Wykład 05
Witold Obłoza
2 grudnia 2010
Wykład 05
Witold Obłoza
2 grudnia 2010
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 41 (KRYTERIUM d’Alemberta)
Niech b
,
edzie dany szereg
∞
P
n=1
a
n
taki, że ∀n a
n
> 0 i niech istnieje
granica lim
n→∞
a
n+1
a
n
= g. Jeżeli g < 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny,
a gdy g > 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
jest rozbieżny. Jeżeli g = 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
może być zbieżny lub rozbiezny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g > 1 wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n+1
a
n
>
1+g
2
> 1.
Zatem ∀n > n
0
a
n
≥
1+g
2
n−n
0
−1
· a
n
0
+1
,
Szereg
∞
P
n=1
a
n
ma minorantę rozbieżną
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
∞
P
n=1
n
k
a
n
dla k ∈ R i a > 1,
∞
P
n=1
a
n
n!
,
∞
P
n=1
n!
n
n
.
Wynika stąd, że
lim
n→∞
n
k
a
n
= 0,
lim
n→∞
a
n
n!
= 0,
lim
n→∞
n!
n
n
= 0.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 43
Niech b
,
edzie dany szereg
∞
P
n=1
a
n
taki, że szereg
∞
P
n=1
|a
n
| jest zbieżny
wtedy szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny.
DOWÓD:
Niech S
n
=
n
P
k=1
a
k
, T
n
=
n
P
k=1
|a
k
| wtedy dla m > n mamy
|S
m
− S
n
| ≤ T
m
− T
n
.
Jeśli T
n
spełnia warunek Cauchyego to S
n
również.
ZBIEZNOŚĆ BEZWZGLĘDNA I WARUNKOWA
DEFINICJA 44
Niech b
,
edzie dany szereg
∞
P
n=1
a
n
jeżeli szereg
∞
P
n=1
|a
n
| jest zbieżny to
mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny bezwzgl
,
ednie. Jeżeli szereg
∞
P
n=1
|a
n
| jest rozbieżny, a szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny to mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny warunkowo.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
Jeżeli ci
,
ag sum cz
,
eściowych szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest ograniczony a ci
,
ag {b
n
}
jest nierosn
,
acy i zbieżny do zera to
∞
P
n=1
a
n
b
n
jest zbieżny.
DOWÓD:
Niech A
k
=
k
P
n=1
a
n
i ∀k ∈ N |A
k
| ≤ M.
Dla q > p > 1 mamy
q
P
n=p+1
a
n
b
n
=
q
P
n=p+1
(A
n
− A
n−1
)b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q
P
n=p+1
A
n−1
b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q−1
P
n=p
A
n
b
n+1
=
q−1
P
n=p+1
A
n
(b
n
− b
n+1
) + A
q
b
q
− A
p
b
p+1
.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Zauważmy jeszcze, że
|S
q
− S
p
| = |
q
P
n=p+1
a
n
b
n
| = |
q−1
P
n=p+1
A
n
(b
n
− b
n+1
) + A
q
b
q
− A
p
b
p+1
| ≤
|M |
q−1
P
n=p+1
|b
n
− b
n+1
| + |b
q
| + |b
p+1
|
!
= 2M b
p+1
.
Z drugiej strony ∀ε > 0 ∃n
0
∀q > p > n
0
b
p+1
<
ε
2M
,
a co za tym idzie |S
q
− S
p
| < ε.
Zatem {S
n
} jest ciągiem Cauchy’ego i jako taki jest zbieżny do granicy
właściwej.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
PRZYKŁAD 46
Dla x 6= 2kπ i p > 0 szereg
∞
P
n=1
cos nx
n
p
jest zbieżny.
Rzeczywiście zachodzi wzór
n
P
k=1
cos kx =
1 + cosnx − cos(n + 1)x − cosx
2(1 − cosx)
− 1.
Wynika st
,
ad, że ci
,
ag sum cz
,
eściowych szeregu
∞
P
k=1
coskx jest ograniczony,
a {
1
n
p
}
∞
n=1
jest malej
,
acy i ma granic
,
e zero przy n zmierzaj
,
acym do
nieskończoności.
Na mocy Twierdzenia 44 szereg
∞
P
n=1
cos nx
n
p
jest zbieżny.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 47
Mówimy że szereg
∞
P
n=1
(−1)
n
a
n
jest szeregiem naprzemiennym
jeżeli ∀n ∈ N a
n
≥ a
n+1
> 0 i lim
n→∞
a
n
= 0.
TWIERDZENIE 48
Każdy szereg naprzemienny jest szeregiem zbieżnym.
DOWÓD:
Jest to prosty wniosek z Twierdzenia 44.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 49
Iloczynem Cauchy’ego szeregów
∞
P
n=1
a
n
,
∞
P
n=1
b
n
nazywamy szereg
∞
P
n=1
c
n
, gdzie c
n
=
n
P
k=1
a
k
b
n+1−k
.
TWIERDZENIE 50
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest bezwzgl
,
ednie zbieżny, a szereg
∞
P
n=1
b
n
jest
zbieżny to zbieżny jest
∞
P
n=1
c
n
iloczyn Cauchy’ego tych szeregów.
Ponadto, jeżeli
∞
P
n=1
a
n
= A oraz
∞
P
n=1
b
n
= B to
∞
P
n=1
c
n
= AB.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
Dla n ≥ 1 oznaczmy A
n
=
∞
P
k=1
a
k
B
n
=
n
P
k=1
b
k
C
n
=
n
P
k=1
c
k
β
n
= B − B
n
α =
∞
P
k=1
|a
k
|. Mamy
C
n
=
n
P
k=1
k
P
m=1
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
n
P
k=m
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B
n+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B +
n
P
m=1
a
m
(B
n+1−m
− B) = A
n
B −
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
Niech γ
n
=
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
. Wystarczy pokazać, że lim
n→∞
γ
n
= 0.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Z uwagi na lim
n→∞
β
n
= 0 możemy wybrać n
0
tak duże aby ∀n ≥ n
0
|β
n
| <
ε
2α
.
Wybieraj
,
ac n
1
tak duże aby ∀n ≥ n
1
zachodziła nierówność
|a
n
| <
ε
2n
0
max{|β
q
| : q ∈ N}
otrzymujemy dla n > n
0
+ n
1
|γ
n
| ≤ |
n−n
0
P
m=1
a
m
β
n+1−m
| + |
n
P
m=n−n
0
+1
a
m
β
n+1−m
| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
OTOCZENIA
DEFINICJA 51
Otoczeniem punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór
O(x
0
, ε) := {x ∈ R : |x − x
0
| < ε} = (x
0
− ε, x
0
+ ε).
Otoczeniem prawostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy
zbiór O
+
(x
0
, ε) := [x
0
, x
0
+ ε).
Otoczeniem lewostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy
zbiór O
+
(x
0
, ε) := (x
0
− ε, x
0
].
SĄSIEDZTWA
DEFINICJA 52
S
,
asiedztwem punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór
S(x
0
, ε) := {x ∈ R : 0 < |x − x
0
| < ε} = (x
0
− ε, x
0
+ ε) \ {x
0
}.
S
,
asiedztwem prawostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0
nazywamy zbiór S
+
(x
0
, ε) := (x
0
, x
0
+ ε).
S
,
asiedztwem lewostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy
zbiór S
−
(x
0
, ε) := (x
0
− ε, x
0
).
S
,
asiedztwem ∞ nazywamy zbiór postaci S(∞) := (a, ∞).
S
,
asiedztwem −∞ nazywamy zbiór postaci S(−∞) := (−∞, a), gdzie
a ∈ R.