Maria Kotełko
Mechanika
i Wytrzymało
ść
Materiałów
————————————————————————————————————————
Zadanie nr 32 - Dostosowanie kierunku Automatyka i Robotyka
do prowadzenia studiów niestacjonarnych
Maria Kotełko
Mechanika
i Wytrzymało
ść
Materiałów
————————————————————————————————————————
Zadanie nr 32 - Dostosowanie kierunku Automatyka i Robotyka
do prowadzenia studiów niestacjonarnych
2
Mechanika i Wytrzymało
ść
Materiałów
Cz
ęść
II – Wytrzymało
ść
Materiałów
Wykład 5.
1. Zało
Ŝ
enia podstawowe przyj
ę
te do oblicze
ń
wałów skr
ę
canych
2. K
ą
t skr
ę
cenia wału
3. Napr
ęŜ
enia w wale skr
ę
canym
4. Moc transmitowana przez wał
3
Mechanika i Wytrzymało
ść
Materiałów
Przekazywanie nap
ę
du przez silniki spalinowe, elektryczne na urz
ą
dzenia i maszyny realizowane jest za pomoc
ą
ró
Ŝ
nych przekładni.
Podstawowymi elementami tych urz
ą
dze
ń
s
ą
wały nap
ę
dowe przekazuj
ą
ce momenty skr
ę
caj
ą
ce.
2P
S
l
P
S
2S
R
2P
2R
P
2S
d
Obliczanie napr
ęŜ
e
ń
oraz odkształce
ń
wałów o przekroju kołowym pełnym lub dr
ąŜ
onym poddanych skr
ę
caniu
przeprowadzamy w oparciu o zało
Ŝ
enia teorii skr
ę
cania swobodnego.
1. pod wpływem momentu skr
ę
caj
ą
cego przekroje poprzeczne pr
ę
ta doznaj
ą
wzajemnego obrotu w płaszczyznach
prostopadłych do osi pr
ę
ta
2. napr
ęŜ
enia styczne w płaszczyznach prostopadłych do osi wału s
ą
prostopadłe do promienia
3. tworz
ą
ce na powierzchni pr
ę
ta po odkształceniu maj
ą
kształt linii
ś
rubowej
4. przekroje ko
ń
cowe elementu pozostaj
ą
płaskie.
4
Mechanika i Wytrzymało
ść
Materiałów
Skr
ę
canie wału kołowego
Twor z
ą
ca K’L’obraca si
ę
o k
ą
t
γ
(tworzy si
ę
linia
ś
ru-
bowa
Okr
ę
gi pozostaj
ą
okr
ę
gami
Promie
ń
OL obraca si
ę
o k
ą
t d
ϕ
pozostaj
ą
c lini
ą
prost
ą
Przekroje ko
ń
cowe wału pozostaj
ą
płaskie (nie ma
deplanacji
przekroju)
Napr
ęŜ
enia normalne s
ą
równe zeru
W przekroju poprzeczny m wału działaj
ą
napr
ęŜ
enia
styczne (skr
ę
caj
ą
ce)
τ
Zało
Ŝ
enia podstawowe:
d s = r d
ϕ
d s =
γ
d x
r
dx
d
ϕϕϕϕ
γγγγ
M
s
ρρρρ
ττττ
ρρρρ
d F
d M
s
=
ττττ
ρρρρ
⋅⋅⋅⋅ρρρρ
d F
Κ
L
L’
dx
d
dx
LL
ϕ
ρ
γ
γ
ρ
ρ
=
⇒
=
1
ρ
ρ
γ
τ
⋅
=
G
)
1
(
2
ν
+
=
E
G
