Wykład 7 
Przyśpieszenie dowolnego punktu B pręta AB poruszającego 
się ruchem płaskim, jest równe sumie geometrycznej 
przyśpieszenia dowolnie obranego punktu A oraz 
przyśpieszenia punktu B wynikającego z obrotu względem 
punktu A. 
 

Ruch kulisty ciała sztywnego 

Ruchem kulistym ciała sztywnego nazywamy taki ruch ciała 
podczas którego jeden jego punkt pozostaje nieruchomy 

ξ

 - ksi, ψ – psi,  ζ – dzeta, φ – fi,  η – eta, 

ϑ

 - teta 

Układ nieruchomy 0xyz, wersory tego układu i

1

, j

1

, k

1

, 

układ związany z ciałem 0ξηζ, wersory tego układu i

2

, j

2

, k

2

 

          ζ              z                             

Patrz Jan Misiak tom II

 

                                               η                    

strona 105

 

                        M   
                            r                                        z 
                     0                     y       

ζ

       

ϑ

                       

 
      x                           ξ                                 

k

1

                      

η

 

                                                           

k

2 

                                                                0                              y 
                                                                 

ψ 

                

ω

                        x                                

                                                                   k

3

     

φ  

      

ξ

  

                                       M

’

                           

n

 

 
                                      

∆

r       

∆

θ

 

                                   M                        ψ, φ, 

ϑ

- kąty Eulera 

 
                                  r 
                        

∆θ

         Rys.54 Obrót ciała  

                                 0 

46kin

Wektor wypadkowy małego obrotu ∆θ jest równy 
sumie geometrycznej wektorów małych obrotów wokół 
poszczególnych osi 
                  

ϑ

Δ

ϕ

Δ

ψ

Δ

Θ

Δ

3

2

1

k

k

k

G

G

G

G

+

+

=

                         (70) 

Prędkości kątowe i liniowe w ruchu kulistym 

Prędkość liniowa punktu M (rys.54)jest równa  

r

r

t

lim

t

r

lim

t

r

lim

V

0

t

0

t

0

t

G

G

H

G

G

G

G

G

×

=

×

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

×

=

=

→

→

→

ω

Δ

Θ

Δ

Δ

Θ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

       (71) 

gdzie 

ω

 - chwilowa prędkość kątowa ciała sztywnego 

        

t

k

k

k

lim

t

lim

3

2

1

0

t

0

t

Δ

ϑ

Δ

ϕ

Δ

ψ

Δ

Δ

Θ

Δ

ω

Δ

Δ

G

G

G

G

G

+

+

=

=

→

→

 

                          

t

lim

k

t

lim

k

t

lim

k

0

t

3

0

t

2

0

t

1

Δ

ϑ

Δ

Δ

ϕ

Δ

Δ

ψ

Δ

ω

Δ

Δ

Δ

→

→

→

+

+

=

G

G

G

G

 

 
             

3

2

1

3

2

1

k

k

k

ω

ω

ω

ϑ

ϕ

ψ

ω

G

G

G



G



G



G

G

+

+

=

+

+

=

                 (72) 

 

ω

1 

–prędkość kątowa precesji, wektor 

ω

1

 pokrywa się z 0z 

ω

2

- prędkość kątowa obrotu własnego, wektor 

ω

2

 pokrywa 

       się z osią układu ruchomego 0 

ζ

 

ω

3

- prędkość kątowa nutacji, wektor 

ω

3

 leży na linii węzłów 

       0n (rys.54) 
Składowe wektora prędkości kątowej 

ω

 : 

 
                    

ψ

ω

ψ

ϑ

ω

ω

cos

sin

sin

3

2

x

+

=

 

                    

ψ

ω

ψ

ϑ

ω

ω

sin

cos

sin

3

2

y

+

−

=

                  (73) 

                    

ϑ

ω

ω

ω

cos

2

1

z

+

=

 

 
                      

ϕ

ω

ϕ

ϑ

ω

ω

ξ

cos

sin

sin

3

1

+

=

 

                      

ϕ

ω

ϕ

ϑ

ω

ω

η

sin

cos

sin

3

1

−

=

                   (74) 

                      

2

1

cos

ω

ϑ

ω

ω

ζ

+

=

 

47kin

                                                                                        47a.kin 
 
Rysunki do wzorów (73) 
 
              

ζ

                       z                                                 

                                       
                  

 

          

ϑ

      

ω

2

cos

ϑ

 

                 

 
                       

ω

2

           

ω

1                      

η

 

                                                                    

ω

2

sin

ϑ

cosΨ

 

                  

ω

2

sin

ϑ

   0                            y                  0            y 

                                  ψ                           

ω

2

sin

ϑ

 

   m                                                                        

ω

2

sin

ϑ

sinΨ 

                                   

ω

3

    

ϕ

        

ξ

                             Ψ 

                   x                 

n                     

m

     

90

0

-Ψ

       

           

n 

                                                                                    x 
                                   0         

ω

3

sinΨ 

                                                                            y 
 
                         
                                                        

ω

3 

            m                        

ω

3

cosΨ 

 
                                                                      

n 

                                       x 
                                                                Rys.54a 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                                   47b.kin 
Rysunki do wzorów (74) 
                            z 
        

ζ                  

ω

1

                                 

η 

                                              

π

 

    

ω

1

cos

ϑ 

              

ω

2

                                            

π

1

 

                                                                                 n

1

                    

 
             

ω

1

sin

ϑ 

 
                            

ω

3

                                    

ξ

 

                                                

ϕ

 

                                          

n             n 

jest prostopadłe do pł.

