Maria  Kotełko 

Mechanika 

i Wytrzymało

ść

 

Materiałów 

 

———————————————————————————————————————— 

Zadanie nr 32 - Dostosowanie kierunku Automatyka i Robotyka 

do prowadzenia studiów niestacjonarnych 

 

2 

Mechanika i … 

 

 

Wykład 5.

1. Przestrzenny układ sił zbieŜnych

2. Dowolny przestrzenny układ sił 

3. Redukcja dowolnego przestrzennego 

układu sił

4. Moment siły względem osi 

5. Warunki równowagi dowolnego 

przestrzennego układu sił

 

 

3 

Mechanika i … 

 

 

Przestrzenny układ sił zbie

Ŝ

nych

 
 
 
 
 

P

i 

P

ix 

P

iz 

P

iy 

z

 

x

 

y

 

P

1 

R

 

P

3 

R

P

P

P

P

n

i

i

n

= + + + =

=

∑

1

2

1

...

.

Dowolny układ sił przy łoŜony ch do jednego punktu
zastąp ić moŜemy jedną siłą wypadkową, przy łoŜoną w 
tymŜe p unkcie i równą sumie geometrycznej
poszczególnych sił.
Wypadkową tę moŜna wyznaczyć wykorzystując

zasadę równoległościanu

,  analogiczną do zasady

równoległoboku. 

 

 

4 

Mechanika i … 

 

 

Zasady rzutowania w przestrzeni

 
 
 
 
 

P

i 

P

ix 

P

iz 

P

iy 

z

 

x

 

y

 

α

αα

α

i 

ββββ

i 

γγγγ

i 

i

i

ix

P

P

α

cos

⋅

=

,      

i

i

iy

P

P

β

cos

⋅

=

,       

i

i

iz

P

P

γ

cos

⋅

=

 

 

5 

Mechanika i … 

 

 

Warunek równowagi przestrzennego układu sił 

zbie

Ŝ

nych

P

P

P

P

n

i

i

n

1

2

1

0

+ + + =

=

=

∑

...

Wypadkowa przestrzennego zbieŜnego układu sił musi być równa zeru,  tj
musi tworzyć zamknięty wielobok sił w przestrzeni.

P

P

ix

i

n

iy

i

n

=

=

∑

∑

=

=

1

1

0

0

P

iz

i

n

=

∑

=

1

0

Warunki równowagi w postaci analitycznej:

 

 

6 

Mechanika i … 

 

 

Przykład

Ciało o cięŜarze G zawieszone jest na

wsporniku zbudowanym z trzech

prętów.

Znaleść siły w prętach. 
CięŜary własne ominąć.
Dane: G,

α,β

x

y

z

α

β

G

 

 

7 

Mechanika i … 

 

 

Moment siły wzgl

ę

dem osi

M omentem siły  P względem osi z nazywamy moment 

rzutu  P na p łaszczyznę względem punktu O.

M

P h

P h

F

z

OA B

= ′ ′

′ ′ =

′

2

'

O

P

P’

h’

z

 

 

8 

Mechanika i … 

 

 

Moment siły wzgl

ę

dem osi

O

P

P’

h’

z

α

α

M oment siły względem osi równa się rzutowi na tę oś
momentu danej siły względem dowolnego punktu leŜącego
na tejŜe osi. Stąd wynika zaleŜność:

M

z

Mo

M

M i

M j

M k

o

x

y

z

=

+

+

 

 

9 

Mechanika i … 

 

 

Redukcja wektora głównego  R do pocz

ą

tku układu współrz

ę

dnych 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 

R

i 

R

ix 

R

iz 

R

iy 

-R

i 

 M

i 

z

 

x

 

y

 

x

i 

y

i 

z

i 

R

i 

O

 

 

10 

Mechanika i … 

 

 

 

Dowolny przestrzenny układ sił - warunki 

równowagi

0

...

1

2

1

=

=

+

+

+

∑

=

n

i

i

n

P

P

P

P

 
 
 
 
 

M

iy 

P

i 

P

ix 

P

iz 

P

iy 

M

iz 

M

ix 

z

 

x

 

y

 

x

i 

y

i 

z

i 

P

1 

P

2 

 P

n 

∑

=

=

n

i

ix

P

1

0

∑

=

=

n

i

iy

P

1

0

∑

=

=

n

i

iz

P

1

0

(10.  6)

0

1

=

∑

=

n

i

ix

M

0

1

=

∑

=

n

i

iy

M

0

1

=

∑

=

n

i

iz

M

0

1

=

∑

=

n

i

io

M

 

 

11 

Mechanika i … 

 

 

Przykład

 
 
 
 
 
 
 
     
 
 
 
  

 

 
   

2l 

 P 

S 

 l 

2R 

 A 

   B 

R 

  l 

S 

R 

 P 

2R 

 

φ

 d 

 

 

12 

Mechanika i … 

 

 

Wykład 5.

1. Środek sił równoległych

2. Środek cięŜkości

3. Metody wyznaczania środków cięŜkości

4. Środki cięŜkości wybranych linii, figur 

płaskich i brył

5. Twierdzenia Pappusa-Guldina

 

 

13 

Mechanika i … 

 

 

Przestrzenny układ sił równoległych

Układ sił w  przestrzeni,  których linie
działania są równoległe nazywamy
układem

sił

równoległych. 

Przykładami takich układów sił mogą
być siły

masowe,  powierzchniowe, 

elektromagnetyczne. 

