Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 14.
48
Całka podwójna na prostok cie
Niech
R
→
2
:
R
f
b dzie funkcj okre lon i ograniczon w prostok cie
]
,
[
]
,
[
d
c
b
a
P
×
=
.
Podzielmy prostok t
]
,
[
]
,
[
d
c
b
a
P
×
=
na dowoln liczb prostok tów
i
P ,
n
i
≤
≤
1
, o rozł cznych wn trzach
(linie podziałów s równoległe do osi układu). Oznaczmy ten podział przez
Π.
Niech
)
,
(
1
1
η
ξ
,
)
,
(
2
2
η
ξ
, ... ,
)
,
(
n
n
η
ξ
oznaczaj punkty wybrane dowolnie, po jednym z ka dego prostok ta:
}
,...,
2
,
1
,
)
,
(
:
)
,
(
{
)
(
n
i
P
i
i
i
i
i
=
∈
η
ξ
η
ξ
=
Π
ω
Utwórzmy sum
(
)
|
|
)
,
(
...
|
|
)
,
(
|
|
)
,
(
)
(
,
2
2
2
1
1
1
n
n
n
P
f
P
f
P
f
S
⋅
η
ξ
+
+
⋅
η
ξ
+
⋅
η
ξ
=
Π
ω
Π
.
Sum t nazywa si sum Riemanna funkcji f odpowiadaj c podziałowi
Π przedziału
]
,
[ b
a
i wyborowi
ω(Π)
punktów po rednich.
Znaczenie geometryczne sumy
(
)
)
(
,
Π
ω
Π
S
jest oczywiste, gdy funkcja f jest w prostok cie
]
,
[
]
,
[
d
c
b
a
P
×
=
nieujemna. Wówczas iloczyn
|
|
)
,
(
i
i
i
P
f
⋅
η
ξ
jest obj to ci prostopadło cianu o podstawie
|
|
i
P i wysoko ci
)
,
(
i
i
f
η
ξ
.
Suma
(
)
)
(
,
Π
ω
Π
S
jest sum obj to ci prostopadło cianów o podstawach
|
|
1
P ,
|
|
2
P ,...,
|
|
n
P i wysoko ciach
)
,
(
1
1
η
ξ
f
,
)
,
(
2
2
η
ξ
f
, ... ,
)
,
(
n
n
f
η
ξ
.
Długo najwi kszej przek tnej prostok ta wchodz cego w skład podziału
Π oznaczamy δ(Π) i nazywamy
rednic podziału
Π
.
Definicja.
Je li istnieje liczba I taka, e ró nica
(
)
|
)
(
,
|
I
S
−
Π
ω
Π
jest dowolnie mała dla dostatecznie „drobnych” podziałów
Π i to niezale nie od wyboru ω(Π) punktów po rednich, to
liczb I nazywa si
całk oznaczon
funkcji f na prostok cie
]
,
[
]
,
[
d
c
b
a
P
×
=
i oznacza symbolem
P
dx
y
x
f
)
,
(
.
Je li istnieje
P
dx
y
x
f
)
,
(
, to mówimy, e
funkcja
f
jest całkowalna w sensie Riemanna
w prostok cie
P.
Definicja.
Je eli funkcja f jest ci gła w prostok cie
]
,
[
]
,
[
d
c
b
a
P
×
=
, to całki
dx
dy
y
x
f
dy
y
x
f
dx
b
a
d
c
b
a
d
c
=
)
,
(
)
,
(
,
dy
dx
y
x
f
dx
y
x
f
dy
d
c
b
a
d
c
b
a
=
)
,
(
)
,
(
nazywa si całkami iterowanymi.
Twierdzenie Fubiniego.
Je eli funkcja f jest ci gła w prostok cie
]
,
[
]
,
[
d
c
b
a
P
×
=
, to istniej całki iterowane i zachodz zale no ci
=
b
a
d
c
P
dy
y
x
f
dx
dy
dx
y
x
f
)
,
(
)
,
(
,
=
d
c
b
a
P
dx
y
x
f
dy
dy
dx
y
x
f
)
,
(
)
,
(
