Kolokwium I 

 

 

 

 

 

 

 

 

rok 2009/2010

 

 

 

Zadanie 2: 

Oblicz masę łuku, będącego częścią okręgu x

2

+y

2

=4, leżącego w pierwszej ćwiartce układu 

współrzędnych, jeśli gęstość masy ρ(x,y,z)=x

2

y

2

. 

 

Rozwiązanie:  
 

L: x

2

+y

2

=4 

 
parametryzacja: 
x(t)=r cost 
y(t)=r sint,      gdzie 0 

≤t≤π/2 , ponieważ fragment łuku leży w pierwszej ćwiartce 

 
r okręgu wynosi 2, więc: 
x(t)= 2cost 

x’(t)= -2sint 

y(t)= 2sint 

y’(t)= 2cost     oraz  (x’(t))

2

+ (y’(t))

2

= 4sin

2

t+4cos

2

t=4 

 
masa łuku L wynosi:    ∫ ρ(x,y,z)dl 

                                       L 

 
A zatem 

podstawiając wszystkie dane otrzymujemy całkę: 

 
 

  

π/2                                                 π/2                                    

 

                         

π/2   

          

∫ 4cos

2

t*4sin

2

t *

√4 dt = 32 ∫cos

2

t*sin

2

t dt=                                      = 

32 ∫(1+cos2t)/2 * (1-cos2t)/2 dt= 

 

0 

 

 

        0 

 

                  

                                       0 

 

     

 

        

π/2   

           

π/2 

    

π/2 

 

          

π/2         

=

8 ∫(1-cos

2

2t) dt= 

8 ∫sin

2

2tdt=

8 ∫(1-cos4t)/2 dt= 4 ∫ (1-cos4t) dt= 4*[t-1/4sin4t] |  = 4*[ π/2-0-0+0]=2π 

      0 

                           0                     0 

 

          0 

 
 

 

Odpowiedź: 

Masa łuku wynosi 2π.

 

 
 

 

Autor: Magdalena Cichocka, grupa 2 

 

21.10.2013 

cos2t=cos

2

t-sin

2

t 

  cos

2

t+sin

2

t=1 

 cos

2

t= (cos2t+1)/2 

  sin

2

t= (1-cos2t)/2