P

1

P

2

P

n

 

 

14 

Mechanika i … 

 

 

Ś

rodek sił równoległych

∑

∑

=

=

⋅

=

n

i

i

n

i

i

i

c

P

y

P

y

1

1

A

2

Punk C mający tę własność, 
Ŝe przechodzi przez niego stale 
wypadkowa układu sił równoległych 
niezaleŜnie od kierunku tych sił 
(przy ich niezmiennych wartościach i 
punktach przyłoŜenia) nazywamy 

środkiem sił równoległych

.

P

1

P

2

P

n

A

1

An

C

R

C

1

Współrzędne środka sił równoległych

:

∑

∑

=

=

⋅

=

n

i

i

n

i

i

i

c

P

x

P

x

1

1

∑

∑

=

=

⋅

=

n

i

i

n

i

i

i

c

P

z

P

z

1

1

0

1

=

∑

=

n

i

ix

M

0

1

=

∑

=

n

i

iy

M

0

1

=

∑

=

n

i

iz

M

 

 

15 

Mechanika i … 

 

 

Ś

rodek ci

ęŜ

ko

ś

ci

iy

∆

G

1

∆

G

2

∆

G

i

∆

G

n

iz

z

x

y

x

i

y

i

z

i

∆

G

3

G

CięŜar moŜemy przedstawić jako iloczyn cięŜaru właściwego

γγγγ

i

pomnoŜonego przez objętość -

∆

Gi=

∆∆∆∆

Vi

⋅γ

⋅γ

⋅γ

⋅γ

i (lub masę jako iloczyn

masy

właści wej

i 

obję tości) 

zatem

po

uproszczeniu

otrzymujemy:

V

x

V

x

n

i

i

i

i

c

∑

=

⋅

∆

=

1

γ

V

y

V

y

n

i

i

i

i

c

∑

=

⋅

∆

=

1

γ

V

z

V

z

n

i

i

i

i

c

∑

=

⋅

∆

=

1

γ

 

 

16 

Mechanika i … 

 

 

Współrz

ę

dne 

ś

rodka ci

ęŜ

ko

ś

ci

V

x

V

x

i

n

i

i

i

i

c

γ

γ

∑

=

⋅

∆

=

1

V

y

V

y

i

n

i

i

i

i

c

γ

γ

∑

=

⋅

∆

=

1

V

z

V

z

i

n

i

i

i

i

c

γ

γ

∑

=

⋅

∆

=

1

Przechodząc do granicy przy 

∆

Vi → 0 

oraz zakładając 

γ

i

= const. 

otrzymujemy

: 

V

xdV

x

V

c

∫

=

V

ydV

y

V

c

∫

=

V

zdV

z

V

c

∫

=

 

 

17 

Mechanika i … 

 

 

Współrz

ę

dne 

ś

rodka ci

ęŜ

ko

ś

ci

V

xdV

x

V

c

∫

=

V

ydV

y

V

c

∫

=

V

zdV

z

V

c

∫

=

Bryły:

Analogicznie, figury płaskiej:

F

xdF

x

F

c

∫

=

F

ydF

y

F

c

∫

=

Linii: 

l

xdl

x

l

c

∫

=

l

ydl

y

l

c

∫

=

l

zdl

z

l

c

∫

=

 

 

18 

Mechanika i … 

 

 

Metody wyznaczania 

ś

rodków ci

ęŜ

ko

ś

ci

•JeŜeli ciało materialne posiada płaszczyznę , oś lub środek symetrii, to środek 
cięŜkości leŜy 
odpowiednio w  tej płaszczyźnie, na tej osi lub pokrywa się ze środkiem symetrii.

• Ciało materialne moŜemy podzielić myślowo na części, dla których połoŜenia 
ś

rodków  cięŜkości  są znane , następnie zastosować następujące wzory:

- dla bryły

- dla figury płaskiej

- dla linii

V

x

V

x

n

i

i

i

c

∑

=

⋅

=

1

V

y

V

y

n

i

i

i

c

∑

=

⋅

=

1

V

z

V

z

n

i

i

i

c

∑

=

⋅

=

1

∑

∑

=

=

⋅

=

n

i

i

n

i

i

i

c

F

x

F

x

1

1

∑

∑

=

=

⋅

=

n

i

i

n

i

i

i

c

F

y

F

y

1

1

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

n

i

i

n

i

i

i

c

n

i

i

n

i

i

i

c

n

i

i

n

i

i

i

c

L

z

L

z

L

y

L

y

L

x

L

x

1

1

1

1

1

1

;

;

 

 

19 

Mechanika i … 

 

 

Twierdzenia Pappusa-Guldina

x

c

C

x

I.

Twierdzenie: Pole powierzchni obrotowej, powstałe wskutek

obrotu płaskiej linii wokół osi leŜącej w jej płaszczyźnie równe jest 

długości tej linii pomnoŜonej przez długość okręgu, który opisuje jej środek cięŜkości

y

A

B

AB

c

l

x

xdl

F

⋅

⋅

=

=

∫

π

π

2

2

 

 

20 

Mechanika i … 

 

 

Twierdzenia Pappusa-Guldina

C

x

c

II. 

Twierdzenie: Objętość bryły  obrotowej, 

powstałej  wskutek obrotu figury 
płaskiej  wokół osi leŜącej w jej 
płaszczyźnie 

i nie przecinającej tej figury, równa jest 
polu powierzchni  tej figury  pomnoŜonemu  

przez długość okręgu, który opisuje jej 
ś

rodek cięŜkości.

F

x

xdF

V

c

F

⋅

⋅

=

=

∫

π

π

2

2

F