 

π

 

                                                            a więc jest prostopadłe do n

1

 

                                                         n

1

 jest prostopadłe do 

ζ 

bo  

                                                              leży w pł. 0

ξη

 

 
                                          0     

ω

1

sin

ϑ

cos

ϕ

 

                                                                                                

η

 

 
                                                             

ω

1

sin

ϑ

 

                                    

ϕ 

                                              

ω

1

sin

ϑ

sin

ϕ

 

 
            

n                                                                          

n

1 

 
                                              

ξ 

                                                                                    Rys.54b 
 
                               

ω

3

sin

ϕ

  0                    

η

 

 
                            

ω

3

              

ω

3

cos

ϕ

 

 
                                 

ϕ

 

             

n                               

ξ

 

 

Znając położenie chwilowej osi obrotu i składowe 
 prędkości kątowej ciała wokół tej osi, można wyznaczyć prędkość 
liniową dowolnego punktu M ciała 

        

ζ

η

ξ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ζ

η

ξ

2

2

2

z

y

x

1

1

1

k

j

i

z

y

x

k

j

i

r

V

G

G

G

G

G

G

G

G

G

=

=

×

=

           (75) 

Wartość liczbowa tej prędkości wynosi 

   

h

sin

r

V

ω

α

ω

=

=

                                                       (76) 

                              z                   M 
                                                        

V 

                                                        h 
                                                                     l 
 
 
                             0                                      y 
                                                z     x 
                  x                  y                    Rys.55 
 

Składowe prędkości liniowej punktu M w: 
 nieruchomym układzie współrzędnych 0xyz są równe

 

y

z

V

z

y

x

ω

ω

−

=

,   

z

x

V

x

z

y

ω

ω

−

=

,    

x

y

V

y

x

z

ω

ω

−

=

 

ruchomym układzie współrzędnych 

ξηζ

0

wynoszą   

η

ω

ζ

ω

ζ

η

ξ

−

=

V

,  

ζ

ω

ξ

ω

ξ

ζ

η

−

=

V

,    

ξ

ω

η

ω

η

ξ

ζ

−

=

V

 

Przyśpieszenie kątowe i liniowe w ruchu kulistym 

Różniczkując (72) otrzymujemy przyśpieszenie kątowe 

(

)

(

)

=

+

+

=

+

+

=

=

3

3

2

2

1

1

3

2

1

k

k

k

dt

d

dt

d

dt

d

G

G

G

G

G

G

G

G

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ε

 

      

dt

k

d

dt

k

d

dt

k

d

k

k

k

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

G

G

G

G



G



G



ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

+

+

+

=

 

      

2

3

1

3

3

2

2

1

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

G

G

G

G

G



G



G



×

+

×

+

+

+

=

k

k

k

                            (77) 

gdzie 

,

0

dt

k

d

1

=

G

   

,

k

)

(

dt

k

d

2

3

1

2

G

G

G

G

×

+

=

ω

ω

    

3

1

3

k

dt

k

d

G

G

G

×

=

ω

 

 

48kin

               
           r 
 
             

α

 

        

ω

 

Różniczkując (75) otrzymujemy wzór na  
przyśpieszenie liniowe punktu M 

(

)

V

r

dt

r

d

r

dt

d

r

dt

d

dt

V

d

a

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

×

+

×

=

×

+

×

=

×

=

=

ω

ε

ω

ω

ω

     (78) 

Chwilowe osie obrotu w układzie ruchomym tworzą pewną 
powierzchnię stożkową z wierzchołkiem w punkcie 0. 

Aksoida ruchoma jest to miejsce geometryczne chwilowych 
osi obrotu w układzie ruchomym. 

Aksoida nieruchoma jest to miejsce geometryczne 
chwilowych osi obrotu w układzie nieruchomym

. 

