Kolokwium I
rok 2009/2010
Zadanie 4:
Dla krzywej o równaniu: L : r(t) = [t + 3 sin t, 2 cos t, 3t − sin t] wyznaczyć równanie prostej
binormalnej i płaszczyzny normalnej w punkcie P(0, 2, 0).
Rozwiązanie:
Wyznaczam parameter t
0
odpowiadający punktowi P(0,2,0)
t + 3sint = 0
2cost = 2 → cost = 1 → t
0
= 0
3-sint = 0
r(t
0
) = [0,2,0]
r’(t) = [1 + 3cost, -2sint, 3 – cost] → r’(t
0
) = [4,0,2]
r’’(t) = [-3sint, -2cost, sint] → r’’(t
0
) = [0,-2,0]
T(t
0
) = r’ (t
0
) = [4,0,2]
Wyznaczam wektor binormalny i normalny:
B(t
0
) = = [4,0,-8]
N(t
0
) =
= [0,-40,0]
Prosta binormalna:
l
B
: [0,2,0] + s[4,0,-8]
x = 0 + 4s
x = 4s
y = 2 + 0s
→
y = 2
gdzie sϵR
z = 0 - 8s
z = -8s
Płaszczyzna normalna dana parametrycznie
∏: [0,2,0] + s[4,0,-8] + t[0,-40,0]
x = 0 + 4s
x = 4s
∏:
y = 2 – 40t
→
y = 2 – 40t gdzie s,t ϵR
z = 0 -8s
z = -8s
Odpowiedź:
Prosta binormalna l
B
: x = 4s, y = 2, z = -8s, s ϵR.
Płaszczyzna normalna ∏: x = 4s, y = 2 – 40t, z = -8s, s,t ϵR.
Autor: Kacper Cerek grupa 2
30.10.2013
i
j
k
4
0
2
0 -2
0
i
j
k
4
0
-8
4
0
2