Warunek równowagi
∫
∑
=
⇒
τ
ρ
ρ
τ
F
s
x
dF
M
M
)
(
0
0
2
GJ
M
dx
d
dx
d
GJ
dF
dx
d
G
M
s
F
s
=
⇒
=
=
∫
ϕ
ϕ
ρ
ϕ
5
Mechanika i Wytrzymało
ść
Materiałów
Skr
ę
canie wału kołowego-k
ą
t skr
ę
cenia
ds = r d
ϕ
ds =
γ
dx
r
dx
d
ϕϕϕϕ
γγγγ
M
s
ρρρρ
ττττ
ρρρρ
dF
dM
s
=
ττττ
ρρρρ
⋅⋅⋅⋅ρρρρ
dF
0
0
2
GJ
M
dx
d
dx
d
GJ
dF
dx
d
G
M
s
F
s
=
⇒
=
=
∫
ϕ
ϕ
ρ
ϕ
∫
=
F
dF
J
2
0
ρ
Biegunowy moment bezw ładno
ś
ci przekroju
dx
GJ
M
L
s
∫
=
0
ϕ
Dla Ms /GJ
0
= const:
0
GJ
L
M
s
=
ϕ
6
Mechanika i Wytrzymało
ść
Materiałów
Skr
ę
canie wału kołowego-napr
ęŜ
enia tn
ą
ce
ds = r d
ϕ
ds =
γ
dx
r
dx
d
ϕϕϕϕ
γγγγ
M
s
ρρρρ
ττττ
ρρρρ
dF
dM
s
=
ττττ
ρρρρ
⋅⋅⋅⋅ρρρρ
dF
dx
d
G
G
ϕ
ρ
γ
τ
ρ
ρ
=
=
0
J
M
s
ρ
τ
ρ
=
ρ
0
J
M
s
ρ
τ
ρ
=
max
0
max
ρ
τ
⋅
=
J
M
s
0
max
W
M
s
=
τ
gdzie
max
0
0
ρ
J
W
=
7
Mechanika i Wytrzymało
ść
Materiałów
Warunek wytrzymało
ś
ciowy
s
s
k
W
M
≤
=
0
max
max
τ
s
t
s
n
R
k
=
8
Mechanika i Wytrzymało
ść
Materiałów
Biegunowy moment bezwładno
ś
ci wału
pełnego
dF
=2⋅πρ δρ
r
( )
2
2
4
3
2
0
r
d
dF
J
r
F
OR
⋅
=
=
=
∫
∫
π
ρ
πρ
ρ
32
4
0
d
J
π
=
16
3
0
d
W
π
=
9
Mechanika i Wytrzymało
ść
Materiałów
Biegunowy moment bezwładno
ś
ci wału
dr
ąŜ
onego
z
y
dF=2
⋅πρ
d
ρ
d
ρ
r
z
D
z
= 2r
z
r
w
(
)
2
2
4
4
3
2
w
z
r
r
F
OR
r
r
d
dF
J
z
w
−
⋅
=
=
=
∫
∫
π
ρ
πρ
ρ
32
)
(
4
4
0
w
z
d
d
J
−
=
π
z
w
z
d
d
d
W
16
)
(
4
4
0
−
=
π
Wska
ź
niki
wytrzymało
ś
ciowe
nie s
ą
addytywne!
10
Mechanika i Wytrzymało
ść
Materiałów
Moc przenoszona (transmitowana)
przez wał
z
y
M
s
=P
⋅
R
S
R
P
P
dL=PRd
φ
ϕ
ϕ
d
M
d
dL
s
=
=
Pr
dt
d
M
N
s
ϕ
=
ϖ
⋅
=
s
M
N
gdzie
ω
jest pr
ę
dko
ś
ci
ą
k
ą
tow
ą
wału (
ω
ω
ω
ω
= 2
ππππ
n) .
11
Mechanika i Wytrzymało
ść
Materiałów
Moc transmitowana przez wał
Zamiana jednostek
min]
/
[
]
[
9550
min]
/
[
]
[
3
,
9549
min]
/
[
2
60
1000
]
[
obr
n
kW
N
obr
n
kW
N
obr
n
W
Nm
M
s
≅
=
⋅
=
π
min]
/
[
]
[
620
71
min]
/
[
2
60
100
]
/
[
75
]
[
obr
n
KM
N
obr
n
cm
KM
s
kGm
kGcm
M
s
=
⋅
=
=
π
12
Mechanika i Wytrzymało
ść
Materiałów
Przykład obliczeniowy
l
P
M
s
=2P
⋅
R
R
P
φ
2d
R
φ
d
M
S
Obliczy
ć
ś
rednic
ę
d i k
ą
t skr
ę
cenia wału przedstawionego na rysunku:
Dane: P =5 kN, l = 40.0 mm R = l/4, ks = 80 MPa, G = 8· 10 4 MPa.