzielni miernika wychyłowego, jako  kl.d, np. 1,5, to przy wyznaczaniu 
błędu granicznego pomiaru korzysta się z zależności 

m

g

X

d

kl

X

%

100

.





 

gdzie:  
X

m

 

– wartość mierzona badanej wielkości (wartość, którą wskazał miernik). 

Wartość błędu granicznego jest w tym przypadku zależna od wartości wielkości mierzonej i 

nie jest stała na danym podzakresie miernika. 

W niektórych analogowych elektronicznych przyrządach pomiarowych można spotkać się 

z  wyrażeniem  opisującym  zależność  błędu  granicznego  pomiaru  danym  przyrządem  zarówno 
od wartości mierzonej X

m

, 

jak i od wartości nominalnej zakresu pomiarowego X

N

.  

Wyrażenie to jest na ogół podawane w postaci: 





N

m

g

X

b

X

a

X

%

%









 

gdzie:  
a, b 

– stałe charakterystyczne dla danego przyrządu.  

Taki  sposób  opisu  właściwości  dokładnościowych  miernika  jest  stosowany  wtedy,  gdy 

odpowiednią zależność udało się wykryć w procesie produkcyjnym przyrządu.  

Warto zauważyć, że w granicznym przypadku, jeśli X

m

 = X

N ,

 to 



g

X = 



 (a

%

 + b

%

) X

N

 .  

Przez analogię z wyrażeniem (5) można zapisać kl.d = a

%

 + b

%

.  

Czasami składowa błędu b

%

 X

N

 

jest podawana jawnie w jednostkach wielkości mierzonej. 

 
3.1.3. Dokładność pomiaru 

Dokładnością pomiaru nazywa się stosunek błędu granicznego do wartości mierzonej 

%

100

%

m

g

X

X

X







 

Jak  widać  dokładność  pomiaru  może  się  znacznie  różnić  od  dokładności  przyrządu 
pomiarowego. 

Jeśli błąd graniczny wyrażony będzie równaniem (5) to dokładność pomiaru jest 

równa:  

d

kl

X

X

X

m

N

.

%





 

Zgodnie  z  powyższym  równaniem  dokładność  pomiaru  jest  nie  lepsza  od  klasy 

dokładności przyrządu pomiarowego i jest tym mniejsza im wskazanie przyrządu jest mniejsze. 
Nasuwa  się  więc  wniosek,  że  ze  względu  na  dokładność  pomiaru  zakres  pomiarowy  należy 
dobierać tak aby zapewnić możliwie największe wychylenie wskazówki miernika. 

W 

miernikach z klasą wyrażoną jako procent wartości mierzonej dokładność pomiaru jest 

równa dokładności przyrządu w całym zakresie wskazań. 



%

R = kl.d 

 

 

13 

3.2. Pomiary pośrednie  
 

Przy  pomiarach  pośrednich  zakłada  się,  że  funkcja  opisująca  wielkość  mierzoną  ma 

postać 

)

,....,

(

1

n

X

X

f

Y



 

 

Graniczny b

łąd pomiaru określony jest zależnością: 















n

i

i

g

i

g

X

X

Y

Y

1

2

 

lub w postaci uproszczonej (błąd najgorszego przypadku) jako: 















n

i

i

g

i

g

X

X

Y

Y

1

 

gdzie:  



g

X

i

 

–  błąd  graniczny  i-tej  wielkość  mierzonej  bezpośrednio  określony  tak  jak  w  przypadku 

pomiarów bezpośrednich. Wyrażenia te określają tzw. prawo przenoszenia błędów. 

Tabela 1 

Propagacja błędów  

Zależność funkcyjna 

Sposób propagacji błędu 

2

1

X

X

Y





 

2

1

X

X

Y











 

2

1

X

X

Y



 

2

1

1

2

X

X

X

X

Y











                  



Y = 



X

1

 + 



X

2

 







n

i

i

i

X

a

Y

1

 

 







n

i

i

i

X

a

Y

1

 







n

i

a

i

i

X

Y

1

 







n

i

i

i

X

a

Y

1





 

2

1

X

X

Y



 

2

2

2

1

1

2

X

X

X

X

X

Y











                  



Y = 



X

1

 + 



X

2

 

aX

Y



, X

m 



 0 

X

a

Y







                            



