Egzamin dla Aktuariuszy z 2 czerwca 2001 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
i
( T
) AK b
o :
1
( + n
i) = δ n
e
δ y
e
x
δ y
=
δ n
δ t
= −ò t δ e
exp(δ )
1
L
dy =
δ
exp(δt)
δ
δ
dx = −
e
e
ln e
x
ln
n
y
δ
1
δ
0
ò t
= −
n
[− ( n − ) ]
−
=
e
− e
δ =
1
e
−
n
x
e
−1
δ y
e
δ n
e
− δ t
P =
e
ln
δ
n
e
−1
( ii
) NIE b
o :
L = − v + (
2
v + v ) − (
2
3
v + v + v ) + (
2
3
4
v + v + v + v ) + ...
2
+ v + v + ...
998
+ v − v − ...
999
− v
=
3
5
= − v − v − v − ...
999
2
− v + v + v + ...
1000
2
4
6
+ v
= v + v + v + ...
1000
+ v
ogólnie n
ieprawdz w
i
e tylko g
dy i
= (
1 + i)2 −1
( iii T
) AK b
o :
a&
&
nv n
( m)
n −
( Ia)
n
=
( m)
i
( Ia
= ò∞ tvt = 1
)∞
0
2
ln v
wiemy : −δ = ln v
n
a&
& − nv
i
1
n
L =
=
( m)
n
( m)
i
i( a&
& − nv )
i
n
2
δ
1
P =
=
2
( m)
( m)
ln vi
i
Zadanie 2
20
æ
0
,
1 3 ö
1 − ç
÷
75
75 ⋅ 0
,
1 3
75 ⋅ 0
,
1 319
1050
75
è 0
,
1 825 ø
1050
ODP =
+
+ ... +
+
=
+
≈ 1115
0
,
1 825
0
,
1 8252
0
,
1 82520
0
,
1 82520
0
,
1 825
0
,
1 3
0
,
1 82520
1 − 0,
1 825
var(400 X ) = 160000
OD(400 X ) = 400
var 3
( 00 X + 100 Y ) = 90000 var X + 10000 var Y + 2 ⋅ 300 ⋅100 cov( X , Y ) = 144300
OD ≈ 379 8
, 6
400 1
( − X ) = OD
X ≈ ,
0 05 = 5%
Zadanie 4
L
5 v + 2 ⋅ 7 2
v + 3 ⋅ 9 3
v + ...
=
M
5 v + 7 2
v + 9 3
v + ...
2
3
4
Lv = 5 v + 2 ⋅ 7 v + 3 ⋅ 9 v + ...
2
4 v
v
5 v − v
2
3
L 1
( − v) = 5 v + (4 ⋅ 2 + ) 1 v + (4 ⋅ 3 + )
1 v + ... = 4 Ia∞ + a∞ =
+
→ L =
2
3
1
( − v)
1 − v
1
( − v)
2
3
Mv = 5 v + 7 v + ...
2
5 v − 3 v
2
3
M 1
( − v) = 5 v + 2 v + 2 v + ... = 2 a∞ + 3 v → M =
2
1
( − v)
L
5 −
=
v
≈ 39 6
, 6
M
5
( − 3 v) 1
( − v)
Zadanie 5
I = ziK [ 1
( +
n−1
j )
... 1
ziKs
1
+ + ]=
n ; 1
j
é
n
n
n
1
iK 1
(
z) n 1
(
j )
s
−1
ù
−
+ 2 − n j
II = iK 1
( − z)
1
( +
2
j )
...
2
+ +
=
;
ê
ú
ë n +1
n + 1û
n + 1
j 2
é
n
n
n
1
1
n 1
(
j )
s
−1
æ
öù
é
+ 3 −
ù
n j
III = iK 1
( − z)ê 1
( −
) 1
( +
3
j )
...
1
iK 1
(
z) s
3
+ + ç −
÷ú =
− ê n; j −
;
ú
ë
n + 1
è
n + 1øû
êë 3 n +1
j 3
úû
I + II + III + K
n
= 1
( + i )
ef
K
Z tego wynika:
1
ì
é
j ( n + )
1 s
n
j
s
n
− 1
( +
) n
j
+
ù
ü n
3
3
nj
3
3
ïï
ê
n
1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3 ú
i 1
( − z) n 1
( + j ) − snj
ïï
2
2
i
zis
ef
= í nj +
ê
+
A
ú +1ý −1
1
n + 1
ï
ê
j
j
ú
2
3
ï
ï
ê
ú
ë
û
ï
î
þ
gdzie,
[1+ j) n − ]1( n+ )1− n 1(+ j) n = 1(+ j) nn+ 1(+ j) n −( n+ )1− n 1(+ j) n =
= s + 1
( + j) n
n
− 1
( + n) = s
− ( n + )
1
n 1
+
Stąd wynika Ŝe prawidłowa odpowiedź to A.
