MODELLING THE EQUITY
MODELLING THE EQUITY
BETA
BETA
RISK
RISK
OF AUSTRALIAN FINANCIAL SECTOR
OF AUSTRALIAN FINANCIAL SECTOR
COMPANIES
COMPANIES
FRIDA LIE, ROBERT BROOKS, ROBERT FAFF
Paweł Dadura, Tomasz Koc
Filtr Kalmana
Filtr Kalmana
na podstawie
na podstawie
Filtr Kalmana
|
Opisany w 1960 r. przez Rudolph’a E.
Kalman’a
|
Artyku
ł opisywał rekursywne
rozwi
ązanie dla problemu liniowego
filtrowania danych w postaci
dyskretnej
Filtr Kalmana
|
Filtr Kalmana jest zbiorem matematycznych
równa
ń, które dostarczają wydajnego
rekursywnego sposobu do wyestymowania
stanu procesu, w sposób który minimalizuje
b
łąd średniokwadratowy
|
Mo
żna go stosować do estymacji
przesz
łych, teraźniejszych i przyszłych
stanów
Równania Kalmana
|
Proces do estymacji
|
Równanie pomiaru
|
Rozk
ład błędów procesu i pomiaru
1
1
1
[
]
k
k
k
k
x
Ax
Bu
w
−
−
−
=
+
+
k
k
k
z
Hx
v
=
+
( ) ~
(0, )
( ) ~
(0, )
p w
N
Q
p v
N
R
Obja
śnienie
–
Zmienne losowe reprezentuj
ące szum
procesu i pomiaru
–
Macierze kowariancji b
łędów procesu i
pomiaru (const.)
–
Macierz wi
ążąca poprzedni stan procesu z
aktualnym (const.)
–
Opcjonalna macierz wi
ążąca „option
controll input” z aktualnym stanem (const.)
–
Macierz wi
ążąca stan procesu z jego
pomiarem (const.)
,
,
k
k
w v
Q R
A
B
H
Sposób obliczania
–
Estymacja a priori
–
Estymacja a posteriori
–
B
łędy a priori
–
B
łędy a posteriori
–
Macierz kowariancji b
łędów
a priori
–
Macierz kowariancji b
łędów
a posteriori
ˆ
ˆ
n
k
n
k
x
x
−
∈ℜ
∈ℜ
ˆ
ˆ
k
k
k
k
k
k
e
x
x
e
x
x
−
−
=
−
=
−
[
]
[
]
T
k
k
k
T
k
k
k
P
E e e
P
E e e
−
− −
=
=
Sposób obliczania
Rozpoczynamy od znalezienia równania,
które poda nam estymacj
ę a posteriori
stanu procesu jako liniow
ą kombinację
estymacji a priori stanu procesu oraz
wa
żonej różnicy pomiędzy pomiarem a
predykcj
ą pomiaru
ˆ
ˆ
ˆ
(
)
k
k
k
k
x
x
K z
Hx
−
−
=
+
−
k
z
ˆ
k
Hx
−
Sposób obliczania
1
(
)
T
T
T
k
k
k
k
T
k
P H
K
P H
HP H
R
HP H
R
−
−
−
−
−
=
+
=
+
Macierz K jest dobrana w taki sposób
aby by
ła tzw. czynnikiem „blending
factor”, który minimalizuje kowariancj
ę
b
łędów a posteriori
Forma K, która minimalizuje P
k
jest
podana poni
żej
Algorytm filtra
Równania Kalmana:
-
aktualizacji czasowej
-
aktualizacji pomiaru
Filtr Kalmana estymuje
proces u
żywając
pewnej formy
sprz
ężenia zwrotnego.
Filtr estymuje stan
pocesu w pewnej
chwili, po czym
otrzymuje feedback w
postaci zaburzonego
pomiaru.