Y = 



X 

a

X

Y



, X

m 



 0 

X

aX

Y

a









1

                         



Y = a



X 

X

Y

sin



 

X

Y







cos

 

X

Y

cos



 

X

Y







sin

 

tgX

Y



 

X

X

Y

2

cos

/







 

ctgX

Y



 

X

X

Y

2

sin

/







 

X

Y

ln



, X

m 

> 0 

X

X

X

Y











 

X

e

Y



, Y

śr 



 0 

X

e

Y

X







                       



Y = 



X 

 
Powyżej  przedstawiono  tabelę,  w  której  zawarto  sposób  przenoszenia  się  błędów  dla 
wybranych zależności funkcyjnych.  

 
Przy pomiarze pośrednim wynik pomiaru zapisujemy w postaci:  

Y

Y

Y

g

m

r







 

 

 

 

 

 

 

a dokładność pomiaru jest równa:  

%

100

%

m

g

Y

Y

Y







  

 

 

 

 

 

 

Czasami, chcąc wyznaczyć błąd graniczny łatwiej jest wyznaczyć błąd względny pomiaru 

(dokładność).  

 

14 

4. Dokładność zapisu wyniku i jego błędu 

Jednym z podstawowych warunków sporządzenia „dobrego” sprawozdania jest prawidłowy 

zapis wyników pomiarów i obliczeń. O sposobie zapisu wyników decydują następująca zasady:  
1. Wartość liczbowa uzyskana z pomiaru powinna mieć taką liczbę cyfr znaczących, aby tylko 

ostatnia lub przedostatnia były niepewne (zmieniały się w trakcie pomiaru).  

2.  Przy  dodawaniu  i  odejmowaniu  uwzględniamy  tylko  te  cyfry  znaczące,  które  występują  we 

wszystkich składnikach.  

3. W celu dokonania właściwego zaokrąglenia wyniku, działania matematyczne przeprowadza 

się  z  uwzględnieniem  najwyżej  jednej  cyfry  znaczącej  więcej  niż  w  końcowym  wyniku 
obliczeń. 

4. Zaokrąglenia wyniku dokonujemy w ten sposób, że jeżeli następna cyfra po cyfrze najmniej 

znaczącej  jest  mniejsza  od  5,  to  najmniejszą  cyfrę  znaczącą  pozostawiamy  bez  zmian,  a 
jeżeli  większa  to  najmniejszą  cyfrę  znaczącą  zwiększamy  o  1.  Jeżeli  następna  cyfra  po 
najmniejszej  cyfrze  znaczącej  jest  równa  5,  to  wynik  zwiększamy  o  jeden  na  najmniej 
znaczącej  cyfrze,  jeżeli  jest  ona  nie  parzysta  a  zmniejszamy,  jeżeli  jest  ona  parzysta. 
Przykład: 

16,822 



 16,82 

168,88 



 168,9 

162,15 



 162,2 

162,25 



 162,2 

  

Warto w tym miejscu zwrócić uwagę na fakt, że zaokrąglając liczby np. 121,5 oraz 122,5 do 

liczb całkowitych otrzymamy ten sam wynik  122. W związku  ze specyficzną rolą cyfry 5 w 
zaokrąglaniu  wyników  dobrze  jest  także  wiedzieć,  jaka  cyfra  występuje  po  niej,  ponieważ 
liczbę 122,51 można już zaokrąglić do liczby 123, a nie do 122. 

5.  B

łąd  jest  miarą  niewiarygodności  ostatniej  cyfry  znaczącej  wartości  liczbowej  (lub  dwóch 

ostatnich  cyfr),  nie  zapisuje  się  go  z  większą  dokładnością  niż  za  pomocą  jednej  cyfry 
znaczącej.  Błąd  można  zapisać  z  dokładnością  do  dwóch  cyfr  znaczących  tylko  w 
następujących sytuacjach: 



 

przy bardzo dokładnych pomiarach; 



 

jeśli ma być użyty do dalszych obliczeń; 



 

jeśli pierwszą cyfrą znaczącą jest 1 (lub 2). W tabeli 2 podano odpowiednie przykłady z 
wyjaśnieniami. 

