Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

5. 

Ciało sprężyste – zasady energetyczne 

5.1.  Energia odkształcenia sprężystego (energia sprężysta) – twierdzenie 

Clapeyrona 

Jeżeli izolowane jednorodne ciało liniowo-sprężyste ulega deformacji pod 
wpływem obciążenia zewnętrznego to zgodnie z ogólną zasadą zachowania 
energii w mechanice całkowita energia układu nie ulega zmianie. 

 

, (5.1) 

0

z

w

L

L

+

=

gdzie: 

z

L

 – praca sił zewnętrznych, 

 – praca sił wewnętrznych. 

w

L

Energia potencjalna odkształcenia sprężystego

1

 

 

p

E

Energia potencjalna odkształcenia sprężystego ciała znajdującego się w stanie 
równowagi pod działaniem sił objętościowych i powierzchniowych jest równa 
pracy wykonanej przez siły zewnętrzne na odpowiadających im przemieszcze-
niach – od stanu wyjściowego do stanu równowagi.  

Gęstość potencjalna odkształcenia sprężystego, czyli energia przypadająca 

na jednostkę objętości ciała jest jednorodną kwadratową funkcją naprężeń lub 
odkształceń. 

Ciało sprężyste ma cechę gromadzenia energii 

. Energia potencjalna na-

gromadzona jest w ciele sprężystym przy deformacji wywołanej obciążeniem. 
Po odciążeniu ciała i jego powrocie do stanu pierwotnego energia ta (pomijając 
histerezę i efekty cieplne) zostaje całkowicie zwrócona (np. w sprężynach).  

p

E

 
Przykład oddania nagromadzonej energii sprężystej pokazano na Rys. 5.1: 
a)  układ wyjściowy nie obciążony, 
b)  układ zdeformowany sprężyście w wyniku obciążenia, 
c)  po odciążeniu następuje powrót układu do stanu wyjściowego dzięki wyko-

rzystaniu energii potencjalnej nagromadzonej w układzie. 

                                                           

1

 statyka 

 energia kinetyczna 

⇒

0

k

E

=

 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

18 

– 

jasina@pg.gda.pl 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

a) 

 

 

b) 

 

 

c) 

Rys. 5.1 Obciążenie-odciążenie, zachowanie się ciała sprężystego 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

19 

– 

jasina@pg.gda.pl 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

Praca sił zewnętrznych

2

 

z

L

 

- jeśli punkty 

( )

 ciała liniowo-sprężystego, w których przyłożone są uogólnio-

ne obciążenia ulegają przemieszczeniom to siły te wykonują pracę, którą można 
wyrazić wzorem 

i

 

1

1

2

n

z

i

i

i

L

P

δ

=

=

∑

, (5.2) 

gdzie:   – przyłożone w punktach 

uogólnione obciążenia zewnętrzne nie-

zależne od przemieszczeń, 

i

P

( )

i

i

δ  - uogólnione przemieszczenia punktów 

( )

 przy-

łożenia siły, mierzone w kierunku i zgodnie ze zwrotem działania uogólnio-
nych obciążeń 

  (

i

i

P

i

i

P

δ - tworzą parę sprzężoną). Jako uogólnione obciążenia 

można rozumieć: siłę skupioną, moment (np. zginający, skręcający), obciążenie 
liniowe, obciążenie powierzchniowe; odpowiadające im uogólnione przemiesz-
czenia to: translacja (ugięcie), rotacja (np. kąt nachylenia stycznej do osi pręta, 
kąt obrotu osi pręta), pole powierzchni pod linią ugięcia belki obciążonej rów-
nomiernie, objętość pod powierzchnią ugięcia płyty obciążonej równomiernie. 

Praca sił wewnętrznych 

 

w

L

– praca sił przekrojowych na odpowiadających im przemieszczeniach (funk-
cjach położenia) powstałych w wyniku deformacji ciała (lub praca naprężeń na 
odpowiadających im odkształceniach). 

Energia potencjalna odkształcenia sprężystego 

 

p

E

Pamiętając, że siły wewnętrzne powstają jako opór konstrukcji na deformacje, 
po wprowadzeniu pojęcia energii potencjalnej odkształcenia sprężystego

3

 

 można zapisać poniższe twierdzenie. 

p

E

L

= −

w

                                                           

2

 Energię odkształcenia sprężystego zawartą w ciele można przedstawić również jako 

pracę sił uogólnionych, przez które rozumie się siłę, moment zginający, moment skrę-
cający, obciążenie liniowe lub obciążenie powierzchniowe; na odpowiadających im 
przemieszczeniach uogólnionych – ugięcie, kąt nachylenia, kąt obrotu, powierzchnia 
pod linią ugięcia belki obciążonej równomiernie lub objętość pod powierzchnią ugięcia 
równomiernie obciążonej płyty. 

