Kolokwium II
rok 2009/2010
Zadanie 4:
Funkcję
4
)
(
x
e
x
x
f
rozwiń w szereg Maclaurina, a następnie oblicz:
a)
)
0
(
)
39
(
f
b)
z dokładnością do 0.1 całkę nieelementarną
1
0
4
x
e
x
dx
Roz
wiązanie:
1) R
ozwinięcie danej funkcji w szereg Maclaurina:
0
!
n
n
x
n
x
e
, x
R
0
4
!
4
n
n
x
n
x
e
0
4
!
1
n
n
n
n
x
0
1
4
!
1
4
n
n
n
x
n
x
e
x
a)
Ogólny wzór na szereg Taylora dla
0
0
x
0
!
0
n
n
n
n
x
f
1) Podstawienie
)
0
(
)
39
(
f
i porównanie do wcześniej uzyskanego rozwinięcia funkcji:
!
0
39
39
n
x
f
!
1
1
4
n
x
n
n
2)
Porównanie wykładników przy „x”:
39
4
1
n
n
N
5
,
9
Wynika z tego, że wzór rozwinięcia zadanej funkcji nie zawiera
39
x
, zatem
)
0
(
)
39
(
f
=
0
b)
Korzystając z rozwinięcia w szereg funkcji
4
)
(
x
e
x
x
f
:
4
x
e
x
=
!
3
!
2
!
1
13
9
5
0
1
4
x
x
x
x
n
x
n
n
n
1
0
4
x
e
x
dx
=
1
0
13
9
5
6
2
x
x
x
x
dx
=
1
0
14
10
6
2
84
20
6
2
x
x
x
x
=
84
1
20
1
6
1
2
1
6
1
2
1
=
3
1
Uzyskano taki wynik,
ponieważ liczono z dokładnością 0.1, także pod uwagę wzięto jedynie dwa
pierwsze wyrazy, gdyż
20
1
< 0.1
Odpowiedź:
)
0
(
)
39
(
f
=
0
,
1
0
4
x
e
x
z dokładnością do 0.1 =
3
1
.
Autor:
Dagmara Klos
grupa 2
21.01.2014