Maria Kotełko
Mechanika
i Wytrzymało
ść
Materiałów
————————————————————————————————————————
Zadanie nr 32 - Dostosowanie kierunku Automatyka i Robotyka
do prowadzenia studiów niestacjonarnych
Maria Kotełko
Mechanika
i Wytrzymało
ść
Materiałów
————————————————————————————————————————
Zadanie nr 32 - Dostosowanie kierunku Automatyka i Robotyka
do prowadzenia studiów niestacjonarnych
2
Mechanika i …
Cz
ęść
I - Mechanika
Wykład 4.
1. Tarcie i prawa tarcia
2. Sto
Ŝ
ek tarcia
3. Tarcie ci
ę
gien – wzór Eulera
4. Tarcie przy toczeniu si
ę
ciał
3
Mechanika i …
Zjawisko
tarcia
JeŜeli będziemy powoli zwiększać siłę S, dojdziemy do stanu,
w którym równowaga nie będzie juŜ moŜliwa. Zatem widzimy,
Ŝe wielkość siły tarcia jest ograniczona i nie moŜe przekroczyć
pewnej maksymalnej wartości.
S
Q
S = T
N = Q
T=
µµµµ
N
µµµµ
Potencjalny
kierunek ruchu
4
Mechanika i …
Prawa tarcia (Coulomb i Moren)
1. Siła tarcia jest niezale
Ŝ
na od wielko
ś
ci stykaj
ą
cych si
ę
ze sob
ą
powierzchni i zale
Ŝ
y jedynie od ich rodzaju.
2. Wielko
ść
siły tarcia dla ciała znajduj
ą
cego si
ę
w spoczynku mo
Ŝ
e zmienia
ć
si
ę
od zera do warto
ś
ci
maksymalnej proporcjonalnej do nacisku normalnego N.
µ
- współczynnik tarcia statycznego ( spoczynkowego).
Gdy siła tarcia osi
ą
ga warto
ść
maksymaln
ą
, tzn. tarcie jest całkowicie rozwini
ę
te, mamy:
3. W przypadku, gdy ciało
ś
lizga si
ę
po powierzchni, siła tarcia skierowana jest zawsze przeciwnie do kierunku
ruchu. Wielko
ść
jej za
ś
nie zale
Ŝ
y ( w przybli
Ŝ
eniu) od pr
ę
dko
ś
ci po
ś
lizgu.
µ
’- współczynnik tarcia kinetycznego
T
k
<T - w tym przypadku siła tarcia jest mniejsza od warto
ś
ci maksymalnej, jak
ą
mo
Ŝ
e ona osi
ą
gn
ąć
, gdy ciało
jest w spoczynku. T
N
T
⋅
≤
µ
N
T
⋅
=
µ
N
T
⋅′
=
µ
S
5
Mechanika i …
Układ równa
ń
równowagi w zagadnieniach tarcia
W przypadku ciała, którego wymiary s
ą
pomijalnie małe i sprowadza si
ę
je do punktu materialnego siły działaj
ą
ce
na ciało mo
Ŝ
na w przybli
Ŝ
eniu potraktowa
ć
jako układ sił zbie
Ŝ
nych.
Q
N
P
n
i
iy
=
→
=
∑
=
1
0
N
T
⋅
=
µ
S
T
P
n
i
ix
=
→
=
∑
=
1
0
Q
S = T
N = Q
T=
µµµµ
N
µµµµ
6
Mechanika i …
Równia pochyła
Je
Ŝ
eli k
ą
t
α
jest zmienny i równia jest nachylona pod takim k
ą
tem
α
, przy którym ciało zaczyna si
ę
zsuwa
ć
,
wówczas k
ą
t ten nazywamy granicznym, a tangens
α
jest równy współczynnikowi tarcia
µ
. Schemat ten wyja
ś
nia
sens fizyczny współczynnika tarcia oraz poj
ę
cia k
ą
ta tarcia.
α
sin
0
1
⋅
=
→
=
∑
=
Q
T
P
n
i
ix
Q
Q sin
αααα
R = Q
T=
µµµµ
N
µµµµ
Q cos
αααα
N
αααα
αααα
x
y
α
cos
0
1
⋅
=
→
=
∑
=
Q
N
P
n
i
iy
α
µ
tg
=
α
µ
α
µ
cos
sin
⋅
⋅
=
⋅
→
⋅
=
Q
Q
N
T
7
Mechanika i …
Kąt tarcia i stoŜek tarcia
Q
S = T
N
T
Maks ymalny k
ą
t mi
ę
dz y reakcj
ą
R a ki erunkiem
normalnej do powierzchni st yku naz ywamy
k
ą
tem
tarcia.
