Wprowadzenie
do algebry wektorów
Wprowadzenie
do algebry wektorów
Wektory:
-wartość liczbowa = długość, moduł (skalar, dodatni)
-kierunek i zwrot
-operacje dodawania - reguła równoległoboku
Symbolika:
wektor:
a, r, a, r
moduł wektora (długość): a, r, a , r , a , r
repr.graficzna
(w skali)
wektory swobodne kolinearne, komplanarne
Dodawanie wektorów
a
b
a+b
a
b
a
b
a+b
lub
czyli długość sumy dwóch wektorów
a i b, tj. wektora (a+b) wynosi
(a+b)
2
= a
2
+b
2
– 2cos(a,b)
Operacje na wektorach
Dodawanie wielu wektorów
Σ
Mnożenie wektora r przez skalar k
= wektor p :
p= k r
kierunek i zwrot zachowane,
moduł (długość) zmieniona k-krotnie
Wersor e
a
wektora a (osi):
|e
a
| = e
a
= 1
a = a e
a
Odejmowanie wektorów
a - b = a + (- b)
e
a
Liniowa zależność wektorów (niekolinearnych):
trzy dowolne wektory komplanarne a,b,c
spełniają zależność:
c= k a + p b,
c
a
b
Liniowa zależność wektorów (niekolinearnych):
trzy dowolne wektory komplanarne a,b,c
spełniają zależność:
c= k a + p b,
c
a
b
Liniowa zależność wektorów (niekolinearnych):
trzy dowolne wektory komplanarne a,b,c
spełniają zależność:
c= k a + p b,
c
a
b
pb
ka
k<0
Liniowa zależność wektorów (niekomplanarnych):
podobnie dowolny wektor d można wyrazić
za pomocą kombinacji liniowej trzech innych:
d = k a + p b + s c
c
a
b
d
Rzut prostopadły
a
l
wektora
a na oś l
Rzut
b
l
sumy wektorów
b
l
= b
1l
+ b
2l
+b
3l
+....
b
1
b
1
a
l
a
l
ϕ
a
l
= a cos
ϕ
przy czym rzut ma znak (+)
gdy kąt |
ϕ
|<½
π
i znak (-) gdy |
ϕ
|>½
π
(jak cos
ϕ
)
Osie układu prostokątnego (kartezjańskiego)
wersory
e
x
, e
y
, e
z
(baza)
dowolny wektor
a = a
x
e
x
+ a
y
e
y
+ a
z
e
z
,
rzuty prostopadłe - składowe wektora a
a
x
= x
,
a
y
= y
,
a
z
= z,
a
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
y
x
e
y
e
x
a
x
a
y
a
Ponieważ rzut b
l
sumy wektorów
b
l
= b
1l
+ b
2l
+b
3l
+....
równa się sumie rzutów poszczególnych składowych,
to także dla składowych ortonormalnych (kartezjańskich):
jeśli
a = a
x
e
x
+ a
y
e
y
+ a
z
e
z
,
b = b
x
e
x
+ b
y
e
y
+ b
z
e
z
,
to
a+b = (
a
x
+
b
x
)
e
x
+ (a
y
+
b
y
)
e
y
+ (a
z
+
b
z
)
e
z
Iloczyn skalarny wektorów
a b = ab cos
ϕ
podobnie, w zapisie kartezjańskim
a b = a
x
b
x
+ a
y
b
y
+ a
z
b
z
= b a
skalar!
;
inv(obr)
[stąd np. długość |(a+b)|
2
= |a|
2
+ |b|
2
– 2ab]
Iloczyn wektorowy wektorów
a x b = (ab sin
ϕ) n ,
n - wersor normalny do a i b
a, b, n tworzą układ prawoskrętny
w zapisie kartezjańskim e
x
, e
y
, e
z
a x b = a
x ,
a
y ,
a
z
b
x
, b
y
, b
z
Uwaga:
a x b = - b x a
Pochodna wektora
a(t) = a
x
(t) e
x
+ a
y
(t) e
y
+ a
z
(t) e
z
:
da/dt = (da
x
/dt) e
x
+ (da
y
/dt) e
y
+ (da
z
/dt) e
z
Pochodna wersora e
a
(t)
d{
e
a
(t
)} / dt
d {e
a
(t)} = d
ϕ
|e
a
(t)
|
= d
ϕ
1
d {
e
a
(t
)} / dt = (
d
ϕ/dt
)
e
⊥
(t)
e
a
(t)
e
a
(t+Δt)
Δ
e
a
(t)
e
⊥
(t)
Δϕ
Obroty
ϕ
1
+
ϕ
2
=
ϕ
3
,
(kierunki jak dla wektorów
|
ϕ
1
|+|
ϕ
2
| = |
ϕ
3
|
(ale moduły:
π/2+π/2=π)
|
ϕ
1
|=
π/2
reprezentacja
|
ϕ
2
|=
π/2
|
ϕ
3
|=
π
π/2
π/2
|
ϕ
3
|=
π/√2
Dla wektorów,
z metody
równoległoboku :
ϕ
1
+
ϕ
2
=
ϕ
3
|
ϕ
1
|
2
+|
ϕ
2
|
2
= |
ϕ
3
|
2
Nie-wektorowe
natężenie prądu I
–
wartość, kierunek i zwrot
węzeł
I
2
I
1
I
3
= I
