CAŁKI
KRZYWOLINIOWE
CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA
Niech
2
L ⊂ R będzie łukiem gładkim o równaniach parametrycznych
x = x( t), y = y( t) gdzie t ∈ α, β .
Łukowi L nie nadajemy Ŝadnego kierunku: jest to łuk nieskierowany.
Przypuśćmy, Ŝe w kaŜdym punkcie łuku L określona jest pewna
funkcja dwóch zmiennych f ( x, y).
Wtedy
•
∆
=
łuk L dzielimy na n części o długościach l , i
,
1 ,...,n
i
2
• na kaŜdym łuku cząstkowym wybieramy punkt M ( x , y ) i
i
i
n
•
σ n =
f ( i
x , yi ) ⋅ ∆
tworzymy sumę
∑
i
l
i=1
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 2 / 23
Definicja 1 ( całki krzywoliniowej nieskierowanej)
Jeśli przy n → ∞ i max ∆
lim σ
i
l
→0 istnieje granica
n→∞
n
i= ,
1 ..., n
n→∞
niezaleŜna od sposobu podziału łuku i od wyboru punktu M i,
to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną
i oznaczamy ∫ fdl .
L
Analogicznie definiujemy całkę krzywoliniową nieskierowaną
w przestrzeni 3
R .
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 3 / 23
Gdy zmienimy zwrot krzywej na przeciwny przy tym samym
podziale krzywej i tych samych wybranych punktach, to nie
zmienią się sumy σ n , a zatem nie zmieni się całka krzywoliniowa
nieskierowana
∫ fdl = ∫ fdl.
− L
L
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 4 / 23
Fakt 1 ( zastosowanie geometryczne całek krzywoliniowych nieskier.) 1. Długość łuku
L = ∫ dl
L
2. JeŜeli f ( x, y) jest funkcją ciągłą i f ( x, y) > 0 na łuku L, to pole S części powierzchni walcowej równoległej do osi Oz
i ograniczonej z góry przez łuk L, a z dołu przez płaszczyznę
xOy wyraŜa się wzorem:
S = ∫ f ( x, y) dl .
L
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 5 / 23
Twierdzenie 1 ( o zamianie całki krzywoliniowej niesk. w 2
R )
JeŜeli funkcja f ( x, y) jest ciągła na otwartym, zwykłym luku gładkim
2
L ⊂ R o przedstawieniu parametrycznym
x = x( t), y = y( t) gdzie t ∈ α, β
to całka krzywoliniowa ∫ f ( x, y) dl istnieje, przy czym L
β
∫ f ( x, y) dl = ∫ f ( x( t), y( t))⋅ [ x′( t)]2 +[ y′( t)]2 dt.
L
α
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 6 / 23
Twierdzenie 2 ( o zamianie całki krzywoliniowej niesk. w 3
R )
JeŜeli funkcja f ( x, y, z) jest ciągła na otwartym, zwykłym luku gładkim
3
L ⊂ R o przedstawieniu parametrycznym
x = x( t), y = y( t), z = z( t) gdzie t ∈ α, β
to całka krzywoliniowa ∫ f ( x, y, z) dl istnieje, przy czym L
β
∫ f ( x, y, z) dl = ∫ f ( x( t), y( t), z( t))⋅ [ x′( t)]2 +[ y′( t)]2 +[ z′( t)]2 dt.
L
α
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 7 / 23
Jeśli krzywa L leŜy w płaszczyźnie xOy i zadana jest w sposób jawny, tzn. y = y( x
) d
la x ∈[ a, b] , to L moŜemy
sparametryzować:
x =
'
x
x = 1
L:
, g
dzi
e x ∈[ a, b
]
⇒
.
y = y( x
)
'
'
y = y
Wtedy
b
∫ f ( x, y) dl = ∫ f ( x, y( x))⋅ 1 '2
+ y ( x) d .
x
L
a
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 8 / 23
CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
Niech
2
L ⊂ R będzie łukiem gładkim o równaniach parametrycznych
x = x( t), y = y( t) gdzie t ∈ α, β .
Wartości α parametru t odpowiada punkt
2
(
A x(α ), y(α )) ∈ R ,
natomiast wartości β punkt
2
B( x(β ), y(β )) ∈ R .
