Funkcja dwóch zmiennych

Otoczeniem punktu P₀(x_o, y_o) na płaszczyźnie nazywamy zbiór:

Gdzie

DEF.

Jeżeli każdemu punktowi
jest przyporządkowana dokładnie jednej wartość
to mówimy, że na D została określona funkcja f dwóch zmiennych x,y o wartościach
.

PRZYKŁAD:

z np. z(1,2)=9

Zbiór D nazywamy dziedziną funkcji np.:

Czyli wszystkie punkty znajdujące się wewnątrz okręgu o równaniu x²+y²=1

DEF.

Wykresem funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór trójek
takich, że punkt (x,y) leży na płaszczyźnie, czyli
. Zbiorem tym jest na ogół pewna powierzchnia o równaniu z=f(x,y).

PRZYKŁAD:

1.
,
a wykresem jest płaszczyzna

(rysunek)

2.
jest to równanie sfery S: (0,0,0) i r=1 czyli wykresem funkcji będzie jej górna połowa

(rysunek)

Ciągłość funkcji dwóch zmiennych

Niech P₀(x_o, y_o)
, P(x,y)

DEF

Mówimy, że f(x,y) ma w P_o granicę g, jeżeli dla

Co zapisujemy:

Innymi słowy f(x,y) ma w P_o granicę g, jeżeli wartości funkcji różnią się od g mało w dostatecznie mało w dostatecznie małym sąsiedztwie P_o.

DEF

Mówimy, że funkcja f(x,y) określona w P_o(x_o,y_o) jest w nim ciągła, jeżeli.

Funkcję ciągłą w każdym punkcie z D nazywamy ciągłą w D, krótko-ciągłą.

Wielomian, funkcja wymierna, trygonometryczne, cyklometryczne, wykładnicza logarytmiczna, są ciągłe w swoich dziedzinach np. sin(x-3), e^x+y, log(x+y).

Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych

Zajmiemy się pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu na początku.

Niech P₀(x_o, y_o)
,
,
i funkcja z=f(x,y) jest określona w

DEF. Pochodnej cząstkowej I-go rzędu w P_o

1. jeżeli istnieje skończona granica

2. 
   to mówimy, że istnieje pochodna cząstkowa funkcji f(x,y) w P_o względem x równa tej granicy i oznaczamy ją:
   lub
   lub
   czyli:
   

Jeżeli istnieją
,
w każdym punkcie zbioru D, to mówimy że istnieje

PRZYKŁAD:

Wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcji f(x,y) I-go rzędu:

1.

2.

3.

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

Po wyznaczeniu pochodnych cząstkowych I-go rzędu otrzymujemy pewne funkcje których znowu wyznaczamy pochodne cząstkowe (I) i ostatecznie będą to pochodne cząstkowe II-go rzędu. Mamy więc:

lub

lub

lub

lub

Ostatnie dwie pochodne II-go rzędu to tzw. Pochodne mieszane.

TWIERDZENIE Schwarza

Jeżeli funkcja f(x,y) ma w D ciągłe pochodne mieszane rzędu II-go to są one równe, czyli

Pochodne cząstkowe rzedów wyższych definiujemy analogicznie jak pochodne cząstkowe II-go rzędu:

,

Różniczka zupełna funkcji I-go rzędu

DEF

Jeżeli funkcja f(x,y) jest różniczkowalna w P_o to różniczką zupełną I-go rzędu w P_o nazywamy wyrażenie:

Jeżeli w każdym punkcie D istnieje różniczka zupełna I-go rzędu to:

Zastosowanie różniczki zupełnej

Jeżeli
i
i
to otrzymujemy:

Pojęcie to wykorzystujemy do obliczenia przybliżonej wartości funkcji.

PRZYKŁAD

Obliczyć

Mamy:

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

DEF

Mówimy, że funkcja f(x,y) ma w P_o(x_o,y_o) maksimum (minimum) lokalne, jeżeli:

TWIERDZENIE W.K.E

Jeżeli f(x,y) ma w U
pochodne cząstkowe I-go rzędu i osiąga w P_o ekstremum to

Punkt
nazywamy punktem stacjonarnym.

TWIERDZENIE W.W.E

Jeżeli f(x,y) ma w U
pochodne cząstkowe II-go rzędu i zachodzą warunki:

1.

2.

To w P₀ istnieje maksimum (minimum), jeżeli

Jeżeli
to ekstremum w P_o nie istnieje

Jeżeli
to nic nie wiadomo (takim przypadkiem nie będziemy się zajmować).

PRZYKŁAD:

1. Wyznaczyć ekstrema funkcji:

WKE:

WWE:

Czyli ekstremum istnieje.

Obydwie pochodne:
w P_o są dodatnie więc to minimum

2.

WKE:

z (2) x(y+2)=0

x=0 lub y=-2

y²+4y=0 x²-4=0

y(y+4)=0 x²=4

y=0 lub y=-4 x=2 lub x=-2

P₁(0,0) P₂(0,4) P₃(2,-2) P₄ (-2,-2)

WWE:

	P1(0,0)	P2(0,-4)	P3(2,-2)	P4(-2,-2)
	0	0	12>0	-12>0
	0	0	12>0	-12>0
	12	-12	0	0
W(Pi)	<0 brak	<0 Brak	>0 min	>0 max

z_min=(2,-2)= -16

z_max=(-2,-2)=16

Prowadzący: Matematyka 08.11.08

mgr Barbara Pakleza Wykład 2 semestr III

- 1 -