1.
Siły masowe i powierzchniowe w przepływie
Siły powierzchniowe (kontaktowe) – to takie których oddziaływanie na ośrodek jest przenoszone poprzez powierzchnię kontaktu, są to siły o małym zasięgu
(3 składowe) x (3 orientacje) = 9
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
Siły masowe - to takie które przenoszą się na każdy punkt materialny ośrodka, działają na duże odległości
k
F
j
F
i
F
F
z
y
x
N
k
f
j
f
i
f
f
z
y
x
2
/ m
N
2.
Warunek równowagi de Alemberta
Siły masowe
f
0
dV
dV
dm
dV
f
dm
f
F
d
V
dV
f
F
Siły powierzchniowe
2
/ m
N
p
dA
n
n
n
p
dA
n
p
A
d
P
d
z
y
x
1
0
0
0
1
0
0
0
1
pdA
dA
n
p
dA
n
n
n
p
P
d
z
y
x
A
pdA
P
W przypadku równowagi
0
P
F
Z tw. Gaussa Ostrogradskiego
0
A
V
pdA
dV
f
V
A
dV
v
pdA
Zatem
0
V
V
pdA
v
dV
f
0
V
dV
p
v
f
Dla
0
dV
v
mamy
0
p
v
f
czyli
f
p
v
1
Dopisując składowe
x
f
y
f
z
f
i mnożąc odpowiednio przez
dx dy dz
mamy
dx
f
dx
x
p
x
1
dy
f
dy
y
p
y
1
dz
f
dz
z
p
z
1
dz
f
dy
f
dx
f
dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
z
y
x
1
dz
f
dy
f
dx
f
dp
z
y
x
1
Biorąc pod uwagę że
p
grad
p
v
v
f
1
Na powierzchni stałego potencjału
const
v
0
dz
f
dy
f
dx
f
z
y
x
3.
Napór hydrostatyczny
Wypadkowa siła to ciecz będąca w stanie równowagi, działająca na ścianę lub jej fragment.
Siła naporu od strony wewnętrznej
A
A
w
A
d
gz
p
A
pd
P
0
Siła naporu od strony zewnętrznej
A
z
A
d
p
P
0
Napór hydrostatyczny
A
A
z
w
A
d
p
A
d
gz
p
P
P
P
0
0
dA
n
A
d
k
k
n
j
j
n
i
i
n
k
n
j
n
i
n
n
n
n
z
y
x
,
cos
,
cos
,
cos
k
dA
k
n
j
dA
j
n
i
dA
i
n
dA
n
gz
P
A
A
A
A
,
cos
,
cos
,
cos
Pz
Py
Px
k
gzdA
j
gzdA
i
gzdA
P
Az
Ay
Ax
rzutu
s
x
Ax
Ax
A
z
g
gM
zdA
g
gzdA
Px
rzutu
s
y
Ay
Ay
A
z
g
gM
zdA
g
gzdA
Py
z
Az
Az
gV
zdA
g
gzdA
Pz
Współrzędne środka naporu
Ax
N
x
dA
gz
z
P
Ax
N
x
dA
z
g
z
gM
2
x
x
x
Ax
N
M
I
M
dA
z
z
2
Ax
N
x
dA
gz
y
P
Ax
N
x
yzdA
g
y
gM
x
x
x
Ax
N
M
D
M
yzdA
y
4.
Twierdzenie Reynoldsa o transporcie
Pole wielkości ekstensywnej
t
r
R ,
0
dV
3
R
V
dV
Sumarycznie
V
RdV
Zmiana może być wywołana na 2 sposoby
Zmiana lokalna pola R
0
dV
V
dV
t
V
Wymiana z otoczeniem przez powierzchnię brzegową A na drodze konwekcji (unoszenia) z prędkością
v
A
A
A
d
v
R
dA
n
v
R
dA
n
v
R
A
V
V
A
d
v
R
dV
t
R
RdV
dt
d
Z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego
V
A
dV
v
R
A
d
v
R
V
V
V
V
dV
v
R
t
R
dV
v
R
dV
t
R
RdV
dt
d
v
R
dt
dR
v
R
R
v
t
R
v
R
t
R
Twierdzenie Reynoldsa
V
V
V
dV
v
R
dt
dR
dV
v
R
t
R
RdV
dt
d
5.