Łukowi temu moŜna nadać kierunek, przyjmując A za początek łuku
i B za koniec, albo na odwrót.
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 9 / 23
Jeśli kierunek łuku jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru
mówimy, Ŝe przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu
kierunek są zgodne. W przeciwnym przypadku mówimy, Ŝe
przedstawienie parametryczne luku i nadany mu kierunek są
niezgodne.
Łuk, któremu nadano kierunek nazywamy łukiem skierowanym.
AB oznacza łuk o początku w punkcie A i końcu w punkcie B.
BA oznacza łuk o początku w punkcie B i końcu w punkcie A.
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 10 / 23
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 11 / 23
Definicja 3 ( całki krzywoliniowej skierowanej)
JeŜeli dla kaŜdego normalnego ciągu podziałów przedziału α, β
ciąg sum całkowych ( S )
n jest zbieŜny do tej samej granicy
właściwej, niezaleŜnej od wyboru punktów τ k , to tę granicę
nazywamy całką krzywoliniową skierowaną na płaszczyźnie pary
funkcji [ P( x, y), Q( x, y)] po łuku 2
AB ⊂ R i oznaczamy
symbolem
∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy.
AB
W skrócie
n
∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy = lim ∑[ P(ξ η
ξ η
k , k )∆ xk + Q( k , k )∆ yk ].
δ n→0
AB
k =1
gdzie δ
α
n oznacza średnicę podziału przedziału
, β na n części.
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 12 / 23
Niech
3
L ⊂ R będzie łukiem gładkim o równaniach parametrycznych
x = x( t), y = y( t) , z = z( t) gdzie t ∈ α, β , skierowanym od punktu (
A x(α ), y(α ), z(α )) do punktu
B( x(β ), y(β ), z(β )).
Całkę krzywoliniową skierowaną trójki funkcji P, Q i R po łuku 3
AB ⊂ R określamy analogicznie jak na płaszczyźnie:
∫ P( x, y, z) dx + Q( x, y, z) dy + R( x, y, z) dz.
AB
Całkę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną w przestrzeni.
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 13 / 23
Twierdzenie 3 ( o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej w 2
R )
JeŜeli funkcje P( x, y) i Q( x, y)są ciągłe na otwartym zwykłym łuku gładkim
2
AB ⊂ R o przedstawieniu parametrycznym
x = x( t), y = y( t) gdzie t ∈ α, β
zgodnym z kierunkiem tego łuku; to całka
∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy AB
istnieje, przy czym
β
∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy = ∫ [ P( x( t), y( t)) x′( t) + Q( x( t), y( t)) y′( t)] dt.
AB
α
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 14 / 23
Całki krzywoliniowe skierowane róŜniące się tylko kierunkiem
łuku, po którym całkujemy mają przeciwne wartości; tj.
∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy = − ∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy AB
BA
Fakt 3
JeŜeli krzywa K jest sumą otwartych zwykłych łuków
skierowanych, tj.
n
K = ∑ k
A
k
A +1
k =1
to całkę krzywoliniową skierowaną pary funkcji P( x, y) i Q( x, y) po tej krzywej określamy jako
n
∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy = ∑ ∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy.
K
n=1 A A
k k +1
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 15 / 23
Twierdzenie 4 ( o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej w 3
R )
JeŜeli funkcje P( x, y, z), Q( x, y, z) i R( x, y, z) są ciągłe na otwartym zwykłym łuku gładkim AB o przedstawieniu
parametrycznym x = x( t), y = y( t), z = z( t) gdzie t ∈ α, β
zgodnym z kierunkiem tego łuku, to całka
∫ P( x, y, z) dx + Q( x, y, z) dy + R( x, y, z) dz AB
istnieje, przy czym
∫ P( x, y, z) dx + Q( x, y, z) dy + R( x, y, z) dz =
AB
β
= ∫[ P( x( t), y( t), z( t)) x′( t) + Q( x( t), y( t), z( t)) y′( t) + R( x( t), y( t), z( t)) z′( t)] dt α
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 16 / 23
ORIENTACJA KRZYWEJ SKIEROWANEJ ZAMKNIĘTEJ
WZGLĘDEM JEJ WNĘTRZA
Niech D będzie obszarem normalnym względem obu osi układu
współrzędnych, a krzywa L będzie brzegiem obszaru D.
