Teoria Obwodów 2 - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
( )
( )
{ }
( )
L
F
st
0
s
f t
f t e
dt
∞
−
=
=
∫
( )
( )
{
}
( )
L
F
F
j
-1
st
j
1
f t
s
s
2 j
σ
σ
π
+ ∞
− ∞
=
=
∫
e ds
Właściwość Określenie
1.
( )
{
}
( )
( )
{
}
L
F
n
n
n
n
d
t f t
1
s
ds
= −
np.
( )
{
}
( )
{
}
L
F
d
t f t
s
ds
= −
Pochodna transformaty
2.
( )
{
}
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
L
L
F
F
2
f t
s
s
f 0
f t
s
s
sf 0
f 0
′
=
−
−
′′
′
=
−
− −
−
Transformata pochodnej (I-ej i II-ej)
3.
( )
( )
L
F
t
0
1
f
d
s
s
τ τ
−
⎧
⎫
⎪
⎪ =
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩
⎭
∫
Transformata całki oznaczonej
4.
( )
{
}
( )
L
F
1
C
f t dt
s
s
s
=
+
∫
Transformata całki nieoznaczonej
5.
( )
{
}
(
)
L
F
at
e f t
s a
=
−
Przesunięcie w dziedzinie zespolonej
6.
(
)
{
}
( )
L
F
0
t
0
s
f t t
s e
−
−
=
Przesunięcie w dziedzinie czasu
7.
( )
{
}
L
F
1
s
f at
a
a
⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Zmiana skali
8.
( )
{ }
( )
L
F
f t
t
s
d
λ λ
∞
=
∫
Całkowanie w dziedzinie zespolonej
9.
( ) ( )
{
}
( ) ( )
L
F
G
f t
g t
s
s
∗
=
⋅
Transformata splotu
10
( ) ( )
{
}
( ) ( )
L
F
G
1
f t g t
s
s
2 j
π
=
∗
Splot zespolony
( )
( )
( )
lim F
lim
t
0
s
s
s
f t
f
→ ∞
→ +
=
=
0
+
;
( )
( )
lim
F
lim
0
t
s
s
s
f
→
→ ∞
=
11.
t
Twierdzenia o wartości początkowej
i końcowej
12.
( )
{ }
( )
L
F
T
sT
s
f t
1 e
−
=
−
gdzie:
( )
( )
F
T
T
0
st
s
f t e
dt
−
=
∫
Transformata funkcji okresowej
A.S. Cz.S. P.R.®
TS’13
- 1 -
Teoria Obwodów 2 - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
( )
f t
( )
( )
{ }
=
L
F s
f t
( )
f t
( )
( )
{ }
=
L
F s
f t
1
( )
1 t
,
(
)
1
0
t t
−
1
s
,
0
st
1
e
s
−
11
( ) ( )
sin
1
0
at
e
t
ω
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
t
(
)
0
2
2
0
s a
ω
ω
−
+
2
( ) ( )
( )
( )
, ,
n
t
t
t
′
δ
δ
δ
n
1, s, s
12
( ) ( )
cos
1
0
at
e
t
ω
⎡
⎤
⎣
⎦ t
(
)
2
2
0
s a
s a
ω
−
−
+
3
(
)
0
t t
−
δ
0
st
e
−
13
( ) ( )
sin
1
0
at
te
t
t
ω
⎡
⎤
⎣
⎦
(
)
(
)
0
2
2
2
0
2 s a
s a
ω
ω
−
⎡
⎤
−
+
⎢
⎥
⎣
⎦
4
( )
( )
1
,
, 1
n
t t
t
t
…
!
,
,
2
n
1
n
1
s
s
+
…
14
( ) ( )
cos
1
0
at
te
t
t
ω
⎡
⎤
⎣
⎦
(
)
(
)
2
2
0
2
2
2
0
s a
s a
ω
ω
−
−
⎡
⎤
−
+
⎢
⎥
⎣
⎦
5
( ) (
)
1
1
0
t
t
t t
⎡
⎤
−
−
⎣
⎦
(
)
0
0
st
2
1
1
1 t s e
s
−
⎡
⎤
− +
⎣
⎦
15
( ) ( )
sh
1
t
t
β
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
2
2
s
β
β
−
6
( )
1
at
e
t
1
s a
−
16
( ) ( )
ch
1
t
t
β
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
2
2
s
s
β
−
7
( )
1
at
te
t
(
)
2
1
s a
−
17
( ) ( )
sh
1
at
e
t
β
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
t
(
)
2
2
s a
β
β
−
−
8
( )
1
n at
t e
t
⋅
(
)
!
