Katedra Mechaniki Budowli

Wykład

Mechanika Budowli 1 [C16]

Politechnika Gdańska

2006

Marek Krzysztof Jasina

5.

Ciało sprężyste – zasady energetyczne

5.1. Energia odkształcenia sprężystego (energia sprężysta) – twierdzenie

Clapeyrona

Jeżeli izolowane jednorodne ciało liniowo-sprężyste ulega deformacji pod
wpływem obciążenia zewnętrznego to zgodnie z ogólną zasadą zachowania
energii w mechanice całkowita energia układu nie ulega zmianie.

, (5.1)

0

z

w

L

L

+

=

gdzie:

z

L

– praca sił zewnętrznych,

– praca sił wewnętrznych.

w

L

Energia potencjalna odkształcenia sprężystego

1

p

E

Energia potencjalna odkształcenia sprężystego ciała znajdującego się w stanie
równowagi pod działaniem sił objętościowych i powierzchniowych jest równa
pracy wykonanej przez siły zewnętrzne na odpowiadających im przemieszcze-
niach – od stanu wyjściowego do stanu równowagi.

Gęstość potencjalna odkształcenia sprężystego, czyli energia przypadająca

na jednostkę objętości ciała jest jednorodną kwadratową funkcją naprężeń lub
odkształceń.

Ciało sprężyste ma cechę gromadzenia energii

. Energia potencjalna na-

gromadzona jest w ciele sprężystym przy deformacji wywołanej obciążeniem.
Po odciążeniu ciała i jego powrocie do stanu pierwotnego energia ta (pomijając
histerezę i efekty cieplne) zostaje całkowicie zwrócona (np. w sprężynach).

p

E

Przykład oddania nagromadzonej energii sprężystej pokazano na Rys. 5.1:
a) układ wyjściowy nie obciążony,
b) układ zdeformowany sprężyście w wyniku obciążenia,
c) po odciążeniu następuje powrót układu do stanu wyjściowego dzięki wyko-

rzystaniu energii potencjalnej nagromadzonej w układzie.

1

statyka

energia kinetyczna

⇒

0

k

E

=

http://www.okno.pg.gda.pl –

18

–

[e-mail]

Katedra Mechaniki Budowli

Wykład

Mechanika Budowli 1 [C16]

Politechnika Gdańska

2006

Marek Krzysztof Jasina

a)

b)

c)

Rys. 5.1 Obciążenie-odciążenie, zachowanie się ciała sprężystego

http://www.okno.pg.gda.pl –

19

–

[e-mail]

Katedra Mechaniki Budowli

Wykład

Mechanika Budowli 1 [C16]

Politechnika Gdańska

2006

Marek Krzysztof Jasina

Praca sił zewnętrznych

2

z

L

- jeśli punkty

( )

ciała liniowo-sprężystego, w których przyłożone są uogólnio-

ne obciążenia ulegają przemieszczeniom to siły te wykonują pracę, którą można
wyrazić wzorem

i

1

1

2

n

z

i

i

i

L

P

δ

=

=

∑

, (5.2)

gdzie: – przyłożone w punktach

uogólnione obciążenia zewnętrzne nie-

zależne od przemieszczeń,

i

P

( )

i

i

δ - uogólnione przemieszczenia punktów

( )

przy-

łożenia siły, mierzone w kierunku i zgodnie ze zwrotem działania uogólnio-
nych obciążeń

(

i

i

P

i

i

P

δ - tworzą parę sprzężoną). Jako uogólnione obciążenia

można rozumieć: siłę skupioną, moment (np. zginający, skręcający), obciążenie
liniowe, obciążenie powierzchniowe; odpowiadające im uogólnione przemiesz-
czenia to: translacja (ugięcie), rotacja (np. kąt nachylenia stycznej do osi pręta,
kąt obrotu osi pręta), pole powierzchni pod linią ugięcia belki obciążonej rów-
nomiernie, objętość pod powierzchnią ugięcia płyty obciążonej równomiernie.

Praca sił wewnętrznych

w

L

– praca sił przekrojowych na odpowiadających im przemieszczeniach (funk-
cjach położenia) powstałych w wyniku deformacji ciała (lub praca naprężeń na
odpowiadających im odkształceniach).

Energia potencjalna odkształcenia sprężystego

p

E

Pamiętając, że siły wewnętrzne powstają jako opór konstrukcji na deformacje,
po wprowadzeniu pojęcia energii potencjalnej odkształcenia sprężystego

3

można zapisać poniższe twierdzenie.

p

E

L

= −

w

2

Energię odkształcenia sprężystego zawartą w ciele można przedstawić również jako

pracę sił uogólnionych, przez które rozumie się siłę, moment zginający, moment skrę-
cający, obciążenie liniowe lub obciążenie powierzchniowe; na odpowiadających im
przemieszczeniach uogólnionych – ugięcie, kąt nachylenia, kąt obrotu, powierzchnia
pod linią ugięcia belki obciążonej równomiernie lub objętość pod powierzchnią ugięcia
równomiernie obciążonej płyty.

