Przykład 1 
Dane są trzy siły: P

1

 = 3i + 4j, P

2

 = 2i + 5j, P

3

 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), 

przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt nachylenia 
linii działania względem osi Ox układu. 
 
Rozwiązanie 
Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P

x 

i P

y

 

 

 

 
Wektor i wartość wypadkowej wynoszą 
 

 

 
Kierunek wypadkowej określa kąt , który wyznaczamy z następującego wzoru 
 

 

 
Ponieważ składowe wypadkowej są następujące: P

x

 < 0, P

y

 > 0, to kąt = 135 . Linia działania 

wypadkowej przechodzi przez punkt A pod kątem = 135 do osi Ox. 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Przykład 2 
Wzdłuż dwóch boków i głównej przekątnej sześcianu działają siły P

1

, P

2

,P

3

. Wartości tych sił są 

równe: P

1 

= P

2

 = Q, P

3 

= 3Q. Wyznaczyć ich wypadkową. 

 

R o z w i ą z a n i e 
Cosinusy kierunkowe sił P

1

, P

2

, P

3

 wynoszą 

 

                  

 

Wyznaczamy składowe wypadkowej 
 

                  

 

Wartość wypadkowej wyznaczamy z następującego wzoru 
 

                  

 

a jej cosinusy kierunkowe i kąty wynoszą odpowiednio 
 

                  

 

Linia działania wypadkowej przebiega przez punkt przecięcia się linii działania sił P

1

, P

2

, P

3

 pod 

kątami   

i

do osi układu współrzędnychOxyz.  

 
 
 

 
Przykład 3 
Na punkt materialny o ciężarze G, leżący na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia 
siły S tak, jak przedstawiono na rysunku. Wyznaczyć siłę S oraz reakcję równi, jeżeli punkt znajduje się 
w spoczynku. 
 

 

R o z w i ą z a n i e 
     Metoda analityczna. Na punkt materialny działają cztery siły, które są w równowadze. Na podstawie 
warunków równowagi sił zbieżnych można napisać następujące równania równowagi 
 

                  

 

Z równania pierwszego otrzymamy 
 

                  

 

Po podstawieniu do drugiego równania 
 

                  

 

Stąd 
 

                  

 

 
      Metoda geometryczna. Na rysunku przedstawiono zamknięty wielobok sił utworzony z czterech sił 
działających na punkt materialny, z którego wyznaczono wartości siły S i reakcji R 
 

                  

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Przykład 4 
Nieważka belka AB o długości l opiera się jednym końcem A na stałej podporze przegubowej A. Drugi 
koniec B tej belki jest zamocowany na podporze przegubowej przesuwnej (rysunek). Wyznaczyć reakcje 
podpórA i B, jeżeli belka jest obciążona w punkcie C siłą P. 
 

 

R o z w i ą z a n i e 
      Metoda analityczna. Na rysunku b belka została uwolniona od więzów i przyłożone zostały 
reakcje R

Ax

, R

Ay 

i R

B

. Ponieważ belka jest obciążona trzema siłami R

A

, R

B 

i P, wobec tego ich linie 

działania muszą przecinać się w jednym punkcie D, zaś trójkąt sił musi być zamknięty (rys. c). 
W przyjętym układzie współrzędnych Axy równania równowagi będą następujące 
 

                  

 

Ponadto 

                  

 

gdzie 

                  

 

Z rozwiązania powyższego układu trzech równań otrzymamy 
 

                  

 

 
      Metoda geometryczna. Na rysunku c przedstawiono trójkąt sił R

A

, R

B

i P. Na podstawie twierdzenia 

równań sinusów otrzymamy 

                  

 

Stąd 

                  

 

 
 
 
 

 
Przykład 5 
Walec o promieniu r i ciężarze G spoczywa na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia 

 = 30º i 

jest utrzymywany w położeniu równowagi za pomocą liny OA, zgodnie z rysunkiem. Do środka walca 
zamocowano drugą linę, którą przerzucono przez nieważki krążek. Na końcu tej liny zawieszono 
ciężar P. Obliczyć wartość reakcji N w punkcie E zetknięcia się walca z równią oraz napięcie w linie OA, 
jeżeli lina OB jest pozioma, a lina OA tworzy z poziomem kąt    = 45º. 
 

 

 
R o z w i ą z a n i e 
      Metoda analityczna. Na walec działają siły P, G, S i N. Równania równowagi walca są następujące 
 

                  

 

Stąd 

                  

 

 
Metoda geometryczna. Na rysunku b przedstawiono zamknięty wielobok sił, utworzony ze wszystkich sił 
działających na walec. Korzystając z odpowiednich trójkątów otrzymamy 
 

                  

 

Z rozwiązania tych równań otrzymamy takie same wartości sił S i N, jak przy zastosowaniu metody 
analitycznej. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Przykład 6 
Ciało o ciężarze G jest zawieszone na wsporniku składającym się z trzech prętów połączonych 
przegubowo w sposób pokazany na rysunku. Pręty AO i BO, leżące w płaszczyźnie prostopadłej do 
pionowej ściany, tworzą z tą ścianą kąty 

= 45º. Pręt CO tworzy z pionową ścianą kąt  

= 60º i 

również leży w płaszczyźnie prostopadłej do tej ściany. Obliczyć siły w prętach, pomijając ich ciężary 
własne oraz tarcie w przegubach. 
 

 

 
R o z w i ą z a n i e 
      Metoda analityczna. Na przegub O działają siły wynikające z oddziaływania 
prętów OA, OB i OC: S

1

, S

2 

i S

3 

oraz ciężar G. Na podstawie warunków równowagi otrzymujemy 

następujące równania 
 

                  

 

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy 
 

                   

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Przykład 7 
Wyznaczyć siły w prętach konstrukcji pokazanej na rysunku. Nieważkie 
pręty AB, AC, BC, BE, CE i CD są połączone przegubowo w węzłach A, B,C, D i E. W węźle B działają 
dwie siły: 2P w kierunku pionowym i siła P w kierunku pręta BC. 
 

 

 
R o z w i ą z a n i e 
      Metoda analityczna. Na węzeł B działają reakcje S

1

, S

2 

i S

3

, wynikające z oddziaływania 

prętów AB, BE i BC oraz siły P i 2P. Równania równowagi tego węzła są następujące 
 

                  

 

Na węzeł C działają reakcje S

3

, S

4

, S

5

 i S

6 

oraz siła P. Równania równowagi rozpatrywanego węzła są 

równe 
 

                  

 

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy