Matematyka Sem 2 Wykład Całki Podwójne

background image

CAŁKI PODWÓJNE

background image

CAŁKA PODWÓJNA 2 / 29

CAŁKI PODWÓJNE PO PROSTOKĄCIE

Definicja 1 (podział prostokąta)

Podziałem prostokąta

}

,

:

)

,

{(

d

y

c

b

x

a

y

x

R

=

nazywamy zbiór

P

złożony z prostokątów

n

R

R

R

,...,

,

2

1

, które

całkowicie wypełniają prostokąt

R

i mają parami rozłączne

wnętrza.

Oznaczenia:

k

k

y

x

,

– wymiary prostok

ą

ta

k

R .

}

1

:

)

(

)

(

max{

)

(

2

2

n

k

y

x

P

k

k

+

=

ś

rednica podziału

P

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 3 / 29

Definicja 2

(suma całkowa funkcji po prostok

ą

cie)

Niech funkcja f b

ę

dzie ograniczona na prostok

ą

cie R

oraz niech P b

ę

dzie podziałem tego prostok

ą

ta,

a

}

),

,

(

),...,

,

(

),

,

{(

*

*

*

2

*

2

*

1

*

1

n

n

y

x

y

x

y

x

=

Ξ

zbiorem punktów po

ś

rednich.

Sum

ą

całkow

ą

funkcji f odpowiadaj

ą

c

ą

podziałowi

P

oraz

punktom po

ś

rednim

Ξ

nazywamy liczb

ę

)

)(

(

)

,

(

1

*

*

k

k

n

k

k

k

y

x

y

x

f

=

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 4 / 29

Uwaga 1

Suma całkowa jest przybliżeniem objętości bryły ograniczonej
wykresem funkcji

0

)

,

(

>

=

y

x

f

z

nad prostokątem R oraz

płaszczyzną xOy przez sumę objętości prostopadłościanów o

podstawach

k

R i wysokościach

)

,

(

*

*

k

k

y

x

f

dla

n

k

1

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 5 / 29

Definicja 3

(całka podwójna po prostok

ą

cie)

Niech funkcja f b

ę

dzie ograniczona na prostok

ą

cie

R

.

Całk

ę

podwójn

ą

z funkcji f po prostok

ą

cie

R

oznaczon

ą

symbolem

∫∫

R

dP

y

x

f

)

,

(

definiujemy wzorem:

)

)(

(

)

,

(

lim

)

,

(

1

*

*

0

)

(

k

k

n

k

k

k

P

R

y

x

y

x

f

dxdy

y

x

f

=

∫∫

=

,

o ile jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału prostokąta ani
od sposobów wyboru punktów pośrednich

Ξ

.

Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna na prostokącie R.

Fakt 1

Funkcja ciągła na prostokącie jest na nim całkowalna.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 6 / 29

Twierdzenie 1 (liniowość całki)

Niech f i g będą całkowalne na prostokącie R oraz niech

β

α

,

będą liczbami rzeczywistymi. Wtedy

(

)

∫∫

∫∫

∫∫

+

=

+

R

R

R

dP

y

x

g

dP

y

x

f

dP

y

x

g

y

x

f

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

β

α

β

α

.

Twierdzenie 2 (addytywność całki względem obszaru całkowania)

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostokącie R, to dla
dowolnego podziału tego prostokąta na prostokąty

2

1

, R

R

o rozłącznych wnętrzach zachodzi

∫∫

∫∫

∫∫

+

=

2

1

)

,

(

)

,

(

)

,

(

R

R

R

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 7 / 29

Twierdzenie 3

(o zamianie całki podwójnej na całki iterowane)

Je

ż

eli funkcja f jest ci

ą

gła na prostok

ą

cie

[ ] [ ]

d

c

b

a

,

,

×

, to

[ ] [ ]

dy

dx

y

x

f

dx

dy

y

x

f

dxdy

y

x

f

d

c

b

a

b

a

d

c

d

c

b

a

∫ ∫

∫ ∫

∫∫

=

=

×

)

,

(

)

,

(

)

,

(

,

,

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 8 / 29

Uwaga 2

Zamiast

dx

dy

y

x

f

b

a

d

c





)

,

(

i

dy

dx

y

x

f

d

c

b

a

∫ ∫

)

,

(

piszemy odpowiednio

b

a

d

c

dy

y

x

f

dx

)

,

(

i

∫ ∫

d

c

b

a

dx

y

x

f

dy

)

,

(

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 9 / 29

Przykład 1

Obliczyć całki iterowane:

1)

∫ ∫

4

0

3

2

2

)

(

dy

y

x

dx

, 2)

∫ ∫

+

2

1

3

0

2

)

(

dx

xy

x

dy

.

Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach:

1)

∫∫

R

dxdy

y

x

2

2

,

[ ] [

]

1

,

1

1

,

0

×

=

R

,

2)

∫∫

+

R

dxdy

y

x

)

sin(

,





×





=

4

,

0

4

,

4

π

π

π

R

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 10 / 29

Twierdzenie 4

(całka podwójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych)

Jeżeli funkcja f jest funkcją postaci

)

(

)

(

)

,

(

y

h

x

g

y

x

f

=

, gdzie

funkcje g i h są ciągłe odpowiednio na przedziałach

[ ]

b

a,

i

[ ]

d

c,

, to

[ ] [ ]

=

∫∫

×

d

c

b

a

dy

y

h

dx

x

g

dxdy

y

x

f

d

c

b

a

)

(

)

(

)

,

(

,

,

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 11 / 29

Przykład 2

Podane całki zamienić na sumy i iloczyny całek pojedynczych:

1)

∫∫

+

R

y

x

dxdy

e

,

[ ] [

]

1

,

1

1

,

0

×

=

R

,

2)

∫∫

+

R

dxdy

y

x

)

cos(

,





×





=

4

,

0

4

,

4

π

π

π

R

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 12 / 29

CAŁKI PODWÓJNE PO OBSZARACH NORMALNYCH

Definicja 4

(obszary normalne względem osi układu)

1.

Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym
względem osi Ox, jeżeli

)}

(

)

(

,

:

)

,

{(

x

h

y

x

g

b

x

a

y

x

D

=

,

gdzie funkcje g i h są ciągłe na

b

a,

.

2.

Obszar domkni

ę

ty D nazywamy obszarem normalnym

wzgl

ę

dem osi Oy, je

ż

eli

}

),

(

)

(

:

)

,

{(

d

y

c

y

q

x

y

p

y

x

D

=

,

gdzie funkcje p i q s

ą

ci

ą

głe na

d

c,

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 13 / 29

Przykład 3

Zbada

ć

, czy obszary ograniczone podanymi krzywymi s

ą

normalne wzgl

ę

dem osi Ox i osi Oy. Naszkicowa

ć

te obszary.

1)

2

,

1

,

0

x

y

x

y

=

=

=

,

2)

2

,

0

,

2

x

y

x

y

=

=

=

,

3)

2

2

,

2

x

y

x

y

=

+

=

,

4)

2

,

3

2

=

=

x

y

x

y

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 14 / 29

Twierdzenie 5

(obliczanie całki po obszarach normalnych)

1.

Je

ż

eli funkcja f jest ci

ą

gła na obszarze domkni

ę

tym

)}

(

)

(

,

:

)

,

{(

x

h

y

x

g

b

x

a

y

x

D

=

normalnym wzgl

ę

dem osi Ox, to

dx

dy

y

x

f

dxdy

y

x

f

b

a

x

h

x

g

D





=

∫∫

)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

.

2.

Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym

}

),

(

)

(

:

)

,

{(

d

y

c

y

q

x

y

p

y

x

D

=

normalnym względem osi Oy, to

dy

dx

y

x

f

dxdy

y

x

f

d

c

y

q

y

p

D





=

∫∫

)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 15 / 29

Przykład 4

Zamienić całkę podwójną

∫∫

D

dxdy

y

x

f

)

,

(

na całki iterowane, je

ż

eli

obszar D jest ograniczony przez:

1)

0

,

2

,

0

,

2

1

2

=

=

=

+

=

y

x

x

x

x

y

,

2)

2

,

2

=

=

x

y

y

x

.

Obliczy

ć

całki iterowane. Narysowa

ć

obszar całkowania.

1)

3

0

3

2

)

(

x

x

dy

y

x

dx

, 2)

+

2

/

0

2

0

)

sin(

π

x

dy

y

x

dx

.

Obliczyć całki podwójne po obszarach normalnych:

1)

∫∫

D

dxdy

xy

x

)

(

2

2

,

2

4

,

:

)

,

{(

x

x

y

x

y

y

x

D

=

,

2)

∫∫

D

ydxdy

x

2

,

2

2

3

,

:

)

,

{(

x

x

y

x

y

y

x

D

=

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 16 / 29

Definicja 5

(obszar regularny na płaszczyźnie)

Sumę skończonej liczby obszarów normalnych (względem osi Ox
lub osi Oy) o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem
regularnym na płaszczyźnie.

Fakt 2

Niech obszar regularny D będzie sumą obszarów normalnych
D

1

, D

2

, …, D

n

o rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja f

będzie całkowalna na D. Wtedy:

∫∫

+

+

∫∫

+

∫∫

=

∫∫

n

D

D

D

D

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

)

,

(

...

)

,

(

)

,

(

)

,

(

2

1

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 17 / 29

Przykład 5

Obliczyć całki podwójne po obszarach ograniczonych krzywymi:

1)

∫∫

D

xydxdy ,

4

,

0

,

1

,

:

=

=

=

=

x

y

x

y

x

y

D

,

2)

∫∫

D

ydxdy

,

0

,

0

,

4

,

:

2

=

+

=

=

x

y

x

y

x

y

D

.

Przykład 6

Obliczyć całki podwójne po obszarze

0

,

0

,

3

x

:

2

2

+

y

x

y

D

:

1.

∫∫

D

dxdy ,

2.

∫∫

+

2

2

)

(

D

dxdy

y

x

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 18 / 29

ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁKACH PODWÓJNYCH

Definicja 6

(przekształcenie obszarów na płaszczyźnie)

Niech

i D będą obszarami odpowiednio na płaszczyznach uOv

i xOy . Przekształceniem obszaru

w obszar D nazywamy

funkcję

D

:

τ

określoną wzorem:

(

)

)

,

(

),

,

(

)

,

(

)

,

(

v

u

v

u

v

u

y

x

ψ

ϕ

τ

=

=

, gdzie

)

,

( v

u

.

Obrazem zbioru

przy przekształceniu

τ

nazywamy zbiór

( )

{

}

=

=

=

)

,

(

),

,

(

),

,

(

:

,

)

(

v

u

v

u

y

v

u

x

y

x

ψ

ϕ

τ

.

Przekształcenie

τ

nazywamy:

1.

Ciągłym, jeżeli funkcje

ϕ

i

ψ

są ciągłe na obszarze

,

2.

Różnowartościowym, jeżeli różnym punktom obszaru

odpowiadają różne punkty jego obrazu D .

background image

CAŁKA PODWÓJNA 19 / 29

Fakt 3

Obraz obszaru przy przekształceniu ciągłym i różnowartościowym
jest również obszarem.

Definicja 7

(jakobian przekształcenia)

Jakobianem przekształcenia

(

)

)

,

(

),

,

(

)

,

(

v

u

v

u

v

u

ψ

ϕ

τ

=

nazywamy

funkcję określoną wzorem:

=

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

det

)

,

(

v

u

v

v

u

u

v

u

v

v

u

u

v

u

J

ψ

ψ

ϕ

ϕ

τ

.

