Całka oznaczona i jej zastosowania
ZiE, sem.II, 2008-09
mgr K. Kujawska, SNM
Zad.1 Obliczyć całki oznaczone:
1.1
(
)
∫
−
+
1
1
5
5
2
dx
x
e
x
1.2
∫
e
dx
x
x
1
ln
1.3
∫
−
1
0
4
)
1
2
(
dx
x
1.4
∫
+
3
0
2
sin
1
2
sin
π
dx
x
x
1.5
∫
+
1
0
2
1
dx
x
arctgx
1.6
∫
−
−
0
2
)
1
ln(
dx
x
1.7
∫
4
0
2
sin
cos
π
xdx
x
1.8
dx
x
x
x
∫
−
+
−
⋅
2
2
2008
3
3
log
1.9
∫
⋅
3
1
2
2 dx
x
x
1.10
∫
−
1
1
2
dx
x
x
1.11
∫
e
e
dx
x
x
1
ln
1.12
∫
+
1
0
1
1
dx
x
.
Zad.2 Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
2.1
2
,
5
x
y
x
y
=
=
2.2
8
,
0
,
3
=
=
=
y
x
x
y
2.3
2
,
1
,
0
,
=
−
=
=
=
x
x
y
e
y
x
2.4
x
x
y
x
y
2
,
4
2
2
−
=
−
=
2.5
0
4
,
4
2
=
+
−
+
=
y
x
x
x
y
2.6
1
2
,
,
2
2
+
=
=
+
=
x
y
x
y
x
y
(dla x>0)
2.7
2
,
0
,
ln
e
x
y
x
y
=
=
=
2.8
2
,
3
,
2
,
sin
2
π
=
−
=
+
=
=
x
x
y
x
y
x
y
2.9
2
2
,
y
x
x
y
=
=
2.10
16
,
log
,
log
5
,
0
4
=
=
=
x
x
y
x
y
2.11
2
,
1
,
0
,
,
2
2
=
−
=
=
=
=
−
x
x
y
x
y
x
y
2.12
7
,
6
=
+
=
y
x
xy
2.13
9
,
4
,
1
2
=
=
=
⋅
y
y
y
x
2.14
0
,
arccos
,
arcsin
=
=
=
y
x
y
x
y
.
Zad.3 Obliczyć długość łuku krzywej:
3.1
>
∈<
−
=
e
x
x
x
x
f
,
1
,
ln
8
1
)
(
2
3.2
>
∈<
+
=
2
,
1
,
12
1
)
(
3
x
x
x
x
f
3.3
>
−
∈<
+
=
−
6
,
6
,
)
(
2
2
x
e
e
x
f
x
x
3.4
>
∈<
−
=
2
,
1
,
)
ln
2
(
4
1
)
(
2
x
x
x
x
f
3.5
3
,
6
,
cos
ln
3
)
(
π
π
∈
−
=
x
x
x
f
3.6
2
,
3
,
sin
ln
1
)
(
π
π
∈
−
=
x
x
x
f
3.7
1
,
4
1
,
arcsin
)
(
2
∈
−
+
=
x
x
x
x
x
f
3.8
3
,
1
,
ln
)
(
∈
=
x
x
x
f
.
Zad.4 Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót danej krzywej dokoła osi OX:
4.1
2
4
,
)
(
π
π
≤
≤
=
x
ctgx
x
f
4.2
4
3
,
2
3
1
)
(
2
≤
≤
+
−
=
x
x
x
x
f
4.3
>
∈<
−
=
6
,
4
,
3
)
(
x
x
x
f
4.4
>
∈<
−
=
4
,
1
,
3
)
(
x
x
x
f
.
Zad.5 Obliczyć pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót danej krzywej dokoła osi OX:
5.1
>
∈<
=
2
,
1
,
)
(
x
x
x
f
5.2
>
∈<
+
=
2
,
1
,
2
3
)
(
x
x
x
f
5.3
>
∈<
−
=
2
,
0
,
4
)
(
2
x
x
x
f
5.4
>
−
∈<
=
1
,
1
,
3
)
(
3
x
x
x
f
.