Analiza I
Kolokwium, 10 stycznia 2009
UWAGA:
Każde zadanie oddajemy na oddzielnej kartce. Wszystkie kartki należy czytel-
nie podpisać imieniem, nazwiskiem, numerem potoku, numerem grupy oraz nazwiskiem
prowadzącego ćwiczenia. Prosimy o czytelne pisanie rozwiązań – prace nieczytelne nie
będą sprawdzane.
Zadanie 1: Zbadać zbieżność szeregów
P
∞
n
=2
a
n
oraz
P
∞
n
=2
b
n
, gdzie
(a) a
n
=
(−1)
n
3
√
n
2
ln n
(b) b
n
=
(−1)
n
3
√
n
2
ln n−(−1)
n
4
√
n
Wskazówka do (b): Rozważyć szereg
P
∞
n
=2
(b
n
−
a
n
).
Zadanie 2: Wykazać, że równanie 2
x
= 5x − 2 ma co najmniej dwa rzeczywiste rozwiązania.
Zadanie 3: Dla jakich α ∈ R istnieją b, c ∈ R takie, że funkcja
f
(x) =
(−x)
α
+ c jeśli x < 0
b
jeśli x = 0
x
αx
jeśli 0 < x < 1
x
α
jeśli 1 ≤ x.
jest ciągła na całej prostej R?
Zadanie 4: Obliczyć granice funkcji
(a) lim
x→2
2
x
−x
2
x−2
(b) lim
x→0
sin(x sin 3x)
x
2
Zadanie 5*: Niech f : [0, 1] → R będzie funkcją ciągłą oraz f(0) = f(1). Pokazać, że istnieje
punkt 0 < x < 1 taki, że
f
(x
2
) = f (x).
Zadanie 6*: Niech f : R → R będzie funkcją dla której zachodzi własność Darboux oraz
taką, że przeciwobraz dowolnego punktu f
−1
(p) jest zbiorem skończonym (tzn. każda liczba
rzeczywista jest przyjmowana co najwyżej skończenie wiele razy). Wykazać, że f jest funk-
cją ciągłą.
Wskazówka: własność Darboux to własność przyjmowania wartości pośrednich, tzn. jeżeli
f
(a) < y < f (b), to istnieje c leżące pomiędzy a i b takie, że f (c) = y.