1
+ I
2
R
1
R
2
Wektory osiowe i biegunowe (pseudowektory)
wektory (biegunowe)
niezmiennicze
pseudowektory (wektory osiowe)
zmiana znaku (odwrócenie)
Iloczyn wektorowy wektorów biegunowych
z powodu
umownego wyboru skrętności układu (przestrzeni)
jest
wektorem osiowym
w operacji odbicia ulega odwróceniu (zmiana znaku)
odbicie zwierciadlane
Kinematyka punktu materialnego
Pojęcia i definicje
Tor : linia, po której porusza się punkt materialny (zbiór geometryczny
punktów w których znajduje się poruszające się ciało – punkt - w
kolejnych czasach )
Droga s
12
- odległość między punktami 1,2 wzdłuż toru
Przemieszczenie
Δr
12
: wektor o początku w punkcie 1 i końcu
w punkcie 2,
Δr
12
=
r
2
- r
1
dla
Δt
0,
Δs Δr ds=dr
s
12
Δr
12
y
x
r
1
r
2
1
2
3
r
3
Równanie toru w układzie odniesienia (Oxyz) to
wzajemny,
niezależny od czasu
związek współrzędnych
przestrzennych :
f (x,y,z) = F
Równanie ruchu: zależność czasowa położenia ciała,
np. promień wodzący jako funkcja czasu - r(t) (w układzie Oxyz):
r(t) = r
x
(t) e
x
+ r
y
(t) e
y
+ r
z
(t) e
z
,
lub w postaci parametrycznej:
x
p
= x(t)
y
p
= y(t)
z
p
= z(t)
Parametry ruchu:
prędkość
(szybkość) v = |v| = |dr/dt| = |dr|/dt = ds/dt
(
v
≠ s/t !
)
w układzie Oxyz :
v = v
x
e
x
+ v
y
e
y
+ v
z
e
z
w odniesieniu do toru: v = v
τ
przyspieszenie
a = dv/dt = dr
2
/dt
2
w układzie Oxyz : a = a
x
e
x
+ a
y
e
y
+ a
z
e
z
w odniesieniu do toru a = a
τ
τ + a
n
n
a
τ
= dv/dt,
a
n
= v
2
/
ρ
τ
r(t)
dr
ds
r(t)
a
n
a
t
dr
dt
r
d
v
r
r =
s
Δr
|v|
v
≠ s/t !
n
dt
s
d
v
a
n
dt
d
v
a
dt
d
v
dt
v
d
dt
v
d
a
t
t
r
r
r
r
r
r
r
r
)
/
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ρ
τ
ϕ
τ
τ
τ
τ
+
+
+
=
+
=
=
s
Δr
r
s
Δr
r
s
Δr
r
s
Δr
r
v = |dr|/dt
ale
v
≠ s/t !
v
≠ Δr /t !
Relacje odwrotne
t
2
t
2
Δr
12
=
∫ v(t) dt,
s
12
=
∫ v(t) dt,
t
1
t
1
v
śr
=
<v> = s
12
/t
12
ale nie
:
∫
−
=
2
1
)
(
1
1
2
t
t
śr
dt
t
v
t
t
v
∫
=
2
1
)
(
)
(
t
t
dt
t
a
t
v
r
r
n
v
v
v
v
n
śr
....
2
1
+
+
≠
Parametry ruchu obrotowego
W ruchu obrotowym każdy punkt ciała porusza się po okręgu
Definicja
drogi kątowej
ϕ:
ϕ = s/r;
więc droga liniowa
s = r
ϕ
Porównanie parametrów ruchu liniowego i obrotowego
droga: s =
ϕ
r, prędkość: v =
ω
r, przyspieszenie: a
t
=
α
r
związki skalarne !
droga kątowa
ϕ
Tor
droga s
prędkość kątowa
ω = d
ϕ
/dt
ω = (1/r)
ds/dt
= (1/r)
v =
Przyspieszenie kątowe
α = dω/dt = (1/r)
dv/dt
α = (1/r)
a
t
=
r
v
r
a
t
r
v
Przykład:
Ciało, porusza się po okręgu o promieniu
R
ze stałą prędkością
o wartości v = v
t
tj. ruchem jednostajnym po okręgu.
Opisać ten ruch.
Przyjąć dane: R= 0,5 m, v
t
= 5 m/s
v
t
Przykład:
Równanie ruchu
r(t) = x(t) e
x
+ y(t) e
y
x(t) = ?
y(t) = ?
x
y
v
t
v
x
v
y
Przykład:
Szukamy: równanie ruchu
x(t) = ?
y(t) = ?
dane:
v
x
= v
t
cos
ϕ
v
y
= v
t
sin
ϕ
ϕ = ω t , ω=const
v
x
(t) = v
t
cos (
ω t)
v
y
(t) = v
t
sin (
ω t)
x
y
v
t
v
x
v
y
ϕ
ϕ
Przykład:
Równanie ruchu
(
ω
=const)
Równanie toru
:
(eliminacja czasu z równania ruchu)
x
y
v
t
v
x
v
y
ϕ
ϕ
t
v
dt
t
v
t
y
t
v
dt
t
v
t
x
dt
v
t
y
dt
v
t
x
dt
t
v
t
s
t
t
t
t
t
t
t
y
t
x
t
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
cos
)
sin(
)
(
,
sin
)
cos(
)
(
)
(
,......
