background image

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sformułowanie zadania interpolacyjnego 

Danych jest n+1 różnych punktów  x

0

, x

1

, ... , x

n

  z  przedziału [a,b], które nazywamy węzłami  

interpolacji, oraz wartości pewnej funkcji  y = f(x) w tych punktach 
 
                                              y

0

 = f(x

0

) ,  y

1

 = f(x

1

) , .... , y

n

 = f(x

n

). 

 
Zadanie interpolacji  polega na znalezieniu funkcji  F, zwanej funkcją interpolującą, która w  
węzłach  x

i 

, i = 0, 1, ... ,n  , pokrywa się z funkcją   f 

 
                                                      F(x

i

) = f(x

i

)     dla  i = 0, 1, ... , n . 

 

Rozważamy zadanie interpolacji liniowej, tj. zadanie w którym funkcja interpolująca przedstawiana 
jest w postaci kombinacji liniowej 
 

                                                   

 

gdzie  

j

 ,  j = 0,1, ... ,n  są funkcjami określonymi na przedziale  [a,b]. Poszukiwanymi są tutaj 

współczynniki kombinacji liniowej  a

j 

, j = 0, 1, ... ,n.   Pytania o istnienie i jednoznaczność funkcji 

interpolującej  sprowadzają się do tego, czy układ równań liniowych 
 

                                         

          dla  i = 0,1, .... , n                           (*) 

 
ma rozwiązanie oraz, czy to rozwiązanie jest jedyne. 

 
  

Zadanie intepolacyjne Lagrange'a   polega na znalezieniu wielomianu  L

n

 , stopnia nie wyższego  

niż  n,  spełniającego warunki interpolacji 
 
                                                    L

n

(x

i

) = f(x

i

)     dla  i = 0,1, ... ,n . 

 
Wielomian  L

n

  nazywamy wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a  funkcji  f  opartym na  

węzłach  x

0

, x

1

, ... , x

n .  

 

Interpolacja 

Oznaczymy                                   

    

 
Odpowiedź na powyższe pytania zależy od wyznacznika macierzy A.  Jeżeli 

 ,  

to  układ  (*) 

ma jednoznaczne rozwiązanie. Znalezienie tego rozwiązania daje funkcję interpolującą. 

Interpolacja Lagrange'a 

TWIERDZENIE.   Zadanie interpolacyjne Lagrange'a na jednoznaczne rozwiązanie. 
 

Wielomian interpolacyjny  L

n 

 można przedstawić w postaci 

                                                            

,  

gdzie układ funkcji  

0

, 

1

, ... , 

n

  stanowi bazę przestrzeni W

n

 (przestrzeni wielomianów stopnia 

nie wyższego niż n). 
 
Rozpatrzymy  
 

     (a) bazę naturalną : 1, x , x

2

, ... , x 

n 

     (b) bazę wielomianów Newtona :  

,    

 ,    j = 1, ... , n 

W przypadku  (a)  mamy do czynienia z postacią naturalną wielomianu interpolacyjnego 
 

                                                      

 

F x

( )

0

n

j

a

j

j

x

( )





0

n

j

a

j

j

x

i

 





y

i

A

0

x

0

 

0

x

1

 

.

0

x

n

 

1

x

0

 

1

x

1

 

.

1

x

n

 

.

.

.

.

.

.

.

.

n

x

0

 

n

x

1

 

.

n

x

n

 

det A

( )

0

L

n

x

( )

0

n

j

a

j

j

x

( )





p

0

x

( )

1

p

j

x

( )

0

j 1

k

x x

k

L

n

x

( )

0

n

j

a

j

x

j

background image

 

 

 

 

 

 

W przypadku  (b)  współczynniki   
 
                                                   a

0

 = y

0    

  oraz     a

j

 = f 

0,1, ... ,j  

,  j = 1, ... ,n  

 
są   ilorazami różnicowymi  określonymi poniżej.                             
 
Wyrażenia 
 
                               

,    . . . . ,         

 

 
nazywamy ilorazami różnicowymi 1-go rzędu. Analogicznie definiujemy ilorazy różnicowe 2-go rzędu 
 
 
        

                    , 

         . . . .                   

        
Ogólnie iloraz różnicowy rzędu  k  tworzymy z ilorazów różnicowych rzędu  k-1  za pomoca wzoru 
rekurencyjnego 
 
                                        

             

 
Wobec tego  
 
                                  L

n

(x) = y

0

 + f 

0, 1

 p

1

(x) + f 

0, 1, 2

 p

2

(x) + .... + f 

0,1, ... , n

 p

n

(x) 

 
Jest to tzw. postać Newtona  wielomianu interpolacyjnego. 

 
 

Dla  n =1 (2 węzły)                   

 

 
Dla  n =2  (3 węzły)        

                                                                               

Algorytm obliczania n-tego ilorazu różnicowego można zapisać w postaci tablicy trójkątnej 

 

 

                          

W celu oszacowania błędu interpolacji możemy posłużyć się twierdzeniem 
 

TWIERDZENIE. Jeżeli funkcja f jest klasy C

n+1

([a,b]),  to dla   

  

 

     

                                

 

gdzie    M

 n+1

 = 

 | f 

(n+1) 

(x)|. 

W sformułowanym zadaniu interpolacyjnym wyznaczamy wielomian w oparciu o  
dane wartości funkcji  f  w (n+1) różnych węzłach. Powstaje pytanie, czy wielomian  
ten będzie coraz lepiej przybliżał funkcję  f wraz ze zwiększeniem liczby węzłów ?  
Oczywiście, większa liczba zmierzonych wartości funkcji zawiera w sobie dokładniejszą  
informację o tej funkcji.  
 
W przypadku stosowania wielomianów jako funkcji interpolujących, często występuje  
zjawisko pogarszania się przybliżenia przy zwiększaniu się  liczby  węzłów  interpolacyjnych.  
Dokładniej oznacza to,  że ciąg  ( L

n

 ) wielomianów interpolacyjnych nie będzie zbieżny  

do funkcji  f  na przedziale [a,b]. Problemy te nie występują, gdy do interpolacji będziemy  
stosować funkcje kawałkami "sklejane" z wielomianów niskich stopni.

 

f

0 1



y

1

y

0

x

1

x

0

f

n 1

n



y

n

y

n 1

x

n

x

n 1

f

0 1



2



f

1 2



f

0 1



x

2

x

0

f

n 2

n 1



n



f

n 1

n



f

n 2

n 1



x

n

x

n 2

f

i i 1



....



i k



f

i 1

....



i k



f

i ....



i k

1



x

i k

x

i

L1 x

( )

y

0

f

0 1



x

x

0

L2 x() y0 f0 1



x x

0

 

f

0 1



2



x x

0

 

x x

1

 

x

0

x

1

x

2

.

.

x

n 1

x

n

y

0

y

1

y

2

.

.

y

n 1

y

n

f

0 1



f

1 2



.

.

f

n 2

n 1



f

n 1

n



f

0 1



2



.

.

f

n 3

n 2



n 1



f

n 2

n 1



n



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. f

0 1



...



n



a

x

b

f x

( )

L

n

x

( )

M

n 1

n

1

(

)

x x

0

x x

1

....

x x

n

max

a x

b