Uwaga 3

Jakobian oznacza się również przez

)

,

(

)

,

(

v

u

ψ

ϕ

lub

)

,

(

)

,

(

v

u

D

D

ψ

ϕ

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 20 / 29

Twierdzenie 6

(o zamianie zmiennych w całce podwójnej)

Niech

1.

przekształcenie

=

=

)

,

(

)

,

(

:

v

u

y

v

u

x

ψ

ϕ

τ

odwzorowuje

różnowartościowo wnętrze obszaru regularnego

na wnętrze

obszaru regularnego D ,

2.

funkcje

ϕ

i

ψ

mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego

rzędu na pewnym zbiorze otwartym zawierającym obszar

,

3.

funkcja f jest ciągłą na obszarze D ,

4.

jakobian

τ

J jest różny od zera wewnątrz obszaru D .

Wtedy

(

)

∫∫

=

∫∫

dudv

v

u

J

v

u

v

u

f

dxdy

y

x

f

D

)

,

(

)

,

(

),

,

(

)

,

(

τ

ψ

ϕ

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 21 / 29

WSPÓŁRZĘDNE BIEGUNOWE W CAŁKACH PODWÓJNYCH

Definicja 8

(współrzędne biegunowe)

Położenie punktu P na płaszczyźnie można opisać parą liczb

)

,

(

ϕ

r

, gdzie:

r

– oznacza odległość punktu P od początku układu

współrzędnych, przy czym

<

r

0

,

ϕ

– oznacza miarę kąta między dodatnią częścią osi Ox a

promieniem wodzącym punktu P, przy czym

π

ϕ

2

0

albo

π

ϕ

π

.

Parę liczb

)

,

(

ϕ

r

nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu

płaszczyzny.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 22 / 29

Fakt 4

Współrzędne kartezjańskie

)

,

(

y

x

punktu płaszczyzny danego

we współrzędnych biegunowych

)

,

(

ϕ

r

określone są wzorami:

=

=

Β

ϕ

ϕ

sin

cos

:

r

y

r

x

.

Jakobian przekształcenia biegunowego

Β

wynosi r, tj.

r

r

J

=

Β

)

,

(

ϕ

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 23 / 29

Fakt 5

Współrzędne kartezjańskie

)

,

(

y

x

punktu płaszczyzny danego

we współrzędnych biegunowych uogólnionych

)

,

(

ϕ

r

określone są

wzorami:

=

=

Β

ϕ

ϕ

sin

cos

:

br

y

ar

x

.

Jakobian przekształcenia biegunowego

Β

wynosi abr , tj.

abr

r

J

=

Β

)

,

(

ϕ

.

Współrzędne biegunowe uogólnione stosuje się dla elipsy
o równaniu

1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 24 / 29

Twierdzenie 7

(współrzędne biegunowe w całce podwójnej)

Niech

1.

obszar

we współrzędnych biegunowych będzie regularny,

2.

funkcja f będzie ciągła na obszarze D , który jest obrazem

zbioru

przy przekształceniu biegunowym;

)

(

Β

=

D

.

Wtedy

(

)

∫∫

=

∫∫

ϕ

ϕ

ϕ

drd

r

r

r

f

dxdy

y

x

f

D

sin

,

cos

)

,

(

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 25 / 29

Przykład 7

Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całki:

1)

∫∫

2

D

dxdy

xy

,

0

,

4

x

:

2

2

+

x

y

D

,

2)

(

)

∫∫

+

+

2

2

2

2

ln

D

dxdy

y

x

y

x

,

0

,

4

x

1

:

2

2

+

y

y

D

,

3)

(

)

∫∫

+

2

2

D

dxdy

y

x

,

0

2

x

:

2

2

+

x

y

D

.