)
(
)
(
)
(
2
1
=
−
=
=
=
=
=
⇒
=
∫
∫
∫
∫
∫
ω
ω
ω
ω
ω
ω
t
t
t
t
v
R
promieniu
o
okr
równanie
v
y
x
t
v
t
v
t
y
t
x
=
⇒
=
+
+
=
+
.
.
.
.
)
(
)
(
cos
)
(
)
(
sin
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Wielkości wektorowe ruchu obrotowego
Droga kątowa (kąt obrotu)
ϕ=s/r
reprezentacja kąta
ϕ
:
(o długości
odpowiadającej łukowi
s
i zwrocie osi)
nie jest wektorem
Jednak d
ϕ (o długości odp. przemieszczeniu dr)
jest wielkością wektorową
bo |d
ϕ| = ds/r = |dr|/r
oraz |
dr
3
|
2
= |
dr
1
|
2
+|
dr
2
|
2
|
d
ϕ
3
|
2
=|
d
ϕ
1
|
2
+|
d
ϕ
2
|
2
Zatem prędkość kątowa
ω = dϕ/dt
jest wektorem
skierowanym wzdłuż osi obrotu
oraz przyspieszenie kątowe
α = dω/dt
jest wektorem
|
ϕ|=
s
/r
ϕ
d
ϕ
1
d
ϕ
2
dr
1
dr
2
ω
d
ϕ
d
ϕ
3
r
Transformacja Galileusza
względność ruchu
Układ (Ox
’
y
’
z
’)
porusza się względem układu (Oxyz)
ze stałą prędkością u po prostej,
ruch ciała P opisać można w obu układach; oba opisy wiąże ze sobą
transformacja Galileusza (Oxyz
⇒ Ox
’
y
’
z
’
):
x
y
z
x’
y’
z’
P
r
P
r
P
’
u
Transformacja Galileusza:
opis ruchu w różnych układach odniesienia
x
y
z
x’
y’
z’
P
r
P
r
P
’
u
r
u
-
wektor wodzący ciała P w układzie O
- wektor wodzący ciała P w układzie O’
- wektor wodzący układu O’ w układzie O
rr
u
rr
'
rr
'
r
r
r
u
r
r
r
+
=
Układ (Ox’y’z’) porusza się względem układu (Oxyz)
ze stałą prędkością
u
po prostej,
Prędkość
ciała P możemy obliczyć jako
vr
dt
r
dr
u
v
v
v
v
u
r
r
r
r
r
+
=
+
=
'
'
Układ O’ może dodatkowo wykonywać ruch
rotacyjny. Wówczas do powyższego wzoru
dojdzie czynnik prędkości kątowej:
'
'
r
u
v
v
r
r
r
r
×
+
+
=
ω
transformacja Galileusza (Ox’y’z’
⇒ Oxyz):
u
= const, v = v
’
+
u
,
a = a’ ;
lub: v
x
= v
x
’
+
u
x
; v
y
= v
y
’
+
u
y
; v
z
= v
z
’
+
u
z
;
oraz: x = x
’
+
u
x
t; y = y
’
+
u
y
t ; z = z
’
+
u
z
t ;
Transformacja Galileusza jest wyrazem względności ruchu
dt
v
d
a
r
r =
natomiast przyspieszenie czyli a=a’
Analiza ruchu wymaga pomiaru czasu i odległości
Pomiar czasu
Definicja czasu ?
Wzorzec czasu
⇒ powtarzające się regularnie (okresowe) zjawisko
-puls
-wahadło
(Galileusz)
-astronomia (dzień, rok)
-oscylatory elektroniczne
Wzorzec czasu:
-astronomiczny
-atomowy
Jednostka:
[s] = 1/86400 średniej doby
9 192 631 770 okresów linii
55
133
Cs
obecna dokładność pomiaru czasu 1/1 000 000 000s (10
-9
s)
Δt > h/ΔE
Pomiar drogi
Wzorzec odległości
-antropogenetyczny, dłoń, łokieć
-standaryzowana jednostka, np. pręt
-astronomiczny
(Równik, odl. Ziemia-Słońce, Ziemia-gwiazda)
-atomowy
Metody pomiaru
- porównawcze
-triangulacyjne
-”radarowe”
-dyfrakcyjne
Jednostki
[m] = 1/40 000 000 Równika
- wzorzec w Sevre
-
1 650 763,73
λ pomarańczowej linii
36
86
Kr
Obecna dokładność pomiaru długości 1/10 000 000 000s (10
-10
m)
granica dokładności
Δx > h/Δp