Ogólne sformułowanie zasad zachowania (masy, pędu)
0
dV
dV
dm
sumaryczna masa
V
dV
Zmiana masy
V
V
V
dV
v
dt
d
dV
v
t
dV
dt
d
Dla układu izolowanego, gdy masa jest zachowana
0
0
0
0
0
v
dt
d
dV
v
dt
d
v
t
dV
v
t
dV
dt
d
V
V
V
Zachowanie pędu
0
dV
dV
dm
dV
v
dm
v
sumaryczny pęd
V
dV
v
Zmiana pędu
V
V
dV
v
v
v
dt
d
dV
v
dt
d
Zauważmy
dt
v
d
v
v
v
v
dt
v
d
v
v
dt
d
v
dt
dv
v
v
v
dt
d
V
V
V
dV
dt
v
d
dV
v
v
v
dt
d
dV
v
dt
d
Dla układów nie izolowanych mamy
Siły masowe
f
,
0
dV
dV
dm
V
dV
f
F
dV
f
dm
f
F
d
Siły powierzchniowe
,
dA
n
A
d
0
dA
A
dA
P
A
d
P
d
Z twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego
V
A
dV
dA
P
V
V
V
V
dV
f
dV
dV
f
P
F
dV
dt
V
d
Lokalnie mamy (Cauchy 1828)
f
dt
V
d
6.
Równanie Gromeky Lamba
p
f
v
v
dx
v
d
v
v
dx
v
d
dt
v
d
p
f
dt
v
d
1
1
k
z
v
v
y
v
v
x
v
v
j
z
v
v
y
v
v
x
v
v
i
z
v
v
y
v
v
x
v
v
v
v
z
z
z
y
z
x
y
z
y
y
y
x
x
z
x
y
x
x
Weźmy składnik na kierunek x
x
v
v
z
v
v
x
v
v
y
v
v
z
v
v
y
v
v
x
v
v
z
v
v
y
v
v
x
v
v
v
v
z
z
x
z
y
y
x
y
z
z
y
y
x
x
x
z
x
y
x
x
x
...
2
2
2
y
z
z
y
z
z
y
y
x
x
z
x
z
y
x
y
z
z
y
y
x
x
x
v
rot
v
v
rot
v
v
v
z
v
v
y
v
v
x
x
v
z
v
v
x
v
y
v
v
z
v
v
y
v
v
x
v
v
v
v
z
y
x
x
y
x
z
y
z
z
y
x
v
rot
v
rot
v
rot
k
y
v
x
v
j
z
v
x
v
i
z
v
y
v
v
v
v
z
y
x
k
j
i
v
v
rot
y
z
z
y
y
z
y
z
z
y
y
x
x
v
rot
v
v
rot
v
v
v
x
v
rot
v
rot
v
v
v
v
v
v
v
x
2
2
...
Dopisując dla składowych na kierunkach x, y, z mamy
y
z
z
y
x
v
rot
v
v
rot
v
v
v
x
v
v
2
x
z
z
x
y
v
rot
v
v
rot
v
v
v
y
v
v
2
x
y
y
x
z
v
rot
v
v
rot
v
v
v
z
v
v
2
Podstawiając do równania mamy
k
v
rot
v
v
rot
v
v
v
z
j
v
rot
v
v
rot
v
v
v
y
i
v
rot
v
v
rot
v
v
v
x
k
v
v
j
v
v
i
v
v
v
v
x
y
y
x
x
z
z
x
y
z
z
y
z
y
x
2
2
2
Rotacja rotacji prędkości
k
v
rot
v
v
rot
v
j
v
rot
v
v
rot
v
i
v
rot
v
v
rot
v
v
v
v
v
rot
v
rot
v
rot
k
j
i
v
v
rot
y
x
x
y
x
z
z
x
z
y
y
z
z
y
x
z
y
x
Więc mamy
v
v
rot
v
v
grad
v
v
v
v
v
v
2
2
Wychodząc z równania Eulera
p
f
v
v
x
v
1
Otrzymujemy równanie Gromeky-Lamba
p
grad
f
v
v
rot
v
v
grad
x
v
1
2
7.