C

x

x

x

xdx

+

+

=

4

sin

32

1

2

sin

4

1

8

3

sin

4

background image

CAŁKA PODWÓJNA 26 / 29

Uwaga 4

Jeżeli we współrzędnych biegunowych obszar

ma postać

)}

(

)

(

,

:

)

,

{(

ϕ

ϕ

β

ϕ

α

ϕ

h

r

g

r

=

gdzie funkcje g i h są ciągłe na przedziale

π

β

α

2

,

0

,

, to

(

)

(

)

∫∫

=

)

(

)

(

sin

,

cos

sin

,

cos

ϕ

ϕ

β

α

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

h

g

dr

r

r

r

f

d

drd

r

r

r

f

.

Współrzędne biegunowe stosujemy głównie wtedy, gdy obszar
całkowania jest ograniczony łukami okręgów o środku w początku
układu współrzędnych oraz odcinkami prostych przechodzących
przez początek układu.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 27 / 29

ZASTOSOWANIA CAŁEK PODWÓJNYCH W GEOMETRII

Pole obszaru regularnego

2

R

D

wyraża się wzorem:

∫∫

=

D

dP

D

.

Objętość bryły

V

położonej nad obszarem regularnym

2

R

D

i ograniczonej z dołu i z góry odpowiednio wykresami funkcji
ciągłych

)

,

(

y

x

d

z

=

i

)

,

(

y

x

g

z

=

wyraża się wzorem:

[

]

∫∫

=

)

,

(

)

,

(

D

dP

y

x

d

y

x

g

V

.

Pole płata

S

, który jest wykresem funkcji

)

,

(

y

x

f

z

=

, gdzie

D

y

x

)

,

(

wyraża się wzorem:

∫∫

+

+

=

2

2

1

D

dP

y

f

x

f

S

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 28 / 29

Przykład 8

Obliczyć:

1)

pole powierzchni obszaru ograniczonego przez:

2

,

1

,

ln

,

=

=

+

=

=

x

y

x

x

y

e

y

x

,

2)

objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

0

,

3

,

1

2

2

=

=

+

+

=

+

z

z

y

x

y

x

,

3)

pole powierzchni płata

,

2

4

8

y

x

z

=

gdzie

0

,

0

,

0

z

y

x

.

background image

CAŁKA PODWÓJNA 29 / 29

ZASTOSOWANIA CAŁEK PODWÓJNYCH W FIZYCE

Masa obszaru
Momenty statyczne
Współrzędne środka masy
Momenty bezwładności
Parcie
Natężenie pola elektrycznego
Siła przyciągania grawitacyjnego
Energia kinetyczna


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Matematyka Sem 2 Wykład Całki Powierzchniowe
Matematyka Sem 2 Wykład Całki Powierzchniowe
14 wyklad calki podwojne
Matematyka Sem 2 Wykład Funkcje Uwikłane
Matematyka Sem 2 Wykład Na Egzamin Obowiązuje
Sem 2. Wykład, Całki Krzywoliniowe
14 wyklad calki podwojne
Analiza matematyczna. Wykłady CAŁKI NIEOZNACZONE
Matematyka sem III wyklad 1
Matematyka III (Ćw) Lista 07 Całki podwójne Odpowiedzi
Matematyka III (Ćw) - Lista 07 - Całki podwójne, Zadania
Matematyka sem III wyklad 1
Analiza matematyczna Wykłady, CAŁKI NIEOZNACZONE
Matematyka Wyklad Calki Calkowanie
Analiza matematyczna egzamin I (lato) calki teoria, Wykłady - Studia matematyczno-informatyczne
Matematyka sem III wyklad 2, Studia, ZiIP, SEMESTR III, Matematyka
Wykład11 całki, MATMA, matematyka, Matma, Matma, Nowe, Różności

więcej podobnych podstron