Przykład 1
Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie
Oxy
Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
R o z w i ą z a n i e.
Wektor główny układu sił jest równy
Moment główny układu wynosi
Przykład 1
Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie
Oxy
Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
R o z w i ą z a n i e.
Wektor główny układu sił jest równy
Moment główny układu wynosi
Przykład 2
Nieważka belka AB
= 4l została obciążona trzema siłami równoległymiP
1
,
P
2
, P
3
prostopadłymi
do belki. Znaleźć reakcje stałej podpory przegubowej w punkcie A i podpory przegubowej
przesuwnej w punkcieB. Dane liczbowe: P
1
= 100 N, P
2
= 300 N, P
3
= 400 N, l = 1 m.
R o z w i ą z a n i e.
Reakcje w podporach A
i B
maja kierunek pionowy. Na belkę działa układ pięciu sił
równoległych P
1
,
P
2
, P
3
, R
A
i R
B
. Dwie niewiadome reakcje R
A
i R
B
wyznacz
a się z dwóch równań
równowagi
Stąd
Przykład 3
Nieważka belka AB
= 3l jest zamocowana w punkcie A na stałej podporze przegubowej, a w
punkcie B na podporze przegubowej przesuwnej. Obciążenie belki stanowią siły P
1
= 300
N i P
2
= 400 N, a kąt
= 30º. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B.
R o z w i ą z a n i e.
Kierunek reakcji R
A
w stałej podporze przegubowej A nie jest znany, wiadomo tylko, że linia
działania tej siły przechodzi przez środek przegubu A. Reakcję tę rozkłada się na dwie
składowe wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych
Axy
. Składowe reakcji R
A
zostały
oznaczone przez R
Ax
i R
Ay
. Zatem, belka jest obciążona dwoma siłami zewnętrznymi P
1
i
P
2
oraz
trzema reakcja
mi więzów R
Ax
, R
Ay
i R
B
. Wartości tych reakcji wyznacza się z trzech równań
równowagi
Z rozwiązania powyższego układu trzech równań z trzema niewiadomymi otrzymamy
Reakcja R
B
jest ujemna, stąd jej kierunek jest przeciwny niż założono na rysunku.
Wartość reakcji
R
A
oblicza się ze wzoru
Przykład 4
Nieważka rama płaska została zamocowana na stałej podporze przegubowej w
punkcie A i podporze przegubowej przesuwnej w punkcieB. Obciążenie zewnętrzne
ramy stanowią siły
P
i siła 2
P
. Obliczyć reakcje podpór
R
A
i R
B
, jeżeli
P = 1000 N, l
= 0,5 m
.
R o z w i ą z a n i e.
Rama jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi
i reakcjami
R
A
i R
B
. Ponieważ
kierunek reakcji
R
A
jest nie znany, dlatego r
ozkłada się ją na dwie składowe
R
Ax
, R
Ay
.
Niewiadome reakcje wyznacza się z trzech równań równowagi ramy
Stąd
Przykład 5
Obliczyć reakcje podpór A i B w belce pokazanej na rysunku. Obciążenie zewnętrzne
sta
nowią dwie siły
P
1
= 200 N, P
2
= 100 N
i moment
M = 200 N · m
. Pozostałe dane
liczbowe wynoszą:
l = 1 m,
= 45º,
= 30º.
R o z w i ą z a n i e.
Belka jest obciążona dwiema siłami zewnętrznymi
P
1
,
P
2
, momentem Moraz
reakcjami R
A
i R
B
. Ponieważ kierunek reakcji
R
A
jest nie znany, dlatego rozkłada się ją
na dwie składowe
R
Ax
, R
Ay
. Niewiadome reakcje wyznacza się z trzech równań
równowagi
Stąd
Reakcje
R
Ax
, R
Ay
są ujemne, stąd ich kierunek jest przeciwny do założonego. Wartość
reakcji
R
A
wynosi
Przykład 6
Jednorodna pozioma belka AB o ciężarze równym G jest oparta końcemA na stałej
podporze przegubowej oraz końcem B na gładkiej równi pochyłej. W
punktach D i E do belki przyłożone są siły
P
1
,
P
2
. Obliczyć reakcje w punktach
podparcia A i B. Dane liczbowe:
P
1
= 100 N, P
2
= 800 N, G = 200 N,
= 45º,
= 60º, l = 4 m
.