Krzywa L jest skierowana (zorientowana) dodatnio względem wnętrza D, jeŜeli przy przesuwaniu punktu M po krzywej L obszar D
będzie po lewej stronie. W przeciwnym wypadku krzywa jest
skierowana (zorientowana) ujemnie.
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 17 / 23
JeŜeli funkcje P( x, y) i Q( x, y) są klasy C1 w obszarze D
normalnym względem osi Ox i Oy, przy czym brzeg K tego
obszaru jest skierowany dodatnio względem wnętrza, to
∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy = ∫∫∂ Q ∂ P
−
dxdy .
∂ x
∂ y
K
D
Podany wzór nazywamy wzorem Greena.
Uwaga 1
Twierdzenie Greena jest równieŜ prawdziwe, gdy obszar D moŜna
podzielić na skończoną liczbę obszarów normalnych (względem
osi Ox i Oy), nie mających wspólnych punktów wewnętrznych.
Obszar D moŜe być przy tym wielospójny, przy czym K oznacza
wówczas sumę krzywych K 1, ... , K n stanowiących brzeg tego obszaru i skierowanych dodatnio względem D.
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 18 / 23
Twierdzenie 6 ( o niezaleŜności całki krzyw. od drogi całkowania) JeŜeli funkcje P( x, y) i Q( x, y) są klasy C 1 w obszarze jednospójnym D, to spełnienie równości
Q
∂
P
∂
=
x
∂
y
∂
w kaŜdym punkcie tego obszaru jest warunkiem koniecznym
i wystarczającym na to, Ŝeby całka
∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy AB
po otwartym, kawałkami gładkim łuku zwykłym AB ∈ D nie
zaleŜała od kształtu tego łuku, a tylko od punktów A i B.
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 19 / 23
WyraŜenie P( x, y) dx + Q( x, y) dy jest róŜniczką zupełną pewnej funkcji F ( x, y) w obszarze D, jeŜeli w kaŜdym punkcie tego obszaru funkcja F ( x, y) spełnia następujące warunki:
F
∂ =
F
∂
P( x, y) i
= Q( x, y).
x
∂
y
∂
Definicja 5
Funkcję F ( x, y) spełniającą warunki z definicji 4 w obszarze D
nazywamy funkcja pierwotną układu dwóch funkcji P( x, y) i Q( x, y) w tym obszarze. Wyznaczenie funkcji pierwotnej F ( x, y) nazywamy całkowaniem róŜniczki zupełnej.
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 20 / 23
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyraŜenie
P( x, y) dx + Q( x, y) dy było róŜniczką zupełną pewnej funkcji F ( x, y) w obszarze D jest, aby w całym obszarze D zachodziła Q
∂
P
∂
równość
=
.
x
∂
y
∂
Twierdzenie 8
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby całka
krzywoliniowa
∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy AB
nie zaleŜała od drogi całkowania K = AB jest, aby wyraŜenie
podcałkowe było róŜniczką zupełną pewnej funkcji.
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 21 / 23
JeŜeli wyraŜenie P( x, y) dx + Q( x, y) dy, stojące pod znakiem całki krzywoliniowej jest róŜniczką zupełną pewnej funkcji F, to
∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy = F( B) − F( ) A
AB
gdzie F ( x, y) oznacza dowolną funkcję pierwotną układu funkcji P( x, y) i Q( x, y).
Wniosek 2
JeŜeli funkcje P( x, y) i Q( x, y) są klasy C 1 i spełniają warunek Q
∂
P
∂
=
w obszarze jednospójnym D, to
x
∂
y
∂
∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy = 0
K
dla kaŜdej, kawałkami gładkiej krzywej zamkniętej K ⊂ D .
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 22 / 23
Fakt 4 ( zastosowania geometryczne)
JeŜeli K jest brzegiem obszaru normalnego D (względem Ox i Oy), skierowanym względem niego dodatnio, to pole P tego obszaru
wyraŜa się wzorem
1
P =
∫ xdy − ydx.
2 K
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 23 / 23