Analiza I
Kolokwium, 22 listopada 2008
UWAGA:
Każde zadanie oddajemy na oddzielnej kartce. Wszystkie kartki należy czytel-
nie podpisać imieniem, nazwiskiem, numerem potoku, numerem grupy oraz nazwiskiem
prowadzącego ćwiczenia. Prosimy o czytelne pisanie rozwiązań – prace nieczytelne nie
będą sprawdzane.
Zadanie 1: Znaleźć kresy inf A oraz sup A następującego zbioru A
A
=
½
2
n
+ k
2
n
! + k
2
:
k, n
∈ N
¾
.
Zadanie 2: Obliczyć granice następujących ciągów
a.) a
n
=
1
√
n+1
+
1
√
n+2
+···+
1
√
2n
√
n
,
b.) b
n
=
n
2
q
n
5
n
+
1
n
2
n
2
.
Zadanie 3: Niech a
1
= a ∈ (0, 1), a
n+1
= a
n
− a
3
n
.
a.) Wykazać zbieżność i obliczyć granicę ciągu a
n
.
b.) Pokazać, że szereg
P
∞
n=1
a
4
n
jest zbieżny i
P
∞
n=1
a
4
n
< a
.
Zadanie 4: Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
n=1
√
n
2
+ 3 − n
3
√
n
+ 1
.
Zadanie 5: Niech ( e
C
) będzie następującym warunkiem na ciąg x
n
∀
ε>0
∃
N
∀
n>N
∀
n<m<2n
|x
n
− x
m
| < ε.
( e
C
)
Pokazać, że ciąg zbieżny spełnia warunek ( e
C
). Pokazać, że z warunku ( e
C
) nie wynika
zbieżność, a więc istnieje ciąg rozbieżny, spełniający warunek ( e
C
).