1
ZASTOSOWANIE POCHODNEJ DO BADANIA WYRAŻEŃ NIEOZNACZONYCH TYPU
0
0
,
∞
±
∞
±
Twierdzenie de L’Hospitala / Bernoulliego
Jeżeli :
1) funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
b
a,
2)
0
)
(
lim
)
(
lim
0
0
=
=
→
→
x
g
x
f
x
x
x
x
( )
b
a
x
,
0
∈
3) istnieje skończona pochodna
)
(
0
'
x
f
,
)
(
0
'
x
g
przy czym
0
)
(
0
'
≠
x
g
to
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
'
0
'
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
=
→
Dowód: Z istnienia skończonych pochodnych
)
(
0
'
x
f
,
)
(
0
'
x
g
wynika, że funkcje
f
,
g
są
ciągłe w
0
x
tzn.
0
)
(
)
(
lim
)
2
0
0
=
=
→
x
f
x
f
x
x
0
)
(
)
(
lim
)
2
0
0
=
=
→
x
g
x
g
x
x
Ponieważ
0
)
(
0
'
≠
x
g
więc ze wzoru Taylora wynika, że istnieje takie otoczenie
(
)
r
x
r
x
x
V
x
r
+
−
=
0
0
0
0
,
)
(
:
, że
0
)
(
≠
x
g
dla
{ }
0
0
\
)
(
x
x
V
r
zatem dla
{ }
0
0
\
)
(
x
x
V
x
r
∈
mamy
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
'
0
'
0
0
0
0
0
0
0
x
g
x
f
x
x
x
g
x
g
x
x
x
f
x
f
x
g
x
g
x
f
x
f
x
g
x
f
x
x→
→
−
−
−
−
=
−
−
=
Twierdzenie 2
Jeżeli :
1) funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
b
a
,
2)
0
)
(
lim
)
(
lim
0
0
=
=
→
→
x
g
x
f
x
x
x
x
( )
b
a
x
,
0
∈
3) na przedziale
( )
b
a,
istnieje skończona pochodna
)
1
(
''
'
,...,
,
−
n
f
f
f
,
)
1
(
''
'
,...,
,
−
n
g
g
g
przy czym pochodne te
0
)
(
)
(
)
(
)
(
=
=
x
g
x
f
i
i
dla
1
,...
2
,
1
−
=
n
i
4) istnieje skończone pochodne
)
(
0
)
(
x
f
n
,
)
(
0
)
(
x
g
n
przy czym
0
)
(
0
)
(
≠
x
g
n
to
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
n
n
x
x
=
→
Twierdzenie 3
Jeżeli:
1) funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
(
)
δ
+
0
0
, x
x
0
>
δ
2) wyliczamy granicę
0
)
(
lim
)
(
lim
0
0
=
=
+
+
→
→
x
g
x
f
x
x
x
x
3) na przedziale
(
)
δ
+
0
0
, x
x
istnieje skończona pochodna
)
(i
f
,
)
(i
g
1
,...
2
,
1
−
=
n
i
przy czym
0
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
0
0
=
=
+
+
→
→
x
g
x
f
i
x
x
i
x
x
2
4) na przedziale
(
)
δ
+
0
0
, x
x
0
>
δ
istnieje skończona pochodna
)
(n
f
,
)
( n
g
przy czym
0
)
(
≠
n
g
oraz istniej skończona lub nieskończona granica
)
(
)
(
lim
0
x
g
x
f
n
n
x
x
+
→
to
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
n
n
x
x
x
x
+
+
→
→
=
Uwaga: Twierdzenie to zachodzi również gdy
(
)
0
0
, x
x
δ
−
0
<
δ
Twierdzenie 4
Jeżeli:
1) funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
)
,+∞
a
,
0
>
a
2)
0
)
(
lim
)
(
lim
=
=
+∞
→
+∞
→
x
g
x
f
x
x
3) na przedziale
)
,+∞
a
,
0
>
a
istnieje skończona pochodna
'
f ,
'
g przy czym
0
)
(
'
≠
x
g
oraz istniej skończona lub nieskończona granica
)
(
)
(
lim
'
'
x
g
x
f
x
+∞
→
to
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
'
'
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
+∞
→
+∞
→
=
Twierdzenie 5
Jeżeli:
1) funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
(
)
δ
+
0
0
, x
x
,
0
>
δ
2)
0
)
(
lim
)
(
lim
0
0
=
=
+
+
→
→
x
g
x
f
x
x
x
x
3) na przedziale
(
)
δ
+
0
0
, x
x
,
0
>
δ
istnieje skończona pochodna
'
f ,
'
g przy czym
0
)
(
'
≠
x
g
oraz istniej skończona lub nieskończona granica
)
(
)
(
lim
'
'
0
x
g
x
f
x
x
+
→
to
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
'
'
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
+
+
→
→
=
Uwaga: Jeżeli funkcja
f
,
g
dążą do
∞
+ przy
0
x
x
→
to zamiast badać wyrażenie typu
∞
∞
można badać wyrażenie typu
0
0
gdyż
∞
∞
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
x
f
x
g
x
g
x
f
=
0
0
WYRAŻENIA NIEOZNACZONE TYPU
(
)
∞
⋅
0
(
)
−∞
⋅
∞
( )
∞
1
( )
0
0
( )
0
∞
Nieoznaczoność typu
(
)
∞
⋅
0
można sprowadzić do postaci
0
0
lub
∞
∞
3
Jeżeli
0
)
(
lim
0
=
→
x
f
x
x
,
+∞
=
→
)
(
lim
0
x
g
x
x
to piszemy
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
∞
+
≡
≡
⋅
Jeżeli
+∞
=
→
)
(
lim
0
x
f
x
x
,
+∞
=
→
)
(
lim
0
x
g
x
x
to badając granicę
(
)
)
(
)
(
lim
0
x
g
x
f
x
x
−
→
można napisać
0
0
)
(
1
)
(
1
)
(
1
)
(
1
)
(
1
1
)
(
1
1
)
(
)
(
=
⋅
−
=
−
=
−
x
g
x
f
x
f
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
Jeżeli
(
)
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
f
=
jest przy
0
x
x →
wyrażeniem nieoznaczonym typu
( )
∞
1
( )
0
0
( )
0
∞
to równanie
(
)
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
f
=
logarytmujemy obustronnie
(
)
)
(
)
(
ln
ln
x
g
x
f
y =
(
)
)
(
ln
)
(
ln
x
f
x
g
y =