R o z w i ą z a n i e.
Oddziaływanie równi na koniec belki B, czyli reakcja
R
B
więzów będzie prostopadła do
płaszczyzny tej równi. Wynika to z faktu, że siła tarcia między płaszczyznami równi i
belki równa się zeru. Kierunek reakcji
R
A
w przegubie A nie jest znany, wiadomo tylko,
że linia działania tej siły przechodzi przez środek przegubu, tj. przez punkt A.
Reakcję tę rozkładamy na dwie składowe
R
Ax
, R
Ay
wzdłuż osi prostokątnego układu
współrzędnych Axy. Tak więc belka jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi i
trzema reakcjami. Wyznaczamy wartości tych reakcji z trzech równań równowagi
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy
Stąd
Przykład 7
Po belce podsuwnicowej AB porusza się suwnica, której wózek, składający się z
dwóch kół tocznych, oddziałuje na belkę siłami
P
1
,
P
2
.
W jakiej odległości x od
punktu A powinien wózek się zatrzymać, aby reakcja w punkcie B była dwukrotnie
mniejsza od reakcji w punkcie A ? Dane liczbowe:
P
1
= 4000 N i P
2
= 2000 N, b = 1 m, l
= 10 m
.
R o z w i ą z a n i e.
Ponieważ siły
P
1
,
P
2
, działające na belkę, są pionowe oraz reakcja
R
B
ma kierunek
pionowe, również reakcja R
A
ma kierunek pionowy. Piszemy dwa równania równowagi
Po rozwiązaniu tego układu równań, przy założeniu, że R
B
= 0,5R
A
, otrzymujemy
Przykład 8
Wyznaczyć reakcje podpory przegubowej stałej A i dwóch podpór przegubowych
przesuwnych B i D oraz wzajemne oddziaływanie w przegubie C obydwu części belki ABCD.
Dane liczbowe: P
1
= 1000 N,
P
2
= 2000 N,
= 30º, l = 1 m.
R o z w i ą z a n i e.
W celu wyznaczenia reakcji
R
A
, R
B
, R
C
i R
D
rozważymy równowagę obu części belki.
Równania równowagi lewej części belki mają postać
Równania równowagi prawej części belki
Otrzymaliśmy układ sześciu równań równowagi z sześcioma niewiadomymi. Po rozwiązaniu
tego układu otrzymujemy
Reakcje R
A
i R
C
wynoszą
Przykład 9
Dźwig o ciężarze własnym G = 5P, obciążony na wysięgniku siłą P, zainstalowano na
torze jezdnym AB. Obliczyć reakcje kół dźwigu, reakcje utwierdzenia całkowitego w
punkcie A i podpory przegubowej przesuwnej w punkcie B oraz reakcję w
przegubie E, jeżeli AE = 4a,
BE = 8a, CE = DE = a.
R o z w i ą z a n i e.
Reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A sprowadzają się do reakcji
R
A
o nie
znanym kierunku oraz momentu utwierdzenia M
A
. W podporze przegubowej
przesuwnej w punkcie B i podporach kół dźwigu w punkcie C i D występują reakcje o
kierunku pionowym, prostopadle do płaszczyzny poziomej (przesuwu). Reakcja
przegubu E sprowadza się do siły o nie znanym kierunku działania, przechodzącej
przez oś tego przegubu. Z dwóch równań równowagi dźwigu (rys. b) wyznaczamy
reakcje
R
C
i R
D
podpór jego kół
Stąd
Równania równowagi dwóch części belki AB, zgodnie z rys. d są następujące:
część belki BE
część belki AB
Po rozwiązaniu tego układu otrzymujemy