Analiza I

Kolokwium, 10 stycznia 2009

UWAGA:

Każde zadanie oddajemy na oddzielnej kartce. Wszystkie kartki należy czytel-

nie podpisać imieniem, nazwiskiem, numerem potoku, numerem grupy oraz nazwiskiem
prowadzącego ćwiczenia. Prosimy o czytelne pisanie rozwiązań – prace nieczytelne nie
będą sprawdzane.

Zadanie 1: Zbadać zbieżność szeregów

P

∞
n

=2

a

n

oraz

P

∞
n

=2

b

n

, gdzie

(a) a

n

=

(−1)

n

3

√

n

2

ln n

(b) b

n

=

(−1)

n

3

√

n

2

ln n−(−1)

n

4

√

n

Wskazówka do (b): Rozważyć szereg

P

∞
n

=2

(b

n

−

a

n

).

Zadanie 2: Wykazać, że równanie 2

x

= 5x − 2 ma co najmniej dwa rzeczywiste rozwiązania.

Zadanie 3: Dla jakich α ∈ R istnieją b, c ∈ R takie, że funkcja

f

(x) =















(−x)

α

+ c jeśli x < 0

b

jeśli x = 0

x

αx

jeśli 0 < x < 1

x

α

jeśli 1 ≤ x.

jest ciągła na całej prostej R?

Zadanie 4: Obliczyć granice funkcji

(a) lim

x→2

2

x

−x

2

x−2

(b) lim

x→0

sin(x sin 3x)

x

2

Zadanie 5*: Niech f : [0, 1] → R będzie funkcją ciągłą oraz f(0) = f(1). Pokazać, że istnieje
punkt 0 < x < 1 taki, że

f

(x

2

) = f (x).

Zadanie 6*: Niech f : R → R będzie funkcją dla której zachodzi własność Darboux oraz
taką, że przeciwobraz dowolnego punktu f

−1

(p) jest zbiorem skończonym (tzn. każda liczba

rzeczywista jest przyjmowana co najwyżej skończenie wiele razy). Wykazać, że f jest funk-
cją ciągłą.
Wskazówka: własność Darboux to własność przyjmowania wartości pośrednich, tzn. jeżeli
f

(a) < y < f (b), to istnieje c leżące pomiędzy a i b takie, że f (c) = y.