Zadanie 6
R = ( k − )
1 Q + P
1. k
1
V = P − (
2 k − )
1 Q
k
2
2. 4 R + 3 R − 60 Q = 2 V + 5 V + 72 Q
10
11
1
5
6
2
P
R
R
P
V
V
2
20
2
20
L =
+
+ ... +
=
+
+ ... +
2
20
2
20
,
1 05
,
1 05
,
1 05
,
1 03
,
1 03
,
1 03
20
3. 85000 = ò ( P + 20 Q 20 Q )exp( ln 0
,
1 6 t) dt
P
20 Q
20 Q
7196 8
, 8
1 +
2
−
→ +
1 +
2 =
0
Z 1 i 2 wynika po przekształceniach, Ŝe Q = Q
1
2
Z tego i 3 wynika, Ŝe 4. P + 40 Q = 7196 8
, 8
P
Q + P
P + 19 Q
L =
+
+ ... +
= ( P − Q) a
+ Q( Ia)
2
20
20;0,05
20;0,05
0
,
1 5
0
,
1 5
0
,
1 5
P
P − 2 Q
P − 38 Q
L =
+
+ ... +
= ( P + 2 Q) a
− 2 Q( Ia)
2
20
20;0,03
20;0,03
0
,
1 3
0
,
1 3
0
,
1 3
czyli (
: P − Q) a
+ Q( Ia)
= ( P + 2 Q) a
− 2 Q( Ia)
20;0,05
20;0,05
20;0,03
20;0,03
To ostanie równanie razem z 4 tworzy układ równań z niewiadomymi Q i P.
Rozwiązując je otrzymujemy: P
Wstawiamy do któregoś równania i otrzymujemy około 78000
Zadanie 7
R R (n-1)k nk (n-1)k k 0 1 2 n-1 n n+1 n+2 2n-1 2n 2k
RK - suma kapitału
i
OD - suma odsetek
i
KAP - kapitał spłacony w m-tym roku dla kredytu w wysokości R i płatności K przez n lat m
czyli:
n−( m− )
1
KAP
K v
m =
⋅
RK
OD = K − KAP
2 = KAP 1
2
1
RK
OD = 2 K − RK
3 = KAP 2 + KAP 1
3
3
...
....
...
....
RK
+ =
−
+
....
OD
nK
RK
1 = KAP +
+ KAP
n
n
1
+
n 1
n 1
RK
+ =
−
−
+
....
OD
( n
)
1 K
RK
2 = KAP +
+ KAP
n
n
2
n 2
n+2
....
....
.....
....
RK
OD − = 2 K − RK
2 −1 = KAP + KAP
n
n
n−1
2 n 1
2 n 1
−
RK
OD
= K − RK
2
= KAP
n
n
2 n
2 n
RK
= KAP + .... + KAP
n+ k
k
n
OD
= n − ( k − )
1 K − RK
n+ k
[
]
n+ k
Z tego mamy:
OD
( n
k
v
v
v
n k
− + )
1 1
( − ) − 1
(
n− k 1
+
−
)
+
=
RK
v 1
(
n− k 1
+
v
n k
−
)
+
Zadanie 8
Przy ustalonej liczbie kredytów podział optymalny oznacza, Ŝe dzielimy całkowity kredyt na równe części - wtedy minimalny koszt.
Sprawdzamy dla n=1,2,....10
Koszt wynosi:
14 000 dla n=2
12200 dla n=3
13800 dla n=4
14000 dla n=5
14400 dla n=6
15300 dla n=7
15600 dla n=9
Odpowiedź: n=3
Na podstawie teorii:
1
(
t 1
t
é
t
t +
+
+ ù
i
1
)
1
(
+ i
t
) 1(+ i ) = + i
t
t +
→ it = ê
+
ú − → i =
i
=
1
(1 1) 1
)
1
(
(1 1)
1
)
1
(
%
7 ,
)
1
(
%
8
ê 1
1
2
ë
+ i
ú
1
û
Zadanie 10
t
1
(
A t) = 100000 exp(
ds)
ò
= 100000( t + )
1
0 s + 1
t
2 s
B( t) = 100000 exp(
ds)
ò
= 100000( 2
t + )
1
0
2
s + 1
C( t) = 100000 t 1
( − t)
Czyli maksimum osiągane dla t=0,5 bo to parabola z wierzchołkiem w t=0,5.