Przykład 2: Oblicz odsetki składane od kapitału początkowego 1000 zł za
dwuletni czas oprocentowania przy stopie nominalnej 24% i kapitalizacji:
a) rocznej k=1, b) półrocznej k=2, c) kwartalnej k=4, d) miesięcznej k=12.
a)
6
,
1537
)
24
,
0
(1
1000
)
r
(1
P
r)
(1
P
F
2
n
1
n
=
+
⋅
=
+
⋅
=
+
⋅
=
b)
52
,
1573
)
(1
1000
)
(1
P
)
i
(1
P
F
2
2
2
24
,
0
2
n
2
r
m
2
2
=
+
⋅
=
+
⋅
=
+
⋅
=
⋅
⋅
c)
85
,
1593
)
(1
1000
)
(1
P
)
i
(1
P
F
4
2
4
24
,
0
4
n
4
r
m
4
4
=
+
⋅
=
+
⋅
=
+
⋅
=
⋅
⋅
d)
44
,
1608
)
(1
1000
)
(1
P
)
i
(1
P
F
12
2
12
24
,
0
12
n
12
r
m
12
12
=
+
⋅
=
+
⋅
=
+
⋅
=
⋅
⋅
Przykład 3: Oblicz największą i najmniejszą wartość odsetek wygenerowanych
w ciągu dwóch lat przez kapitał 1000 zł przy stopie nominalnej 24%.
07
,
1616
e
1000
e
P
F
2
0,24
n
r
c
=
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
,
I
max
=616,07
1480
)
2
24
,
0
1
(
1000
)
n
r
1
(
P
F
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
,
I
min
=480
Przykład 4: Oblicz i zinterpretuj stopę efektywną, jeśli
%
24
r
k
=
, a odsetki s
ą
kapitalizowane a) raz w roku, b) co pół roku, c) co kwartał, d) co miesi
ą
c, e) w
sposób ci
ą
gły.
(
)
k
k
k
k
k
k
k
0,24
1
k
r
1
i
1
ρ
+
=
+
=
+
=
,
0,24
r
c
e
e
ρ
c
=
=
,
1
ρ
r
k
ef
−
=
Kapitalizacja
k
k
ρ
ef
r
roczna
1
1,2400
24%
półroczna
2
1,2544
25,44%
kwartalna
4
1,2625
26,25%
miesi
ę
czna
12
1,2682
26,82%
ci
ą
gła
→∞
1,2712
27,12%
2
Przykład 5: Na trzyletniej lokacie odsetki składane s
ą
obliczane przy stopie
nominalnej równej 24% i kapitalizacji rocznej w roku pierwszym, półrocznej w
roku drugim, ci
ą
głej w roku trzecim. Oblicz warto
ść
kapitału na koniec
kolejnych lat oraz trzyletnie odsetki od 1000 zł.
Rok I:
1,24
ρ
1
=
,
1240
24
,
1
1000
ρ
P
F
1
1
=
⋅
=
⋅
=
Rok II:
1,2544
ρ
2
=
,
46
,
1555
2544
,
1
1240
ρ
F
F
2
1
2
=
⋅
=
⋅
=
Rok III:
2712
,
1
ρ
c
=
,
F
37
,
1977
2712
,
1
46
,
1555
ρ
F
F
c
2
3
=
=
⋅
=
⋅
=
I = F – P = 1977,3 7 – 1000 = 977,37
Przykład 6: Bez obliczeń spróbuj określić, które warunki oprocentowania
składanego: a) r=18%, k=1, b)
%
5
i
4
=
, k=4, c) r
c
=19% są/nie są równowaŜne?
a)
r
1
=18%, k=1,
b)
r
4
=4
⋅
5%=20%, k=4,
c)
r
c
=19%, k
→∞
a) i b)
4
k
1
k
b
a
=
<
=
,
%
20
r
18%
r
4
1
=
<
=
kapitał rośnie szybciej w b
⇒
nierównowaŜność
4
?
1
ρ
ρ
<
,
4
4
?
)
i
(1
r
1
+
<
+
,
22
,
1
1,05
1,18
4
=
<
,
%
22
r
%
18
r
b
ef,
a
ef,
=
<
=
a) i c)
∞
→
<
=
c
a
k
1
k
,
%
19
r
18%
r
c
1
=
<
=
kapitał rośnie szybciej w c
⇒
nierównowaŜność
c
?
1
ρ
ρ
<
,
c
r
?
e
r
1
<
+
,
21
,
1
e
1,18
0,19
=
<
,
21%
r
18%
r
c
ef,
a
ef,
=
<
=
3
b) i c)
∞
→
<
=
c
b
k
4
k
,
%
19
r
%
20
r
c
4
=
>
=
nie moŜna rozstrzygnąć bez warunku równowaŜności
c
?
4
ρ
ρ
=
,
c
r
?
4
4
e
)
i
(1
=
+
,
21
,
1
e
22
,
1
1,05
0,19
4
=
>
=
,
%
21
r
22%
r
c
ef,
b
ef,
=
>
=
Przykład 7: Na lokacie bankowej odsetki są obliczane według stopy
%
5
,
2
i
2
=
z
kapitalizacją półroczną. Saldo na lokacie wynosi 1000 zł. Oblicz przyszłą
wartość tego kapitału po upływie 2,25 roku, jeśli za czas krótszy od okresu
kapitalizacji oblicza się procent prosty.
P=1000 zł,
%
5
,
2
i
2
=
, k=2, m=n
⋅
k=2,25·2=4,5
∉
N
Czas oprocentowania m=4,5 dzielimy na dwa podokresy
4
m
1
=
i
5
,
0
m
2
=
.
Za czas
1
m obliczamy odsetki składane
1
1
m
k
m
)
i
(1
P
F
+
⋅
=
,
1103,81
)
025
,
0
(1
1000
F
4
4
=
+
⋅
=
Za czas
2
m obliczamy odsetki proste od kapitału
1
m
F
)
m
i
(1
F
F
2
k
m
1
⋅
+
⋅
=
,
1117,61
)
5
,
0
025
,
0
(1
81
,
1103
)
m
i
(1
F
F
2
2
4
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
Praca domowa
: zadania 3.1 – 3.2, 3.6 – 3.15, 3.25