φ
µ
=
arctg
Miejsce geometryczne mo
Ŝ
liw ych kierunków reakcji R, a w i
ę
c i wypadkow ej W
nazyw amy
sto
Ŝ
kiem tarcia
. Aby cia
ł
o sztyw ne pozostaw a
ł
o w rów now adze
reakcja R musi le
Ŝęć
w ewn
ą
trz lub na pow ierzchni sto
Ŝ
ka tarcia.
R
W
2φ
8
Mechanika i …
Tarcie ci
ę
gien
Rozpatrzmy przypadek tarcia ci
ę
gna (np. liny) o b
ę
ben (koło). Ci
ę
gno znajduje si
ę
w płaszczy
ź
nie prostopadłej do
osi b
ę
bna. Poniewa
Ŝ
mi
ę
dzy powierzchni
ą
b
ę
bna a powierzchni
ą
ci
ę
gna wyst
ę
puje tarcie, to S
1
jest ró
Ŝ
ne od S
2
.
Zakładamy S
2
> S
1
oraz
Ŝ
e siła S osi
ą
gn
ę
ła maksimum, przy którym mo
Ŝ
liwa jest jeszcze równowaga.
αααα
ϕϕϕϕ
d
ϕϕϕϕ
r
ds = rd
ϕϕϕϕ
S
2
S
1
T
9
Mechanika i …
Tarcie ci
ę
gien – wzór Eulera dla ci
ę
gien
Równania równowagi wzgl
ę
dem osi t i n:
Po uwzgl
ę
dnieniu,
Ŝ
e dla elementarnych k
ą
tów
d
ϕ
→
0
⇒
cos (d
ϕ
/2)
≅
1 i sin(d
ϕ
/2)
→
0
otrzymujemy zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy elementarn
ą
sił
ą
tarcia dT oraz przyrostem siły dS:
S
2
>>>>
S
1
S
2
S
S
1
S+dS
dN
dT
dT=
µ
dN
d
ϕ
d
ϕ
/2
d
ϕ
/2
d
ϕ
/2
α
d
ϕ
ϕ
ϕ
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
0
2
/
sin
2
/
sin
0
2
/
cos
2
/
cos
=
+
−
⋅
−
=
+
+
−
⋅
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
d
dS
S
d
S
dN
dT
d
dS
S
d
S
ϕ
µ
Sd
dN
dN
dT
dS
dT
=
⋅
=
=
10
Mechanika i …
ϕ
µ
Sd
dN
dN
dT
dS
dT
=
⋅
=
=
µϕ
e
C
S
⋅
=
1
ln
C
S
+
⋅
=
ϕ
µ
ϕ
µ
d
S
dS
⋅
=
∫
∫
S
2
>>>>
S
1
S
2
S
S
1
S+dS
dN
dT
dT=
µ
dN
d
ϕ
d
ϕ
/2
d
ϕ
/2
d
ϕ
/2
α
d
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
µ
ϕ
µ
µ
d
S
dS
Sd
dN
dT
dS
⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
11
Mechanika i …
Stał
ą
całkowania C wyznaczamy z warunku: dla
ϕ
= 0 siła S = S1 sk
ą
d C = S1 oraz dla
ϕ
=
α
S = S2 otrzymujemy warto
ść
siły S2 dla k
ą
ta opasania walca
α
oraz współczynnika tarcia
µ
:
Wzór Eulera dla ci
ę
gien
µα
e
S
S
⋅
=
1
2
S
2
>>>>
S
1
S
2
S
S
1
S+dS
dN
dT
dT=
µ
dN
d
ϕ
d
ϕ
/2
d
ϕ
/2
d
ϕ
/2
α
d
ϕ
ϕ
ϕ
µϕ
e
C
S
⋅
=
12
Mechanika i …
Opór przy toczeniu się ciał
f
-
współczynnik oporu przy toczeniu [mm]
A
Warunek równowagi momentów względem p. A:
P
G
T
N
Nf
=
Pr
P ozostałe warunki równowagi:
G
N
G
P
=
=
µ
r
f
G
P
G
P
≤
≤
µ
-
warunek, aby nie było poślizgu
- warunek, aby koło nie potoczyło się
µ
<
r
f
µ
>
r
f
-Koło zacznie się toczyć
(bez poślizgu)
-
Najpierw nastąpi poślizg
r