1
Kinematyka
(opis ruchu bez analizowania jego przyczyny)
Punkty materialne to obiekty obdarzone masą, których rozmiary
(objętość) możemy zaniedbać.
Pod pojęciem ruchu rozumiemy zmiany wzajemnego położenia
jednych ciał względem drugich wraz z upływem czasu.
Ruch odbywa się względem wybranego układu odniesienia.
Kinematyka – opis ruchu bez okre
ś
lania jego przyczyny
2
)]
(
),
(
),
(
[
t
z
t
y
t
x
=
(t)
r
TOR RUCHU
)]
(
),
(
),
(
[
0
t
z
t
y
t
x
=
)
(t
(t)
(t)
∆
∆
∆
−
=
∆
r
r
r
PRZEMIESZCZENIE
Tor ruchu to krzywa jaką w przestrzeni zakreśla punkt materialny.
POŁO
Ż
ENIE
=
=
=
)
(
)
(
)
(
t
z
z
t
y
y
t
x
x
lub
kinematyczne
równania
ruchu
Układ kartezjański
PR
Ę
DKO
ŚĆ
CHWILOWA
dt
(t)
d
t
(t)
t)
(t
t
=
(t)
t
t
r
r
r
r
=
∆
−
∆
+
=
=
∆
∆
>
−
∆
>
−
∆
0
0
lim
lim
v
PRZYSPIESZENIE CHWILOWE
2
2
0
0
)
(
)
(
lim
lim
)
(
dt
t
d
dt
t
d
t
(t)
t)
(t
t
t
t
t
r
v
v
v
v
a
=
=
∆
−
∆
+
=
∆
∆
=
>
−
∆
>
−
∆
dt
dz
dt
dy
dt
dx
=
,
,
v
dt
z
d
dt
y
d
dt
x
d
dt
d
dt
d
dt
d
=
=
2
2
2
2
2
2
,
,
,
,
z
y
x
v
v
v
a
3
PRZYSPIESZENIE STYCZNE I NORMALNE
dt
t
d
t
a
s
)
(
)
(
v
=
)
(
)
(
)
(
2
2
t
a
t
a
t
a
s
n
−
=
PRZEMIESZCZENIE I DROGA
∑
∑
∆
=
=
i
i
i
i
t
∆
s
t
s
i
v
)
(
dt
t
ds
t
)
(
)
(
=
v
Warto
ść
pr
ę
dko
ś
ci
to szybko
ść
(inaczej pr
ę
dko
ść
liniowa)
)
(
|
)
(
|
t
t
v
=
v
∑
∑
∆
=
=
i
i
i
t
∆
t
∆
i
i
v
r
r )
(
dt
(t)
d
=
(t)
r
v
4
PR
Ę
DKO
ŚĆ Ś
REDNIA
t
t
t
t
t
t
ś
r
∆
∆
=
−
−
=
)
(
)
(
)
(
0
0
r
r
r
v
Wektorowa:
t
t
s
t
t
t
s
ś
r
∆
=
−
=
)
(
)
(
)
(
0
v
Liniowa:
|
|
)
(
ś
r
ś
r
v
≠
v
Uwaga:
PRZYKŁADY RUCHU
Ruch w jednym wymiarze (y=0, z=0):
Ruch jednostajny prostoliniowy
const
x
=
=
v
v
Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy
const
a
a
x
=
=
t
x
x
v
+
=
0
równanie ruchu
t
a
+
=
0
v
v
x
2
2
0
0
at
t
x
x
+
+
=
v
równanie ruchu
UWAGA: v mo
ż
e by
ć
ujemne lub dodatnie
(od tego zale
ż
y, w któr
ą
strone ciało sie porusza)
UWAGA: v
0
,
a
mog
ą
by
ć
ujemne lub dodatnie. Gdy v
0
,
a
maj
ą
:
1) ten sam znak to ruch jest jednostajnie przyspieszony,
2) ró
ż
ne znaki to ruch jest jednostajnie opó
ź
niony.
5
Ruch w dwóch wymiarach (z=0):
−
=
=
=
=
g
g
a
g
a
y
y
x
x
0
Rzut ukośny
−
=
=
gt
y
x
α
α
sin
cos
0
0
v
v
v
v
−
=
=
2
)
sin
(
)
cos
(
2
0
0
gt
t
y
t
x
α
α
v
v
równania
ruchu
2
2
0
)
cos
(
2
)
(
x
g
x
tg
y
α
α
v
−
=
równanie toru
Ruch w dwóch wymiarach:
Ruch po okręgu – stała prędkość kątowa:
+
=
=
=
0
)
(
.
)
(
ϕ
ω
ϕ
t
t
const
r
t
r
+
=
+
=
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
0
0
ϕ
ω
ϕ
ω
t
r
t
y
t
r
t
x
+
=
=
+
−
=
=
)
cos(
/
)
sin(
/
0
0
ϕ
ω
ϕ
ω
t
rω
dt
dy
t
rω
dt
dx
y
x
v
v
const
dt
d
=
=
ϕ
ω
równania
ruchu
Układ kartezjański:
Układ biegunowy:
const
t
=
∆
∆
= ϕ
ω
6
Ruch w dwóch wymiarach:
Ruch po okręgu –
stała prędkość kątowa:
0
=
=
dt
d
ω
ε
−
=
+
−
=
=
−
=
+
−
=
=
2
0
2
2
0
2
)
sin(
/
)
cos(
/
yω
t
rω
dt
d
a
xω
t
rω
dt
d
a
y
y
x
x
ϕ
ω
ϕ
ω
v
v
Układ kartezjański:
Układ biegunowy:
2
,
0
rω
a
a
a
doś
n
S
=
=
=
r
a
2
2
2
)
,
(
ω
yω
xω
−
=
−
−
=
lub inaczej:
const
t
=
∆
∆
= ϕ
ω
+
=
=
=
0
)
(
.
)
(
ϕ
ω
ϕ
t
t
const
r
t
r
+
=
+
=
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
0
0
ϕ
ω
ϕ
ω
t
r
t
y
t
r
t
x
+
=
=
+
−
=
=
)
cos(
/
)
sin(
/
0
0
ϕ
ω
ϕ
ω
t
rω
dt
dy
t
rω
dt
dx
y
x
v
v
const
dt
d
=
=
ϕ
ω
równania
ruchu
Ruch w dwóch wymiarach:
Ruch po okręgu -
zmienny
=
=
=
r
t
l
t
const
t
r
)
(
)
(
0
oraz
.
)
(
0
ϕ
ϕ
r
t
l
r
t
v
=
=
=
d
d
1
d
d
ϕ
ω
Układ biegunowy:
r
a
t
r
t
s
=
=
=
d
d
1
d
d
v
ω
ε
r
r
a
a
ε
r
a
doś
n
S
2
2
,
v
=
=
=
=
ω
7
=
=
=
=
r
rω
a
a
ε
r
a
doś
n
S
2
2
v
rω
=
v
WZGL
Ę
DNO
ŚĆ
RUCHU
(t)
(t)
=
(t)
BA
CB
CA
r
r
r
+
Wzgl
ę
dne poło
ż
enie:
dt
(t)
d
dt
(t)
d
=
dt
(t)
d
BA
CB
CA
r
r
r
+
(t)
(t)
=
(t)
BA
CB
CA
v
v
v
+
Wzgl
ę
dna pr
ę
dko
ść
:
dt
(t)
d
dt
(t)
d
=
dt
(t)
d
BA
CB
CA
v
v
v
+
(t)
(t)
=
(t)
BA
CB
CA
a
a
a
+
Wzgl
ę
dne przyspieszenie:
8