Tabela 2 

Wynik z błędem  

nie zao

krąglonym 

Wynik z błędem 

zaokrąglonym 

Wyjaśnienia 

12113 



 31 

12110 



 30 

Zapis typowy. Zaokrąglenie błędu 
spowodowało zmniejszenie cyfr znaczących 
w wyniku. 

122132567 



 31,6 

122132567 



 32 

Dokładny pomiar lub konieczność 
wykorzystania do dalszych obliczeń. 

121 



 1,3 

121,0 



 1,3 

Po usunięciu cyfry 3 pozostałaby cyfra 1. 

122,33 



 0,26 

122,3 



 0,3 

Zaokrąglenie wartości błędu powoduje 
zmniejszenie dokładności zapisu wyniku. 

122,33 



 0,002 

122,330 



 0,002 

Mała wartość błędu powoduje wzrost 
dokładności zapisu wyniku. 

 

 
 
 
 
 
 
 

 

15 

OPRACOWANIE I PREZENTACJA WYNIKÓW POMIARÓW 

 

Opracowanie  danych  pomiarowych  ma  na  celu  wstępne  przygotowanie  danych  do  analizy 

i 

prezentacji.  Mogą  to  być  proste  działania,  takie  jak:  zaokrąglanie  liczb,  sortowanie  danych, 

normalizacja,  odr

zucanie  anomalnych  wyników,  łączenie  dwóch  lub  większej  liczby 

niezależnych pomiarów pojedynczej wielkości fizycznej.  

Bardziej  zaawansowana  obróbka  może  polegać  na  wyznaczaniu  zależności  funkcyjnej 

pomiędzy  mierzonymi  wielkościami,  uśrednianiu  danych  pomiarowych,  kompresji  danych. 
Zobrazowanie danych pomiarowych w formie graficznej ułatwia ich percepcję przez człowieka. 
Zobrazowanie  przybiera  postać  różnorodnych  wykresów  dwu-  i  trójwymiarowych,  wykonanych 
często  z  użyciem  kolorów.  W  trakcie  prezentacji  publicznych  stosowana  jest  też  animacja, 
polegająca na dynamicznym generowaniu wykresów na ekranie. 
Obróbka  i  zobrazowanie  danych  pomiarowych  mogą  być  obecnie  realizowane  za  pomocą 
wygodnych  narzędzi  komputerowych  o  bardzo  dużych  możliwościach  obliczeniowych 
i 

graficznych.  Złożone  algorytmy  numeryczne  stają  się  dostępne  i  łatwe  w  użyciu,  nawet  bez 

dogłębnej  znajomości  aparatu  matematycznego.  Najczęściej  do  obróbki  danych  pomiarowych 
używa się popularnego w wielu środowiskach akademickich na świecie, programu Matlab firmy 
The MathWorks.  
 
1. Podstawowe zasady przedstawiania wyników pomiarów 

Jako  regułę  podawania  wyników  pomiarów  zaleca  się  stosowanie  konwencji  ustalającej 

związek pomiędzy niedokładnością pomiaru a formą zapisu jego wyniku, uwzględniającą liczbę 
cyfr znaczących. 
Cyframi  znaczącymi  przyjęto  nazywać  wszystkie  cyfry  liczby,  poczynając  od  pierwszej  cyfry 
niezerowej znajdującej się na pozycji najwyższego rzędu dziesiętnego. 

Liczba 0.00307 ma trzy cyfry znaczące: 3, 0 i 7;  
liczba 0.003070 ma cztery cyf

ry znaczące: 3, 0, 7 i 0.  

Zaleca  się  zapisywać  liczby  w  postaci  wykładniczej,  w  której  mantysa  zawiera  tylko  cyfry 
znaczące.  

Tak więc liczbę 0.00307 należy zapisać jako 3.07 * 10-³,  
liczbę 0.003070 zaś jako 3.070 * 10-³ .  

Ostatnia  cyfra  znacząca  w  każdym  wyniku  powinna  być  tego  samego  rzędu  (stać  na  tym 
samym miejscu dziesiętnym) co błąd pomiaru.  

Na  przykład  wynik  pomiaru  8.135  V  z  czterema  cyframi  znaczącymi  wskazuje,  że 

dokładność pomiaru jest rzędu mV. Jeżeli pomiar był wykonywany z dokładnością 10 mV, wynik 
powinien być podany w postaci 8.14 V, to znaczy powinien mieć tylko trzy cyfry znaczące.  
 