n 1
n
s a
+
−
18
( ) ( )
ch
1
at
e
t
β
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
t
(
)
2
2
s a
s a
β
−
−
−
9
( ) ( )
sin
1
0
t
t
ω
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
0
2
2
0
s
ω
ω
+
19
( ) ( )
sh
1
at
te
t
t
β
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
(
)
(
)
2
2
2
2 s a
s a
β
β
−
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
10
( ) ( )
cos
1
0
t
t
ω
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
2
2
0
s
s
ω
+
20
( ) ( )
ch
1
at
te
t
t
β
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
(
)
(
)
2
2
2
2
2
s a
s a
β
β
−
+
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
A.S. Cz.S. P.R.®
TS’13
- 2 -
Teoria Obwodów 2 - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
Zadanie 1.
Wyznaczyć transformatę Laplace'a następujących funkcji f(t)
a)
(
)
2 t 4
δ
−
b)
( )
1
-2t
2e
t - 3
c)
( )
1
t t - 1
d)
( )
1
-2t
te
t - 3
e)
( ) ( )
1
2
t - 2
t - 4
f)
( )
1
n
t
t
g)
( )
1
n -2t
t e
t
h)
( )
1
2 3t
t e
t - 1
A.S. Cz.S. P.R.®
TS’13
- 3 -
i)
( ) (
)
sin
1
0
t
t 2
ω
⎡
⎤
−
⎣
⎦
j)
( ) (
)
sin
1
0
t
t
t
ω
⎡
⎤
⋅
−
⎣
⎦
3
k)
( ) ( )
sin
1
4t
e
3t
t -
⎡
⎤
⎣
⎦
1
l)
( )
sin
1
3t
e
2t
−
⋅ t
Zadanie 2.
Dla zadanej transformaty obliczyć przebieg czasowy f(t) :
a)
( )
F
2
1
s
s
=
b)
( )
(
)
F
2
1
s
s a
=
−
c)
( )
(
)
F
n
1
s
s a
=
+
d)
( )
(
)
F
0
0
2
2
s
s a
ω
ω
=
+
+
e)
( )
(
)
F
2
2
k
s
s a
k
=
+
−
f)
( )
[
]
F
0
0
2
2
s
s
1
s
e
π
ω
ω
−
=
−
+
g)
( )
F
bs
n
1
s
e
s
−
=
h)
( )
F
bs
1
s
1 e
s
−
⎡
⎤
=
−
⎣
⎦
i)
( )
[
]
F
0
0
2
2
s
s
1
s
e
π
ω
ω
−
=
+
+
j)
( )
(
)
F
0
2
2
s b
s
s a
ω
+
=
+
+
k)
( )
F
2s
1
s
1 e
−
=
+
l)
( )
[
]
F
0
0
0
2
2
s
1
s
e
π
ω
ω
ω
−
=
−
+
Zadanie 3.
Wyznaczyć funkcję oryginalną transformaty (wykorzystując rozkład na ułamki proste):
a)
( )
F
2
3
s
1
s
s
1
+
=
+
b)
( )
F
2
4
s
1
s
s
1
−
=
+
c)
( )
(
) (
)(
)
F
2
2
s
2s 2
s
s 1
s 2 s 3
+
+
=
+
+
+
d)
( )
(
)
F
2
2
s
s
s
1
=
+
e)
( )
(
)
F
2
3
2
s
s e
s
s 2
−
=
+
f)
( )
(
)(
)
F
2
2
2s
s
s 1 s 2
=
−
+
g)
( )
(
)
F
2
3
2
s
s s
s
e
s 1
−
−
=
+
h)
( )
(
)
F
3
s
s
s 1
=
+
i)
( )
(
)
F
2
3s 2
s
s 2
5
+
=
+
−
j)
( ) ( )( )
F
2
2
s
1 s
s
e
s 2 s 3
−
+
=
−
+
k)
( ) ( )( )
F
3s
2
s e
s
s 1 s 2
−
=
−
+
l)
( )
(
)(
)
F
2
2
2s
1
s
s s 1 s 2
+
=
+
+
Teoria Obwodów 2 - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
Zadanie 4.