3

Pojęcie energii odkształcenia sprężystego jest punktem wyjścia dla kilku podstawo-

wych twierdzeń (zasad) w teorii sprężystości i wytrzymałości materiałów.

http://www.okno.pg.gda.pl –

20

–

[e-mail]

Katedra Mechaniki Budowli

Wykład

Mechanika Budowli 1 [C16]

Politechnika Gdańska

2006

Marek Krzysztof Jasina

Twierdzenie Clapeyrona

4

(1833 / 1857)

Praca sił zewnętrznych na przemieszczeniach układu jest równa przyrostowi
energii potencjalnej odkształcenia sprężystego układu (por. wzór (5.2)). Innymi
słowy: energia ciała sprężystego jest połową sumy iloczynów wszystkich obcią-
żeń i odpowiednich przemieszczeń.

z

p

L

E

=

1

1

2

n

i

i

i

P

δ

=

=

∑

(5.3)

Energia właściwa odkształcenia sprężystego Φ jest to energia potencjalna
odkształcenia sprężystego przypadająca (mierzona) na jednostkę objętości

.

/

p

dE dV

Φ =

Energię potencjalną obliczamy jako całkę po objętości z energii właściwej

. (5.4)

p

V

E

= Φ

∫

dV

5.2. Twierdzenie o pochodnej cząstkowej energii sprężystej (pochodnej

cząstkowej pracy uogólnionych sił zewnętrznych na uogólnionych

przemieszczeniach)

Rozważa się ciało liniowo-sprężyste, na które działa układ uogólnionych sił

pod wpływem, których doznaje ono uogólnionych przemieszczeń

1

2

,

,

,

n

P P

P

…

1

2

,

,

,

n

δ δ

…

δ w miejscu i na kierunku ich działania (punkty przyłożenia po-

szczególnych sił doznają przemieszczeń – zob. rys. 5.2).

Rys. 5.2 Ilustracja pracy

z

L

sił

na przemieszczeniach

1

2

,

,

,

n

P P

P

…

1

2

,

,

,

n

δ δ

δ

…

4

Benoit-Pierre-Émile Clapeyron, 1799-1864, francuski inżynier i fizyk, konstruktor mo-

stów.

http://www.okno.pg.gda.pl –

21

–

[e-mail]

Katedra Mechaniki Budowli

Wykład

Mechanika Budowli 1 [C16]

Politechnika Gdańska

2006

Marek Krzysztof Jasina

Przemieszczenia są liniową funkcją obciążenia, a zatem praca sił zewnętrznych
opisana jest wzorem (5.2) i można zapisać ją między innymi na dwa poniższe
sposoby.

Twierdzenie Castigliano

5

(1873 / 1875 / 1879)

(1) Jeśli wyrazić przemieszczenia

i

δ przez działające siły, uzyskuje się zależ-

ność

1

2

( ,

,

,

)

z

z

L

L P P

P

=

…

n

p

(praca jako funkcja obciążeń). Po dodaniu do jednej z

sił

małego przyrostu

, praca sił zewnętrznych wzrośnie od wartości

początkowej

( )

i

P

i

dP

z

L

do wartości końcowej

k

z

L

i wyniesie

k

p

z

z

z

i

L

L

L

dP

P

∂

=

+

∂

i

. (5.5)

Zakładając, że najpierw działa siła

a następnie cały układ sił, oraz pomijając

(na podstawie założenia, że

jest małe) odkształcenia spowodowane siłą

,

otrzymujemy pracę sił zewnętrznych równą

i

dP

i

dP

i

dP

k

p

z

z

i

i

L

L

d

δ

=

+

P

. (5.6)

Ponieważ praca nie zależy od kolejności działania obciążeń, zatem z porówna-
nia (5.5) i (5.6) mamy

z

i

i

L

P

δ

∂

=

∂

. (5.7)

Jest to pierwsze twierdzenie Castigliano o pochodnej cząstkowej pracy sił
zewnętrznych względem siły uogólnionej.
Można je zawrzeć w formule: pochodna cząstkowa energii potencjalnej od-
kształcenia (rozumianej jako funkcja sił przyłożonych do ciała liniowo-
sprężystego) względem jednej z tych sił, równa jest przemieszczeniu w kierun-
ku działania tej siły w jej punkcie przyłożenia.

(2) Jeśli wyrazić siły działające na ciało

i

przez przemieszczenia uzyskuje się

zależność

1

2

P

( ,

,

,

)

z

z

n

L

L

δ δ

δ

=

…

(praca jako funkcja przemieszczeń). Postępując

analogicznie jak w przypadku (1)

5

Carlo Alberto Castigliano, włoski inżynier kolejowy.

http://www.okno.pg.gda.pl –

22

–

[e-mail]

Katedra Mechaniki Budowli

Wykład

Mechanika Budowli 1 [C16]

Politechnika Gdańska

2006

Marek Krzysztof Jasina

k

p

z

z

z

i

L

L

L

d

i

δ

δ

∂

=

+

∂

. (5.8)

…

k

p

z

z

i

i

L

L

Pd

δ

=

+

. (5.9)

otrzymujemy związek

z

i

i

L

P

δ

∂

=

∂

. (5.10)

Jest to drugie twierdzenie Castigliano o pochodnej cząstkowej pracy sił ze-
wnętrznych względem przemieszczenia uogólnionego.