Równania aktualizacji
czasowej
1
1
1
ˆ
ˆ
k
k
k
T
k
k
x
Ax
Bu
P
AP A
Q
−
−
−
−
−
=
+
=
+
Równania aktualizacji
pomiaru
1
(
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
)
(
)
T
T
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
K
P H
HP H
R
x
x
K z
Hx
P
I
K H P
−
−
−
−
−
−
=
+
=
+
−
= −
Algorytm filtra Kalmana
Rozszerzony Filtr Kalmana
Zale
żność między poprzednim stanem procesu a
nast
ępnym nie jest liniowa.
Algorytm polega na linearyzacji tej funkcji w punkcie.
1
( ,
, 0)
(
, 0)
k
k
k
k
x
f x u
z
h x
−
=
=
Zastosowania
|
In
żynieria
z
robotyka, promy kosmiczne, samoloty,
samochody
|
Komputery
z
Namierzanie, grafika czasu rzeczywistego,
computer vision
|
Ekonomia
z
Przewidywanie mierników ekonomicznych
|
Inne
z
Telefonia, elektryczno
ść
MODELLING THE
MODELLING THE
EQUITY
EQUITY
BETA
BETA
RISK OF
RISK OF
AUSTRALIAN
AUSTRALIAN
FINANCIAL SECTOR
FINANCIAL SECTOR
COMPANIES
COMPANIES
Cel artyku
łu
Modelowanie wspó
łczynnika ryzyka beta
dla akcji pi
ętnastu australisjkich
spó
łek z sektora finansowego
Porównanie dwóch metod:
- model GARCH
- filtr Kalmana
Cel artyku
łu
|
Rozszerzenie analizy opisanej w Brooks,
Faff i McKenzie (1997)
|
Bior
ąc pod uwagę większą ilość akcji z
sektora bankowego
|
U
żywając nowo dostępnych danych
|
Wykorzystuj
ąc dzienne dane (w
przeciwie
ństwie do miesięcznych)
|
Za
łączając porównanie metod GARCH i
filtra Kalmana
Dane
|
Notowania dzienne pi
ętnastu akcji
australijskich spó
łek z sektora
finansowego
|
Próbka obejmuje dane z okresu od
pocz
ąku notowania do września 1998
Specyfikacja modelu
it
Mt
i
i
it
R
R
ε
β
α
+
+
=
)
,
0
(
~
2
σ
ε
N
it
R
it
– stopa zwrotu waloru
α
i
i β
i
– charakterystyki waloru
R
Mt
– portfel rynkowy
GARCH
2
,
1
=
=
i
R
it
it
ε
)
,
0
(
~
1
t
t
it
H
N
−
ψ
ε
2
11,
11
11
12
13
1,
1
11
12
13
11,
1
12,
12
21
22
23
1,
1
2,
1
21
22
23
12,
1
2
22,
22
31
32
33
2,
1
31
32
33
22,
1
(
)(
)
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
h
c
a
a
a
b
b
b
h
h
c
a
a
a
b
b
b
h
h
c
a
a
a
b
b
b
h
ε
ε
ε
ε
−
−
−
−
−
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
=
+
×
+
×
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
1
)
(
−
+
+
=
t
t
BH
A
C
H
vech
ε
1
,
11
11
2
1
,
1
11
11
,
11
−
−
+
+
=
t
t
t
h
b
a
c
h
ε
1
,
22
33
2
1
,
2
33
22
,
22
−
−
+
+
=
t
t
t
h
b
a
c
h
ε
2
/
1
,
22
,
11
,
12
)
(
t
t
t
h
h
h
×
×
=
ρ
)
(
var
/
)
,
(
cov
Mt
t
Mt
it
t
it
R
R
R
=
β
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
t
t
t
t
t
h
h
h
h
H
,
22
,
21
,
12
,
11
Filtr Kalmana
)
,
0
(
~
Ω
+
+
=
N
R
R
t
t
Mt
K
it
t
it
ε
ε
β
α
)
Q
,
0
(
~
1
N
T
t
t
K
it
K
it
η
η
β
β
+
=
−
• Równanie pomiaru
• Równanie procesu
Wyniki regresji
Table I OLS Beta Estimates for Australian Banking and Financial Institutions Stocks
Company Name
Sample Period Start Date
Point Estimate Beta (β
i
)
Adelaide Bank
24 December 1993
0.7359
ab
ANZBank
10 February 1992
1.3282
a
Bendigo Bank
2 April 1993
0.5262
ab
Bank of Queensland
28 June 1988
0.2817
ab
BT Australia
3 August 1989
0.5820
ab
Bank of Western Australia 1 February 1996
0.7233
ab
Commonwealth Bank
13 September 1991
0.8419
ab
First Australian Building
6 October 1993
0.2785
ab
Hartley Poynton
5 August 1996
0.3565
ab
Macquarie Bank Ltd
29 July 1996
1.2446
a
National Australia Bank
1 January 1980
0.8385
ab
Rock the Building Society 10 December 1992
0.2076
ab
Suncorp-Metway
18 May 1990
0.4935
ab
Wide Bay Capricorn
19 September 1994
0.28763
ab
Westpac Banking Corp.