Zaokrąglanie liczb.  
Często  zdarza  się  tak,  że  liczbę  będącą  wynikiem  działań  na  liczbach  przybliżonych  należy 
zaokrąglić. Należy stosować obowiązujące reguły zaokrąglania liczb: 

• Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza niż 5, to liczba zaokrąglona pozostaje bez 

zmian. 

•  Jeżeli  pierwsza  z  odrzuconych  cyfr  jest  większa  niż  5,  to  do  ostatniej  cyfry  liczby 

zaokrąglonej dodaje się 1. 

•  Jeżeli pierwsza  z odrzuconych cyfr równa się  5 i między pozostałymi odrzuconymi cyframi 

znajdują się cyfry niezerowe, to do ostatniej cyfry liczby zaokrąglonej dodaje się 1. 

•  Jeżeli  pierwsza  z  odrzuconych  cyfr  równa  się  5  i  wszystkie  pozostałe  odrzucone  cyfry  są 

zerami, 

to ostatnia cyfra liczby zaokrąglonej: 

- pozostaje bez zmian, gdy jest parzysta; 
- 

zostaje zwiększona o 1, gdy jest nieparzysta.  

 
Powyższe zasady można wyjaśnić w następujący sposób: 
a). Jeżeli pierwsza  z  odrzucanych cyfr jest  większa niż 5,  to ostatnią  pozostającą cyfrę liczby 

należy zwiększyć o jeden np. zaokrąglając liczbę 1,357 do trzech cyfr znaczących należy 

 

16 

napisać 1,36, zaś do dwu cyfr znaczących 1,4 – analogicznie z liczbą 3468, zaokrąglając 
do trzech cyfr znaczących należy napisać 3,47*10

3

, czyli 3470 

b).  Jeżeli  pierwsza  z  odrzucanych  cyfr  jest  mniejsza  niż  5,  to  ostatnią  pozostającą  cyfrę 

zachowuje  się  bez  zmiany  np.  3,531  zaokrąglając  do  trzech  cyfr  znaczących  należy 
napisać 3,53 – analogicznie 9642 – 9,64*10

3

, czyli 9640.  

c). Jeżeli jedyną odrzucaną cyfrą jest 5, to ostatnią pozostającą cyfrę, liczby w przypadku gdy 

jest  ona  parzysta,  zachowuje  się  bez  zmiany,  zaś  gdy  jest  nieparzysta,  zwiększa  się  o 
jeden  np.  zaokrąglając  liczbę  9,225  do  trzech  cyfr  znaczących  należy  napisać  9,22  – 
analogicznie 2,235 

– 2,24. 

 
Dodawanie i odejmowanie liczb przybliżonych.  
Wyniki  dodawania  lub  odejmowania  liczb  o  różnej  dokładności  należy  zapisywać  z  taką 
dokładnością, jaką ma liczba najmniej dokładna. 
Np. w rezultacie sumowania liczb 45,21 + 0,5312 + 4,721 otrzymamy 50,4622.  
Ponieważ  pierwszy  składnik  sumy  45,21  jest  najmniej  dokładny,  wynik  sumowania  należy 
zaokrąglić do tego samego rzędu, czyli do dwóch miejsc po przecinku.  
Zatem należy zapisać 45,21 + 0,5312 + 4,721 = 50,46 
 
Mnożenie i dzielenie liczb przybliżonych.  
Jeśli dokonuje się mnożenie (lub dzielenie) liczby zawierającej m cyfr znaczących przez liczbę 
zawierającą  n  cyfr  znaczących,  to  iloczyn  (iloraz)  należy  zaokrąglić,  aby  zawierał  m  cyfr 
znaczących gdy m < n, albo n cyfr znaczących gdy n < m. 
 
Np. 

w rezultacie mnożenia liczb 3,235 przez 2,3 otrzymamy 7,4405.  

