Interpolacja
1. Sformułowanie zagadnienia
2. Klasyczne zagadnienie interpolacji
3. Wielomian interpolacyjny Lagrange’a
4. Komenda w Maple’u
5. Interpolacja funkcjami sklejanymi
6. Komenda w Maple’u
Interpolacja
1. Sformułowanie zagadnienia
2. Klasyczne zagadnienie interpolacji
3. Wielomian interpolacyjny Lagrange’a
4. Komenda w Maple’u
5. Interpolacja funkcjami sklejanymi
6. Komenda w Maple’u
Sformułowanie zagadnienia
Interpolacja polega na znalezieniu wielomianu w(x), który przechodzić będzie
przez zadane punkty.
wielomian interpolacyjny
( )
w x
( )
y x
x
: (
,
),
0,1,...
: ( )
k
k
D
x y
k
n
Sz w x
Klasyczne zagadnienie interpolacji
0
: (
,
),
0,1,...
: ( )
,
?
k
k
n
i
i
i
i
D
x y
k
n
Sz w x
a x
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
x
a
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
x
a
a
...
...
...
2
2
1
0
1
1
2
1
2
1
1
0
0
0
2
0
2
0
1
0
0
(
)
,
0..
n
i
k
i
k
k
i
w x
a x
y
k
n
,
...
,
,
,
,
2
1
0
n
a
a
a
a
0
x
n
x
i
x
x
( )
y x
)
(x
w
Wielomian interpolacyjny Lagrange’a
0
1
2
1
0
2
2
0
1
: ( ,
),
0,1, 2
: ( )
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
k
k
D
x y
k
Sz w x
a x
x
x
x
a x
x
x
x
a x
x
x
x
)
)(
(
,
)
)(
(
,
)
)(
(
1
2
0
2
2
2
2
1
0
1
1
1
2
0
1
0
0
0
x
x
x
x
y
a
x
x
x
x
y
a
x
x
x
x
y
a
Koncepcja Lagrange’a na przykładzie wielomianu drugiego stopnia
2
1
2
0
2
2
1
2
1
0
1
1
0
2
0
1
0
0
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
y
x
x
x
x
a
y
x
x
x
x
a
y
x
x
x
x
a
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
1
2
0
2
1
0
2
2
1
0
1
2
0
1
2
0
1
0
2
1
0
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
w
Wielomian interpolacyjny Lagrange’a drugiego stopnia
rozprzęgnięty układ równań
k
k
y
x
w
)
(
Wielomian interpolacyjny Lagrange’a c.d.
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
1
2
0
2
1
0
2
2
1
0
1
2
0
1
2
0
1
0
2
1
0
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
w
Uogólnienie
- wielomian interpolacyjny
Lagrange’a n –tego stopnia
)
(
)
(
0
x
L
y
x
w
i
n
i
i
)
(
1
x
L
)
(
0
x
L
)
(
2
x
L
0
1
1
1
0
0
1
1
1
(
)
(
)(
)...(
)(
)...(
)
( )
(
)(
)...(
)(
)...(
)
(
)
n
j
i
i
n
i
j
i
i
i
i
i
i
i
n
i
j
j i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Komenda w Maple’u
interp(X,Y,nazwa)
X
– lista lub wektor wartości zmiennej niezależnej
Y
– lista lub wektor wartości zmiennej zależnej
nazwa – nazwa zmiennej niezależnej
> interp([0,1,2,3,4,5],[5,6,6,5,4,6],x);
5
29
20
x
11
24
x
2
1
24
x
3
1
24
x
4
1
120
x
5
* Funkcjami sklejanymi (składanymi) nazywamy wielomiany małego stopnia (n<4),
opisujące zmienność funkcji y (x) w każdym z podprzedziałów (x
i
, x
i+1
) oddzielnie.
: (
,
),
0,1,...
: ( ),
1..
k
k
i
D
x y
k
n
Sz s x
i
n
Interpolacja funkcjami sklejanymi* (splines)
Interpolację funkcjami sklejanymi stosujemy
wtedy, gdy mamy dużą liczbę węzłów
interpolacyjnych i wielomian interpolacyjny
wykazuje nieuzasadnione oscylacje
pomiędzy węzłami (efekt Rungego)
)
(
1
x
s
)
(
2
x
s
)
(x
s
n
( )
y x
x
Interpolacja funkcjami sklejanymi c.d.
wielomian interpolacyjny
funkcje sklejane
Interpolacja funkcjami sklejanymi c.d.
: (
,
),
0,1,...
: ( ),
1..
k
k
i
D
x y
k
n
Sz s x
i
n
n
i
x
d
x
c
x
b
a
x
s
Z
i
i
i
i
i
..
1
,
)
(
:
3
2
:
,
,
,
1..
(4 )
i
i
i
i
Sz a b c d
i
n
n
Warunki do spełnienia przez funkcje s
i
(x):
n
i
y
x
s
i
i
i
..
1
,
)
(
n
i
y
x
s
i
i
i
..
1
,
)
(
1
1
1
..
1
,
)
(
)
(
1
n
i
x
s
x
s
i
i
i
i
0
)
(
)
(
0
1
n
n
x
s
x
s
1
..
1
,
)
(
)
(
1
n
i
x
s
x
s
i
i
i
i
Razem: 4n równań
i
s
1
i
x
i
x
( )
y x
x
0
x
n
x
1
i
x
1
i
s
1
x
1
s
n
s
Komenda w Maple’u
Spline(X,Y,nazwa)
– komenda w pakiecie CurveFitting
X
– lista lub wektor wartości zmiennej niezależnej
Y
– lista lub wektor wartości zmiennej zależnej
nazwa – nazwa zmiennej niezależnej
> with(CurveFitting);
> Spline([0,1,2,3,4,5], [5,6,6,5,4,6], x);
5
23
19
x
4
19
x
3
x
1
90
19
2 x
15
19
x
2
1
19
x
3
x
2
98
19
26
19
x
9
19
x
2
x
3
388
19
512
19
x
9 x
2
18
19
x
3
x
4
1724
19
1072
19
x
225
19
x
2
15
19
x
3
otherwise