Stosując rachunek operatorowy rozwiązać następujące równania ( t > 0 ) :
a)
( )
2
y
k y
f t
′′ −
=
( )
( )
y 0
0 y 0
0
+
+
′
=
=
,
b)
( )
2
y
2by
y
f t
ω
′′
′
−
+
=
( )
( )
y 0
0 y 0
0
+
+
′
=
=
,
c)
( )
(
)
( )
1
af t
f t T
bt t
−
−
=
T = const ;
e)
( )
(
)
( )
1
t
af t
f t T
be
t
−
−
−
=
d)
( )
(
)
( )
1
af t
f t T
b t
+
−
=
T = const, a, b =const;
f)
y
2 y t
′ +
=
( )
y 0
0
+
=
T = const, a, b =const
A.S. Cz.S. P.R.®
TS’13
- 4 -
g)
t
y
2 y
y e
−
′′
′
−
+ =
( )
( )
y 0
0 y 0
0
+
+
′
=
=
,
( )
( )
( )
( )
h)
t
0
t
y t
2 y
e
d
t
τ
τ
τ δ
+
− −
′′
−
=
∫
( )
( )
y 0
0 y 0
0
+
+
′
=
=
,
i)
sin
y
5 y
4 y
2t
′′
′
+
+
=
( )
( )
y 0
0 y 0
0
+
+
′
=
=
,
Zadanie 5.
Wykorzystując rachunek operatorowy wyznaczyć przebieg wskazanych wielkości.
a) Wyznaczyć i(t), u
C
(t).
Dane
:
( )
( )
1
t
2t
e t
e
e
t
−
−
⎡
⎤
=
−
⋅
⎣
⎦
, R = 1,
L = 2, C = 0.5, u
C
(0-) = 1, i(0-) = 0.5
b) Wyznaczyć prąd i
0
(t) wykorzystując twierdzenie
Thevenina.
Dane: u
C
(0-) = 1,i
L
(0-) = 2
e(t) = 2[1(t) - 1(t - 1)] , R = 1, L = 1, C = 0.5.
C
R
L
R
i(t)
e(t)
u
C
(t)
R
e(t)
C
L
R
i
0
(t)
c)
Ułożyć równania: prądów oczkowych
i
potencjałów węzłowych.
Uwzględnić warunki początkowe.
d) Wyznaczyć u
C
(t), i(t).
Zastosować metodę potencjałów węzłowych.
E = 6, R = 2, L = 1, C = 1;
e
1
(t)
C
1
C
5
i
źr4
(t)
L
6
R
3
L
2
R
R
R
R
C
L
E
i(t)
t = 0
u
C
(t)
e) wyznaczyć u
C
(t), i(t); E =1, R =1, L = 1, C = 1
f) wyznaczyć i(t) E =1, R =1, L
1
=L
2
= L=1,
L
R
C
t = 0
E
R
i(t)
R
u
C
(t)
t = 0
R
L
1
E
R
i(t)
L
2
UWAGA: Należy rozwiązać zadania z listy 1 metodą operatorową, dla porównania z metodą klasyczną.
Teoria Obwodów 2 - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
Zadanie 6.
Wyznaczyć odpowiedź y(t) (0 < t <
∝
) układu o transmitancji
operatorowej
( )
H
1
s
s b
=
+
przy wymuszeniu
( )
( )
at
x t
te
1 t
−
=
H(s)
x(t)
y(t)
Zadanie 7.
1
0
Wyznaczyć transmitancję operatorową układu .
( )
H s
2
0
Wykorzystując transmitancję operatorową
( )
H s
wyznaczyć odpowiedź
układów na zadane
wymuszenie
( )
2
u t
( )
( )
t
1
u t
e
1 t
α
−
=
a)
R
L
u
2
(t)
u
1
(t)
b)
R
C
u
2
(t)
u
1
(t)
c)
C
R
2
u
2
(t)
u
1
(t)
R
1
d)
R
1
C
R
2
u
2
(t)
u
1
(t)
e)
R
C
R
u
2
(t)
u
1
(t)
f)
R
L
R
u
2
(t)
u
1
(t)
A.S. Cz.S. P.R.®
TS’13
- 5 -