Ponieważ mnożna zawiera cztery, a mnożnik dwie cyfry znaczące, to iloczyn powinien zawierać 
dwie cyfry znaczące, a zatem należy napisać, że 3,235 * 2,3 = 7,4 
 
Sposób zapisywania wyników pomiarów i obliczeń 
Po  dokonaniu  oceny  błędu,  niezależnie  od  tego  czy  jest  to  maksymalny  błąd  przypadkowy 
pojedynczego  pomiaru,  średni  błąd  średniej  arytmetycznej,  zawsze  należy  zaokrąglić 
uzyskany wynik do jednej, a co najwyżej dwu cyfr znaczących.  
Wynik  pomiar

ów  lub  obliczeń  należy  tak  zaokrąglić,  aby  rząd  jego  ostatniej  cyfry 

znaczącej był taki sam, jak rząd ostatniej cyfry znaczącej oszacowanego błędu. 
 
Np.  Po  dokonaniu  pomiarów  czasu  t  przebiegu  pewnego  zjawiska  obliczono  średni  czas  t

śr 

= 

18,413 s i średni błąd wartości średniej s = 0,0478 s.  
Wynik obliczeń po zaokrągleniach należy zapisać jako: 

t = (18,41 ± 0,05) [s]. 

 
Zasady postępowania matematycznego przy opracowywaniu wyników pomiarów  

Przy opracowywaniu wyników pomiarów obowiązują następujące zasady postępowania: 

a) Obliczenia powinny być przeprowadzane na danych (wynikach pomiarów) podawanych z ich 

największą dokładnością. 

b)  Wszystkie  obliczenia  przeprowadzane  na  danych:  mnożenie,  dzielenie,  potęgowanie  itd. 

należy  wykonywać  do  co  najmniej  dwóch  cyfr  znaczących  więcej  niż  zawierały  pierwotne 
dane.  Nie  należy  wykonywać  zaokrągleń,  dopóki  nie  uzyska  się  ostatecznego  wyniku 
obliczeń. 

c) Przy mnożeniu  i dzieleniu  wynik należy podawać z taką samą liczbą cyfr znaczących, jaką 

zawiera wynik pomiaru o najmnie

jszej liczbie cyfr znaczących wzięty do obliczeń.  

 
Można  zaobserwować  tendencję  do  łamania  zasady  (c)  przy  stosowaniu  do  obliczeń 
kalkulatora. Rozważmy przykład niewłaściwego użycia kalkulatora do określenia rezystancji na 
podstawie cyfrowych pomiarów napięcia i prądu: 

 

17 









k

mA

V

I

U

R

493562232

,

3

33

,

2

14

,

8

 

W  przykładzie  tym  podano  wynik  obliczenia  rezystancji  zawierający  10  cyfr  znaczących  (to 
znaczy  z  dokładnością  do  μΩ  !),  podczas  gdy  wielkości  pośrednie  mają  tylko  trzy  cyfry 
znaczące.  Jedynym  rozsądnym  sposobem  jest  użycie  w  odpowiedzi  tej  samej  liczby  cyfr 
znaczących  jaka  występuje  w  wynikach  pomiarów  pośrednich.  Zatem  obliczenia  należy 
przedstawić następująco: 









k

mA

V

I

U

R

49

,

3

33

,

2

14

,

8

 

Rezystancja została podana z taką samą precyzją, z jaką zmierzono napięcie i prąd. 
 

Dokładność  przyrządów  analogowych  dana  jest  w  zasadzie  jedną  liczbą  –  klasą 

dokładności. Stanowi ona podstawę i jednocześnie punkt wyjścia do obliczania błędu pomiaru 
wykonanego  tym  przyrz

ądem.  Częstym  zjawiskiem  jest  bezkrytyczne  przyjmowanie  za  błąd 

pom

iaru  klasy  dokładności  przyrządu  bez  względu  na  wskazywaną  przezeń  wartość.  Ta 

ostatnia  ma  ogromny  wpływ  na  ostateczny  błąd  pomiaru  dokonanego  miernikiem 
wskazówkowym. 
 