 

PRECESJA REGULARNA 

Kąt precesji 

ϑ

 = const, stąd 

0

dt

d

3

=

=

ϑ

ω

        

2

1

ω

ω

ω

G

G

G

+

=

 

oraz  

ω

1

 = const,  

ω

2

 = const   

                                   l

0

               z 

 
                ζ 
 
 
                                      υ 
                                      

ω

 

 
                                                        

ω

1

                      η 

                                        

ω

2

          

 
                                                 0                                  y 
 
                       x               ψ         

ε

     

ϕ

            ξ 

                                                            n 
 

       

Rys.56 Precesja regularna

 

49kin

Na podstawie wzoru (77) przyśpieszenie kątowe 
            

ω

ω

ε

G

G

G

×

=

1

                                                 (79) 

Biorąc pod uwagę, że 

2

1

ω

ω

ω

G

G

G

+

=

 otrzymamy  

           

(

)

2

1

2

1

1

ω

ω

ω

ω

ω

ε

G

G

G

G

G

G

×

=

+

×

=

  gdyż 

0

1

1

=

×

ω

ω

G

G

 

Wektor przyśpieszenia kątowego 

ε

  o przyjętym początku 

w środku ruchu kulistego 0 jest prostopadły do wektorów  

ω

1

 i 

ω

2

, a więc jest skierowany wzdłuż linii węzłów 0n 

Przyśpieszenie liniowe a jest równe sumie geometrycznej 
przyśpieszenia precesyjnego a

1

  

                 

(

)

r

r

a

2

1

1

G

G

G

G

G

G

×

×

=

×

=

ω

ω

ε

                           (80) 

i przyśpieszenia doosiowego a

2 

                 

(

)

V

V

a

2

1

2

G

G

G

G

G

G

×

+

=

×

=

ω

ω

ω

                        (81) 

                  

2

1

a

a

a

G

G

G

+

=

                                                 (82) 

Przykład 18 

Stożek kołowy o kącie wierzchołkowym 2

α

 = 60

0

 i długości 

tworzącej ściany bocznej l toczy się bez poślizgu po 
poziomej płaszczyźnie. Oś stożka obraca się ze stałą 
prędkością kątową precesji 

ω

1

 s

-1

 wokół pionowej osi 0z. 

Obliczyć prędkości i przyśpieszenia liniowe punktów A i B.  
                              z                      A 
 
                                             r

A 

 
                                  

ω

1

           2

α

 

                                                             B

 

        

ω

                                                                           y 

                                0                       r

B 

       

ω

2 

                      x 
                                 Rys.57 
 
 

50kin 

Rozwiązanie 

Po przyjęciu w punkcie 0 nieruchomego układu 
współrzędnych 0xyz promienie wektory punktów A i B 
wynoszą: 

(

)

k

3

j

l

5

.

0

r

A

G

G

G

+

=

,      

(

)

k

3

5

.

0

j

5

.

1

i

l

5

.

0

r

B

G

G

G

G

+

+

=

 

Prędkości kątowe są równe 
                      

,

k

1

1

G

G

ω

ω

=

   

j

3

1

G

G

ω

ω

−

=

 

Z wzoru (75) określamy prędkości: 
dla punktu A 

          

i

l

5

.

1

2

l

3

3

1

0

0

1

0

k

j

i

r

V

1

1

A

A

G

G

G

G

G

G

G

ω

ω

ω

−

=

−

=

×

=

 

                                                              

l

5

.

1

V

1

A

ω

=

 

dla punktu 

B 

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=

−

=

×

=

k

3

5

.

0

i

4

3

l

2

l

3

3

5

.

0

5

.

1

1

0

1

0

k

j

i

r

V

1

1

B

B

G

G

G

G

G

G

G

G

ω

ω

ω

 

                                                              

l

21

25

.

0

V

1

B

ω

=

 

Przyśpieszenie kątowe 

ε

G

stożka wyznaczamy ze wzoru (79) 

i

3

3

0

1

0

1

0

0

k

j

i

2

1

2

1

1

G

G

G

G

G

G

G

⋅

=

−

=

×

=

ω

ω

ω

ω

ε

 

Przyśpieszenia liniowe punktów 

A i B z wzorów (80÷82) 

wynoszą: 

(

)

k

3

j

3

l

5

.

0

2

l

3

3

1

0

0

0

1

k

j

i

r

a

2

1

2

1

A

A

1

G

G

G

G

G

G

G

G

+

−

=

=

×

=

ω

ω

ε

 

 

51kin

k

l

3

5

.

1

l

2

3

3

0

0

1

0

1

0

k

j

i

V

a

2

1

2

1

A

A

2

G

G

G

G

G

G

−

=

−

−

=

×

=

ω

ω

 

 

(

)

k

3

j

5

.

1

l

a

a

a

2

1

A

2

A

1

A

G

G

G

G

G

+

−

=

+

=

ω

 

 

(

)

k

3

j

l

4

3

2

l

3

3

2

1

2

3

1

0

0

1

k

j

i

r

a

2

1

2

1

B

B

1

G

G

G

G

G

G

G

G

+

−

=

=

×

=

ω

ω

ε

 

 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

−

−

=

×

=

k

2

3

i

l

2

3

l

3

2

3

0

4

3

0

1

0

k

j

i

V

a

2

1

2

1

B

B

2

G

G

G

G

G

G

G

G

ω

ω

ω

 

 
            

(

)

j

75

.

0

i

5

.

1

l

a

a

a

2

1

B

2

B

1

B

G

G

G

G

G

+

−

=

+

=

ω

 

 
 
                                               

a

Bx 

                                       

a

B 

                      

a

By

                   B                              y 

                                  

       i        j 

 
 
                                              

x 

Rys.58 

52kin