1 January 1980
0.9609
a
Wyniki modelu GARCH
GARCH vs. Kalman Filter
Wykres zmienno
ści β dla ANZ i Adelaide
Bank
Porównanie b
łędów prognozy
modeli
MAE
MSE
Company Name
GARCH
Kalman
GARCH
Kalman
Adelaide Bank
0.01279
0.00035
4.37E-12
3.49E-23
ANZ Bank
0.00852
0.00013
0.00615
0.00007
Bendigo Bank
0.01021
0.00021
0.00953
0.00018
Bank of Queensland
0.00757
0.00017
0.00673
0.00014
BT Australia
0.01440
0.00037
0.01363
0.00034
Bank of Western Australia
0.01046
0.00020
1.08E-14
2.07E-28
Commonwealth Bank
0.00631
0.00008
9.02E-08
1.60E-14
First Australian Building
0.00908
0.00027
0.00812
0.00020
Hartley Poynton
0.01348
0.00043
5.30E-16
4.67E-33
Macquarie Bank Ltd
0.01173
0.00036
4.13E-12
3.30E-23
National Australia Bank
0.00785
0.00014
0.00509
0.00006
Rock the Building Society
0.00870
0.00020
0.00353
0.00003
Suncorp-Metway
0.00925
0.00018
0.00725
0.00012
Wide Bay Capricorn
0.00784
0.00018
5.50E-16
7.89E-30
Westpac Banking Corporation
0.00843
0.00014
0.00547
0.00006
Podsumowanie
|
Zastosowano model GARCH i model oparty o filtr Kalmana
do modelowania
β na próbce 15 australijskich firm z sektora
bankowego
|
Wyniki estymacji okaza
ły się zgodne z literaturą dotyczącą
tego tematu – dowodz
ąc zmienności β, nawet w
obserwacjach z kolejnych dni
|
Wykorzystano podstawowe miary b
łędu w celu porównania
prognoz stóp zwrotu uzyskanych za pomoc
ą obu tych
modeli. Analiza ta wykaza
ła wyższość modelu
korzystaj
ącego z filtru Kalmana
|
Potwierdzono wyniki uzyskane przez Brooks, Faff i
McKenzie (1998) dla spó
łek z sektora przemysłowego w
Australii, mówi
ące o wyższości modelu z filtrem Kalmana w
estymacji zmiennego w czasie
β, przynajmniej w odniesieniu
do spó
łek z sektora finansowego i przemysłowego
Bibliografia
|
Greg Welch, Gary Bishop, An Introduction To The
Kalman Filter, Department Of Computer Science,
University Of North Carolina At Chapel Hill
|
Frida Lie, Robert Brooks And Robert Faff, Modelling The
Equity Beta Risk Of Australian Financial Sector
Companies, Blackwell Publishers Ltd,
|
Wikipedia: The Free Encyclopedia. 9 April 2005.
Wikimedia Foundation.
<
http://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter
>