Błędy pomiarów wykonywanych przyrządami wskazówkowymi 
Błąd  jakim  obarczony  jest  wynik  pomiaru  dokonanego  pojedynczym  przyrządem 
wskazówkowym, zawiera kilka składników: 

1. Błąd podstawowy wskazań 
2. Błąd dodatkowy wskazań 
3. Błąd odczytu 

 
Błąd podstawowy 
Błąd  podstawowy  wskazań  przyrządu  wynika  z  niedokładności  wykonania  jego  elementów 
składowych  w  procesie  wytwórczym.  Niedokładności  te  mają  charakter  przypadkowy,  stąd 
błędy wskazań noszą ten sam charakter. Mają one różne wartości dla poszczególnych punktów 
podziałki  i  dla  różnych  egzemplarzy  przyrządów  danej  serii.  Określenie  tych  indywidualnych 
błędów  byłoby  zbyt  kosztowne,  dlatego  wytwórca  określa  dla  całej  serii  wyprodukowanych 
przyrz

ądów największy możliwy błąd wskazań, którego z wysokim prawdopodobieństwem 

(mówi się także – poziomem ufności, wynosi ono P = 0,9973) nie przekroczy błędu wskazań 
żadnego egzemplarza w żadnym punkcie podziałki.  
Ten najwi

ększy błąd bezwzględny oznaczymy 

∆

max 

 = 

3



 

Jest to tak zwany 

błąd trzysigmowy wskazań. Wytwórca odnosi następnie ten błąd do zakresu 

pomiarowego przyrz

ądu Zp, otrzymując względny maksymalny błąd wskazań:  

%

100

max

max







p

Z



 

Na  koniec  nadaje  całej  serii  wyprodukowanych  przyrządów  wspólną  klasę  dokładności  k 
wybieraj

ąc spośród ośmiu znormalizowanych wartości:  

0,05%  

0,1%    

0,2%    

0,5%    

1%  

1,5%    

2,5%    

5%, 

n a j m n i e j s z

ą, która spełnia nierówność: 

k 



max



 

 
U

żytkownik natomiast, nie znając szczegółów procesu określania klasy dokładności (nie znając 

rzeczywistej  warto

ści  błędu 

max



,  posługuje  się  „znormalizowaną”  jego  wartością,  czyli  klasą 

dokładności: 

k

%

100

max







p

Z

 

 

18 

Klasa  dokładności  określona  powyższą  zależnością  jest  tylko  pewnym  wskaźnikiem 

dokładności przyrządu wskazówkowego. Jest to błąd wskazań, z którym mierzona jest wartość 
wielko

ści mierzalnej w szczególnym przypadku, mianowicie gdy wskazówka przyrządu odchyla 

si

ę do końca zakresu pomiarowego.  

We wszystkich pozostałych przypadkach mierzący powinien postępować według podanych 

ni

żej zasad: 

1). Posługując się definicją klasy dokładności, należy obliczyć w pierwszym kroku błąd 

max



. 

Znaj

ąc klasę dokładności k i używany podczas pomiaru zakres pomiarowy Zp, oblicza się 

ten błąd z poniższego wzoru:  

%

100

max

k

Z

p







 

2) Odnosi si

ę następnie ten błąd do wartości W wskazywanej właśnie przez przyrząd, i oblicza 

wzgl

ędny błąd wskazań:  

%

100

max







W

w



 

Podstawiaj

ąc  w  powyższym  wyrażeniu  w  miejsce 

∆

max 

 

wyra

żenie 

%

100

max

k

Z

p







,  

otrzymamy  po 

przekształceniach  praktyczny  wzór  na  obliczanie  względnego  błędu  wskazań 

przyrz

ądu wskazówkowego:  

W

Z

k

p

w





 

gdzie:  

w



- wzgl

ędny błąd wskazań przyrządu 

k - 

klasa dokładności przyrządu 

Zp - zakres pomiarowy 

tego przyrządu 

W - wskazanie przyrz

ądu w chwili pomiaru (0 



 

W 



 

Zp) 

Z 

powyższego  wyrażenia  widać,  że  przy  zmniejszaniu  się  wskazania  W  do  zera,  błąd 

w



d

ąży do nieskończoności.  

Wynika  st

ąd  ważne  zalecenie,  by  pomiary  przeprowadzać  przy  możliwie  jak  największym 

odchyleniu 

wskazówki  przyrządu,  co  osiąga  się  przez  wybór  odpowiedniego  zakresu 

pomiarowego przyrz

ądu jak najbardziej zbliżonego do wartości wielkości mierzonej.  

 
 
Błąd dodatkowy 
Błąd  ten  związany  jest  z  przekroczeniem  podczas  pomiaru  znamionowych  warunków  pracy 
przyrz

ądu. Znamionowe warunki określone są przez następujące parametry. 

1. Temperatur

ę otoczenia (np. + 10 °C ¸ +30 °C) 

2. Wilgotno

ść powietrza (np. do 85%) 

3. Nat

ężenie obcych pól magnetycznych (np. do 5 Oe) 

4.  Cz

ęstotliwość znamionową (np. 50 Hz) lub przedział dopuszczalnych częstotliwości (np. 

20-50-400 Hz) 

5.  Współczynnik  zawartości  harmonicznych,  charakteryzujący  stopień  odkształcenia  od 

sinusoidy krzywej napi

ęcia lub prądu (np. h  



 

5%) 

6.  Sposób  położenia  przyrządu  podczas  pracy  (np.  pionowe  albo  poziome,  albo  pod 

okre

ślonym kątem, np. 30°) 

Powy

ższe warunki podane są bądź bezpośrednio na przyrządzie, bądź w dołączonej metryce. Z 

reguły  błąd  ten  jest  pomijany,  zakłada  się  bowiem,  że  przyrząd  analogowy  będzie 
eksploatowany w warunkach normalnych.  
 

 

19 

Błąd odczytu 
Błąd  ten  wynika  z  niedokładnego  oszacowania  przez  mierzącego  położenia  wskazówki 
przyrz

ądu między dwiema sąsiednimi kreskami  działowymi podziałki. Gdyby podczas pomiaru 

wskazówka spoczęła dokładnie na kresce działowej, co zdarza się raczej rzadko, błąd odczytu 
nale

ży przyjąć za równy zeru. 

Bezwzgl

ędny błąd odczytu dla przyrządu analogowego o równomiernej podziałce oblicza się 

według poniższej formuły.  

d

Z

p

p

od





 

gdzie:  

od



 - bezwzgl

ędny błąd odczytu 

Zp - 

zakres pomiarów 

d - 

liczba działek podziałki 

p - 

współczynnik charakteryzujący wprawę mierzącego.  

Przyjmuje  si

ę  p  = 0,1 przy starannym odczytywaniu  wskazań,  co oznacza,  że  mierzący może 

pomyli

ć  się  w oszacowaniu  położenia  wskazówki maksymalnie  o  0,1 wartości odpowiadającej 

odległości między sąsiednimi wskazami podziałki. 
 
Na przykład, jeżeli woltomierz o zakresie pomiarowym  Zp = 15 V ma podziałkę równomierną 
licz

ąca  75  działek,  to  odległości  między  dowolnymi  dwiema  sąsiednimi  wskazami  odpowiada 

różnica napięć: 15V/75 = 0,2 V.  

Przyjmuj

ąc współczynnik wprawy mierzącego p = 0,1 dostaniemy błąd odczytu 

od



= 0,02 V. 

 

Wzgl

ędny  błąd  odczytu 

o d



oblicza  si

ę,  odnosząc  błąd  bezwzględny  do  wartości 

wskazywanej W (iden

tycznie jak przy obliczaniu błędu wskazań): 

 

%

100







W

od

od



 = 

%

100







W

d

Z

p

p

 

 
Całkowity maksymalny (graniczny) błąd pomiaru 

Całkowity maksymalny (graniczny) błąd pomiaru jest sumą błędu wskazań i błędu odczytu. 

Błędy te mogą mieć w ogóle przeciwne znaki i redukować się częściowo lub nawet całkowicie. 
Znaki  tych  błędów  jednak  nigdy  nie  są  znane,  dlatego  przyjmuje  się  zawsze  skrajnie 
niekorzystny przypadek i sumuje ich warto

ści bezwzględne. 

 
Ocena dokładności średniej arytmetycznej wyników pomiarów 
 

Aby zmniejszyć wpływ błędów przypadkowych na wynik pomiaru często dokonuje się w 

ustalonych  warunkach  serii  pomiarów  x

1

,  x

2

,  x

3

,  …,  x

n

 

wartości  danej  wielkości,  i  oblicza  się 

wartość średnią : 















n

i

i

n

x

n

x

x

x

n

x

1

2

1

1

)

...

(

1

 

 

Do 

oceny  błędu  uzyskanej  wartości  używa  się  często  błędu  średniego  średniej 

arytmetycznej. 

)

1

(

)

(

1

2











n

n

x

x

s

n

i

i