3

 Pojęcie energii odkształcenia sprężystego jest punktem wyjścia dla kilku podstawo-

wych twierdzeń (zasad) w teorii sprężystości i wytrzymałości materiałów. 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

20 

– 

jasina@pg.gda.pl 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

Twierdzenie Clapeyrona

4

 (1833 / 1857) 

Praca sił zewnętrznych na przemieszczeniach układu jest równa przyrostowi 
energii potencjalnej odkształcenia sprężystego układu (por. wzór (5.2)). Innymi 
słowy: energia ciała sprężystego jest połową sumy iloczynów wszystkich obcią-
żeń i odpowiednich przemieszczeń. 

 

z

p

L

E

=

 

1

1

2

n

i

i

i

P

δ

=

=

∑

 (5.3) 

Energia właściwa odkształcenia sprężystego  Φ  jest to energia potencjalna 
odkształcenia sprężystego przypadająca (mierzona) na jednostkę objętości 

. 

/

p

dE dV

Φ =

Energię potencjalną obliczamy jako całkę po objętości z energii właściwej 

 

. (5.4) 

p

V

E

= Φ

∫

dV

5.2.  Twierdzenie o pochodnej cząstkowej energii sprężystej  (pochodnej 

cząstkowej pracy uogólnionych sił zewnętrznych na uogólnionych 

przemieszczeniach) 

Rozważa się ciało liniowo-sprężyste, na które działa układ uogólnionych sił 

 pod wpływem, których doznaje ono uogólnionych przemieszczeń 

1

2

,

,

,

n

P P

P

…

1

2

,

,

,

n

δ δ

…

δ  w miejscu i na kierunku ich działania (punkty przyłożenia po-

szczególnych sił doznają przemieszczeń – zob. rys. 5.2). 

 

Rys. 5.2 Ilustracja pracy 

z

L

 sił 

 na przemieszczeniach 

1

2

,

,

,

n

P P

P

…

1

2

,

,

,

n

δ δ

δ

…

 

                                                           

4

 Benoit-Pierre-Émile Clapeyron, 1799-1864, francuski inżynier i fizyk, konstruktor mo-

stów. 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

21 

– 

jasina@pg.gda.pl 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

Przemieszczenia są liniową funkcją obciążenia, a zatem praca sił zewnętrznych 
opisana jest wzorem (5.2) i można zapisać ją między innymi na dwa poniższe 
sposoby. 

Twierdzenie Castigliano

5

 (1873 / 1875 / 1879) 

 (1)   Jeśli wyrazić przemieszczenia 

i

δ  przez działające siły, uzyskuje się zależ-

ność 

1

2

( ,

,

,

)

z

z

L

L P P

P

=

…

n

p

 (praca jako funkcja obciążeń). Po dodaniu do jednej z 

sił 

 małego przyrostu 

, praca sił zewnętrznych wzrośnie od wartości 

początkowej 

( )

i

P

i

dP

z

L

 do wartości końcowej 

k

z

L

 i wyniesie  

 

k

p

z

z

z

i

L

L

L

dP

P

∂

=

+

∂

i

. (5.5) 

Zakładając, że najpierw działa siła 

 a następnie cały układ sił, oraz pomijając 

(na podstawie założenia, że 

 jest małe) odkształcenia spowodowane siłą 

, 

otrzymujemy pracę sił zewnętrznych równą 

i

dP

i

dP

i

dP

 

k

p

z

z

i

i

L

L

d

δ

=

+

P

. (5.6) 

Ponieważ praca nie zależy od kolejności działania obciążeń, zatem z porówna-
nia (5.5) i (5.6) mamy  

 

z

i

i

L

P

δ

∂

=

∂

. (5.7) 

Jest to pierwsze twierdzenie Castigliano o pochodnej cząstkowej pracy sił 
zewnętrznych względem siły uogólnionej.  
Można je zawrzeć  w  formule:  pochodna  cząstkowa energii potencjalnej od-
kształcenia (rozumianej jako funkcja sił przyłożonych do ciała liniowo-
sprężystego) względem jednej z tych sił, równa jest przemieszczeniu w kierun-
ku działania tej siły w jej punkcie przyłożenia. 

(2)   Jeśli wyrazić siły działające na ciało 

i

 przez przemieszczenia uzyskuje się 

zależność 

1

2

P

( ,

,

,

)

z

z

n

L

L

δ δ

δ

=

…

                                                          

 (praca jako funkcja przemieszczeń). Postępując 

analogicznie jak w przypadku (1)  

 

5

 Carlo Alberto Castigliano, włoski inżynier kolejowy. 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

22 

– 

jasina@pg.gda.pl 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

 

k

p

z

z

z

i

L

L

L

d

i

δ

δ

∂

=

+

∂

. (5.8) 

… 

 

k

p

z

z

i

i

L

L

Pd

δ

=

+

. (5.9) 

otrzymujemy związek 

 

z

i

i

L

P

δ

∂

=

∂

. (5.10) 

Jest to drugie twierdzenie Castigliano o pochodnej cząstkowej pracy sił ze-
wnętrznych względem przemieszczenia uogólnionego. 
 