Ćwiczenie domowe:

zinterpretuj drugie twierdzenie Castigliano na przykładzie obciążonego pręta

5.3. Zastosowanie pierwszego twierdzenia Castigliano do obliczania do-

wolnych przemieszczeń.

a) Twierdzenie

z

i

L

P

i

δ

∂

∂ =

(5.7) mówi, że obliczone

i

δ to przemieszczenie w

miejscu i na kierunku działania siły .

i

P

b) Powiązane w powyższy sposób wielkości typu

( ,

,

)

i

i

P

δ

(

,

)

i

i

M

ϕ

, ( ,

)

ij

ij

ε σ

nazywa się parami energetycznie sprzężonymi.

c) Jeśli na podstawie (5.7) ma być obliczone pewne przemieszczenie uogólnio-

ne

δ

w dowolnym miejscu oraz o dowolnym kierunku i zwrocie, to po-

trzebne jest energetycznie sprzężone z nim obciążenie (pominięto indeks i ).

d) W powyższym celu wprowadza się obciążenie fikcyjne

P

tworzące parę

energetycznie sprzężoną ( , )

P

δ

.

e) Jeśli P jest fikcyjnym obciążeniem uogólnionym (a więc o wartości

0

P

= )

energetycznie sprzężonym z przemieszczeniem uogólnionym

δ

, to pierw-

sze Tw. Castigliano, po wykorzystaniu Tw. Clapeyrona

z

p

L

E

=

(5.3), przyj-

muje postać

0

0

p

z

P

P

E

L

P

P

δ

=

=

∂

∂

=

=

∂

∂

. (5.11)

http://www.okno.pg.gda.pl –

23

–

[e-mail]

Katedra Mechaniki Budowli

Wykład

Mechanika Budowli 1 [C16]

Politechnika Gdańska

2006

Marek Krzysztof Jasina

f) W przypadku ram płaskich, łuków, czy układów sztywno-wiotkich (przy

zastosowaniu tradycyjnych oznaczeń sił wewnętrznych) otrzymuje się wzór
obliczeniowy (pominięto tu skręcanie)

0

p

l

l

l

P

E

N N

M M

T T

ds

ds

ds

P

EA

EI

GA

δ

=

∂

=

=

+

+

∂

∫

∫

∫

κ

. (5.12)

gdzie:

,

N M

, T są siłami przekrojowymi od rzeczywistego obciążenia ze-

wnętrznego

( , ;

,

;

)

p P m M t…

, a N , M , T siłami wewnętrznymi od obcią-

żenia jednostkowego (1) energetycznie sprzężonego z poszukiwanym
przemieszczeniem

δ

, ( , 1)

δ

.

g) W przypadku kratownic wzór upraszcza się do postaci

1

0

n

p

k

k

k

k

k

P

E

N N

l

P

EA

δ

=

=

∂

=

=

∂

∑

, (5.13)

gdzie:

to siła normalna w k

k

N

−

tym pręcie od rzeczywistego obciążenia

zewnętrznego (obciążenia węzłowe), a

k

N

siła normalna w tym pręcie od

obciążenia jednostkowego (1) energetycznie sprzężonego z poszukiwanym
przemieszczeniem

δ

, ( , 1)

δ

.

h) W przypadku belek załamanych w planie (uwzględniono skręcanie)

0

p

s

s

s

l

l

l

P

E

M M

M M

T T

ds

ds

ds

P

EI

GA

GI

δ

κ

=

∂

=

=

+

+

∂

∫

∫

∫

. (5.14)

gdzie: M , T ,

s

M

są siłami przekrojowymi od rzeczywistego obciążenia

zewnętrznego

( , ,

,

,

)

p P

m M

t…

, a M , T ,

s

M

siłami wewnętrznymi od

obciążenia jednostkowego (1) energetycznie sprzężonego z poszukiwanym
przemieszczeniem

δ

, ( , 1)

δ

.

http://www.okno.pg.gda.pl –

24

–

[e-mail]

Katedra Mechaniki Budowli

Wykład

Mechanika Budowli 1 [C16]

Politechnika Gdańska

2006

Marek Krzysztof Jasina

Użyte w powyższych wzorach, (5.12), (5.13),.(5.14)

,

,

E

G

κ

oznaczają odpo-

wiednio:

E

- moduł sprężystości przy rozciąganiu (moduł Younga),

2(1

)

E

G

ν

=

+

- moduł odkształcenia postaciowego (moduł ścinania),

gdzie

ν

-

współczynnik (ni) Poissona,

κ

-

współczynnik (kappa) zależny od kształtu przekroju po-

przecznego.

Wzór ogólny na współczynnik

κ

2

2

2

y

y A

S z

A

dA

I

b z

κ =

∫

. (5.15)

W przypadku przekroju prostokątnego można obliczyć, że

576

1, 2

480

κ

=

=

.

W przypadku przekroju kołowego można obliczyć, że

10

1, (1)

9

κ

=

=

.

http://www.okno.pg.gda.pl –

25

–

[e-mail]