Maria  Kotełko 

Mechanika 

i Wytrzymało

ść

 

Materiałów 

 

———————————————————————————————————————— 

Zadanie nr 32 - Dostosowanie kierunku Automatyka i Robotyka 

do prowadzenia studiów niestacjonarnych 

 

2 

Mechanika i … 

 

 

 

 

 

Cz

ęść

 I - Mechanika 

Wykład  3. 

1.  Płaski  układ sił zbie

Ŝ

nych 

2.  Twierdzenie o trzech siłach 

3.  Moment siły wzgl

ę

dem punktu 

4.  Wypadkowa sił równoległych i anty-równoległych. Para sił. 

5.  Dowolny płaski układ sił  

6.  Redukcja dowolnego płaskiego układu sił 

7.  Warunki równowagi dowolnego płaskiego 

 układu sił 

 

3 

Mechanika i … 

 

 

Warunek równowagi płaskiego układu sił 

zbie

Ŝ

nych

P

P

P

P

n

i

i

n

1

2

1

0

+ + + =

=

=

∑

...

Warunkiem  równowagi  płaskiego  układu sił  zbie

Ŝ

nych  jest,    aby  ich 

wypadkowa była równa zeru.

Ab y siły zbie

Ŝ

ne P

1

, P

2

,   ...  działaj

ą

ce w jednej płaszczy

Ŝ

nie, był y

w równowadze, wielobok z nich zbudowany (wielobok sił) musi by

ć

wielobokiem zamkni

ę

tym

.

 

 

4 

Mechanika i … 

 

 

Płaski  układ sił zbie

Ŝ

nych

Płaskim

układem

sił

zbie

Ŝ

nych

nazywamy układ sił na płaszczy

ź

nie, 

których linie działania przecinaj

ą

si

ę

w jednym punkcie.

P

1

Dowolny płaski układ sił zbie

Ŝ

nych przyło

Ŝ

onych w punkcie

O  mo

Ŝ

emy zast

ą

pi

ć

sił

ą

wypadkow

ą

R  równ

ą

sumie

geometrycznej ( wektorowej ) tych sił i przyło

Ŝ

on

ą

równie

Ŝ

w punkcie O.
Wypadkowa R „zamyka” wielobok sił.

P

2

P

n

R

O

R

P

P

P

P

n

i

i

n

= + + + =

=

∑

1

2

1

...

 

 

5 

Mechanika i … 

 

 

Twierdzenie o trzech siłach

Ab y trzy siły nierównoległe

działaj

ą

ce

na

ciało

sztywne

był y w  

równowadze,  linie działania tych sił musz

ą

przecina

ć

si

ę

w  jednym

punkcie, a same siły musz

ą

tworzy

ć

trójk

ą

t zamkni

ę

ty.

P

R

1

R

2

 

 

6 

Mechanika i … 

 

 

Zasady rzutowania w przestrzeni

 
 
 
 
 

P

i 

P

ix 

P

iz 

P

iy 

z

 

x

 

y

 

α

αα

α

i 

ββββ

i 

γγγγ

i 

i

i

ix

P

P

α

cos

⋅

=

,      

i

i

iy

P

P

β

cos

⋅

=

,       

i

i

iz

P

P

γ

cos

⋅

=

 

 

7 

Mechanika i … 

 

 

Równania równowagi płaskiego układu sił zbie

Ŝ

nych 

wyra

Ŝ

one w ich składowych: 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aby siły zbie

Ŝ

ne le

Ŝą

ce w jednej płaszczy

Ŝ

nie były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie 

układu współrz

ę

dnych musz

ą

 by

ć

 równe zeru. 

0

0

1

1

=

=

∑

∑

=

=

n

i

iy

n

i

ix

P

P

 

8 

Mechanika i … 

 

 

Moment siły wzgl

ę

dem punktu 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Moment siły P wzgl

ę

dem punktu O jest iloczynem wektorowym promienia wektora r oraz siły 

P.  