Ćwiczenie domowe:  

zinterpretuj drugie twierdzenie Castigliano na przykładzie obciążonego pręta 

5.3.  Zastosowanie pierwszego twierdzenia Castigliano do obliczania do-

wolnych przemieszczeń. 

a)  Twierdzenie 

z

i

L

P

i

δ

∂

∂ =

 (5.7) mówi, że obliczone 

i

δ  to przemieszczenie w 

miejscu i na kierunku działania siły  . 

i

P

b)  Powiązane w powyższy sposób wielkości typu 

( ,

, 

)

i

i

P

δ

(

,

)

i

i

M

ϕ

,  ( ,

)

ij

ij

ε σ

 

nazywa się parami energetycznie sprzężonymi. 

c)  Jeśli na podstawie (5.7) ma być obliczone pewne przemieszczenie uogólnio-

ne 

δ

 w dowolnym miejscu oraz o dowolnym kierunku i zwrocie, to po-

trzebne jest energetycznie sprzężone z nim obciążenie (pominięto indeks  i ). 

d)  W  powyższym celu wprowadza się obciążenie fikcyjne 

P

 tworzące parę 

energetycznie sprzężoną  ( , )

P

δ

. 

e)  Jeśli  P  jest fikcyjnym obciążeniem uogólnionym (a więc o wartości 

0

P

= ) 

energetycznie sprzężonym z przemieszczeniem uogólnionym 

δ

, to pierw-

sze Tw. Castigliano, po wykorzystaniu Tw. Clapeyrona 

z

p

L

E

=

 (5.3), przyj-

muje postać  

 

0

0

p

z

P

P

E

L

P

P

δ

=

=

∂

∂

=

=

∂

∂

. (5.11) 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

23 

– 

jasina@pg.gda.pl 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

f)  W przypadku ram płaskich,  łuków, czy układów sztywno-wiotkich (przy 

zastosowaniu tradycyjnych oznaczeń sił wewnętrznych) otrzymuje się wzór 
obliczeniowy (pominięto tu skręcanie)  

 

0

p

l

l

l

P

E

N N

M M

T T

ds

ds

ds

P

EA

EI

GA

δ

=

∂

=

=

+

+

∂

∫

∫

∫

κ

. (5.12) 

gdzie: 

, 

N M

, T  są siłami przekrojowymi od rzeczywistego obciążenia ze-

wnętrznego 

( , ;

,

;

)

p P m M t…

, a  N ,  M ,  T  siłami wewnętrznymi od obcią-

żenia jednostkowego  (1)  energetycznie sprzężonego z poszukiwanym 
przemieszczeniem 

δ

,  ( , 1)

δ

. 

g)  W przypadku kratownic wzór upraszcza się do postaci 

 

1

0

n

p

k

k

k

k

k

P

E

N N

l

P

EA

δ

=

=

∂

=

=

∂

∑

, (5.13) 

gdzie: 

 to siła normalna w  k

k

N

−

tym pręcie od rzeczywistego obciążenia 

zewnętrznego (obciążenia węzłowe), a 

k

N

 siła normalna w tym pręcie od 

obciążenia jednostkowego  (1)  energetycznie sprzężonego z poszukiwanym 
przemieszczeniem 

δ

,  ( , 1)

δ

. 

h)  W przypadku belek załamanych w planie (uwzględniono skręcanie) 

 

0

p

s

s

s

l

l

l

P

E

M M

M M

T T

ds

ds

ds

P

EI

GA

GI

δ

κ

=

∂

=

=

+

+

∂

∫

∫

∫

. (5.14) 

gdzie:  M ,  T , 

s

M

 są siłami przekrojowymi od rzeczywistego obciążenia 

zewnętrznego 

( , ,

,

,

)

p P

m M

t…

, a  M ,  T , 

s

M

 siłami wewnętrznymi od 

obciążenia jednostkowego  (1)  energetycznie sprzężonego z poszukiwanym 
przemieszczeniem 

δ

,  ( , 1)

δ

. 

 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

24 

– 

jasina@pg.gda.pl 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

Użyte w powyższych wzorach, (5.12),  (5.13),.(5.14) 

, 

, 

E

G

κ

 oznaczają odpo-

wiednio: 
 

E

  

- moduł sprężystości przy rozciąganiu (moduł Younga),  

2(1

)

E

G

ν

=

+

  

- moduł odkształcenia postaciowego (moduł ścinania), 

gdzie 

ν

 - 

współczynnik  (ni)  Poissona, 

κ

 - 

współczynnik  (kappa)  zależny od kształtu przekroju po-

przecznego.  

 

Wzór ogólny na współczynnik  

κ

 

 

2

2

2

y

y A

S z

A

dA

I

b z

κ =

∫

. (5.15) 

W przypadku przekroju prostokątnego można obliczyć, że  

576

1, 2

480

κ

=

=

. 

W przypadku przekroju kołowego można obliczyć, że  

10

1, (1)

9

κ

=

=

. 

 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

25 

– 

jasina@pg.gda.pl