Całki szczególne równania Gromeky Lamba
Założenia:
Przepływ jest ustalony
0
t
v
Przepływ jest bez wirowy
0
v
rot
Pole sił masowych
f
jest potencjalne
grad
f
Płyn jest barotropowy
grad
p
grad
1
d
dp
1
Wówczas równanie Gromek-Lamba
p
grad
f
v
v
rot
v
v
grad
x
v
1
2
Przyjmuje postać
grad
grad
v
grad
0
2
0
2
2
0
2
v
grad
całka Lagrangea
Izoterma
const
p
p
const
T
więc
const
p
C
p
p
p
const
p
const
dp
p
const
dp
ln
ln
ln
1
Izochora
const
C
p
const
p
dp
const
dp
1
1
Izobara
const
p
0
1
dp
Adiabata
/
1
/
1
1
1
1
1
const
p
const
p
const
p
const
p
p
C
p
p
p
const
p
p
const
p
const
dp
p
const
dp
p
const
dp
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
/
1
/
1
/
1
1
Izoterma
const
gz
p
p
v
p
p
ln
2
ln
2
Izochora
const
gz
p
v
p
2
2
Izobara
const
gz
v
2
0
2
Adiabata
const
gz
p
v
p
1
2
1
2
8.
Opory w przepływie
Równanie Bernouli’ego
0
2
2
1
2
1
2
2
2
1
z
z
g
p
p
v
v
Dla płynu rzeczywistego
e
gz
p
v
gz
p
v
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
Naprężenia styczne na ścianki
2
4
2
*
v
Praca płynu przeciw tarciu gdzie T to siła tarcia wywołana
*
oraz
s
u
obwód
ds
s
u
dT
*
Praca tarcia
Masa elementu strugi
dsds
s
u
x
ds
s
A
dV
dm
Odnosząc tarcie do masy
ds
s
A
s
u
ds
s
A
dsds
s
u
dm
ds
dT
x
*
*
Biorąc pod uwagę że
Oraz przyjmując że kanał jest kołowy, czyli
8
2
4
2
2
v
v
x
d
d
d
s
A
s
u
4
4
2
Elementarna strata energii
0
2
1
4
8
2
2
*
ds
v
d
ds
d
v
ds
s
A
s
u
de
Jeżeli między 1-1 a 2-2
const
to
2
2
1
2
1
2
0
2
0
2
v
d
l
ds
v
d
ds
v
d
e
l
l
Opory i straty na armaturze
Współcześnie straty energii w przepływie
2
2
v
e
n
i
i
d
l
v
e
1
2
2
9.
Podobieństwo przepływu
Równania ruchu płynu nieściśliwego
0
v
v
p
f
dt
dv
1
Wyprowadźmy skale charakterystycznych wielkości to
0
L
0
f
0
t
0
p
każdą z wielkości fizycznych można zapisać jako
x
l
x
0
y
l
y
0
z
l
z
0
t
t
t
0
…
dt
d
t
t
t
d
d
dt
d
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
l
k
z
j
y
i
x
l
k
z
l
j
y
l
i
x
l
k
z
j
y
i
x
0
2
2
0
2
0
2
1
1
1
l
l
l
v
v
l
p
p
l
f
f
dt
v
v
d
l
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
v
l
v
p
l
p
f
f
dt
v
d
t
v
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
/
v
l
v
v
l
p
v
p
f
v
l
f
dt
v
d
v
t
l
0
0
2
0
0
2
0
0
0
0
0
0
St
v
t
l
0
0
0
Vincent Straud
Fr
v
l
f
2
0
0
0
William Froude
Eu
v
p
2
0
0
Leonard Euler
Re
0
0
v
l
Osborne Reynolds
Postać bezwymairowa równania Navier-Stokes
v
p
Eu
f
Fr
dt
dv
St
Re
1