 
 
 
 
 

 .

 

O

 

P

 

M= 



P



r sin

α

 

 h=r

⋅

 sin

α

 

α

 

 M=

r 

××××

 

P

r

 

A

 

B

 

z

y

x

z

y

x

P

P

P

r

r

r

k

j

i

P

r

M

r

r

r

r

r

r

=

×

=

 

9 

Mechanika i … 

 

 

Wypadkowa sił równoległych

P

1

P

2

R

r

1

r

2

2

2

1

1

2

1

r

P

r

P

P

P

R

=

+

=

P

1

P

2

r

1

r

2

2

2

1

1

r

P

r

P

=

Praw o d

ź

wigni:

 

 

10 

Mechanika i … 

 

 

Wypadkowa sił anty-równoległych

P

1

P

2

R

r

1

r

2

2

2

1

1

2

1

r

P

r

P

P

P

R

=

−

=

 

 

11 

Mechanika i … 

 

 

Para sił – szczególny przypadek sił anty-

równoległych

1

1

2

2

1

;

;

0

a

r

r

r

P

r

P

P

P

R

+

=

=

=

−

=

P

P

R=0

r

1

r

2

a

→∝

1

r

Wypadkowa pary sił nie istnieje!

Moment pary sił M=Pa

Moment pary  sił nie zale

Ŝ

y  od punktu, wzgl

ę

dem którego 

obliczamy momenty obu sił.

 

 

12 

Mechanika i … 

 

 

Dowolny płaski układ sił

 
 
 
 
 

x 

y 

P

1 

P

2 

P

3 

P

i 

P

n 

O 

∑

=

i

i

P

R

r

r

 

 

13 

Mechanika i … 

 

 

Redukcja  siły P

i

do dowolnego punktu O

 
 
 
 
 

h

i 

O

 

P

i 

P

ix

= P

i  

cos

α

i 

P

iy

=P

i 

sin

α

i 

α

i 

 
 
 
 
 

h

i 

O

 

P

i 

P

i 

P

ix

= P

i 

cos

α

i 

P

iy

=P

i 

sin

α

i 

α

i 

i

i

P

h

M

×

=

 

-P

i 

Prze suwaj

ą

c równolegle wektor P

i

do  punktu O  przykładamy do  tego punktu

zerowy u kład sił (

±

Pi),  wówcza s siły oznaczone liniami przerywanymi tworz

ą

moment  pary sił

M

i

=P

i

⋅

h

i

wzgl

ę

dem punktu O.  Działanie  to  mo

Ŝ

emy  powtórzy

ć

dla ka

Ŝ

dej siły Pi działaj

ą

cej na ciało sztywne

.

 

 

14 

Mechanika i … 

 

 

Redukcja układu sił do wektora głównego  

i  momentu głównego  

 

 

 

 

 

 

 

 

                  

                                                                                                                   

 

∑

=

=

n

i

iA

M

M

1

v

r

 
 
 
 
 

h

R 

O

 

R

 

R

 

R

x

= Rcos

α

 

R

y

=Rsin

α

 

α

 

 

R

h

M

R

×

=

 

 

R

 

  A

 

 
 
 
 
 

h

R 

O

 

R

 

R

h

M

R

×

=

 

 A

 

 

15 

Mechanika i … 

 

 

Warunki równowagi dowolnego płaskiego układu 

sił

 
 
 
 
 

x 

y 

P

1 

P

2 

P

3 

P

i 

P

n 

O 

0

=

=

∑

i

i

P

R

r

r

0

1

=

=

∑

=

n

i

iA

M

M

v

r

∑

=

=

n

i

ix

P

1

0

∑

=

=

n

i

iy

P

1

0

0

1

=

∑

=

n

i

iA

M

Warun ki równowagi w postaci  skalarnej:

Aby dowolny płaski układ sił 
znajdował si

ę

 w równowadze 

zarówno wektor główny R jak i 
moment główny M musz

ą

 by

ć

 

równe zeru.