Liczby zespolone – repetytorium
semestr zimowy 2007/08
Liczby zespolone – repetytorium
semestr zimowy 2007/08
Liczby zespolone – podstawowe pojęcia
Definicje
1
z = (x, y);
x = <(z),
y = =(z).
2
(x, 0) = x;
(0, y) =
liczba urojona;
(0, 1) = i
??
=
√
−1
3
z
1
= (x
1
, y
1
) = z
2
= (x
2
, y
2
) ←→ x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
.
4
z = 0 ←→ x = y = 0.
5
z
1
> z
2
—
nie ma sensu, chyba, że. . .
z
i
≡ (x
i
, 0)
6
α + β
=
(a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
α · β
=
(a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Liczby zespolone – podstawowe pojęcia
Definicje
1
z = (x, y);
x = <(z),
y = =(z).
2
(x, 0) = x;
(0, y) =
liczba urojona;
(0, 1) = i
??
=
√
−1
3
z
1
= (x
1
, y
1
) = z
2
= (x
2
, y
2
) ←→ x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
.
4
z = 0 ←→ x = y = 0.
5
z
1
> z
2
—
nie ma sensu, chyba, że. . .
z
i
≡ (x
i
, 0)
6
α + β
=
(a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
α · β
=
(a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Liczby zespolone – podstawowe pojęcia
Definicje
1
z = (x, y);
x = <(z),
y = =(z).
2
(x, 0) = x;
(0, y) =
liczba urojona;
(0, 1) = i
??
=
√
−1
3
z
1
= (x
1
, y
1
) = z
2
= (x
2
, y
2
) ←→ x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
.
4
z = 0 ←→ x = y = 0.
5
z
1
> z
2
—
nie ma sensu, chyba, że. . .
z
i
≡ (x
i
, 0)
6
α + β
=
(a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
α · β
=
(a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Liczby zespolone – podstawowe pojęcia
Definicje
1
z = (x, y);
x = <(z),
y = =(z).
2
(x, 0) = x;
(0, y) = liczba urojona;
(0, 1) = i
??
=
√
−1
3
z
1
= (x
1
, y
1
) = z
2
= (x
2
, y
2
) ←→ x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
.
4
z = 0 ←→ x = y = 0.
5
z
1
> z
2
—
nie ma sensu, chyba, że. . .
z
i
≡ (x
i
, 0)
6
α + β
=
(a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
α · β
=
(a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Liczby zespolone – podstawowe pojęcia
Definicje
1
z = (x, y);
x = <(z),
y = =(z).
2
(x, 0) = x;
(0, y) = liczba urojona;
(0, 1) = i
??
=
√
−1
3
z
1
= (x
1
, y
1
) = z
2
= (x
2
, y
2
) ←→ x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
.
4
z = 0 ←→ x = y = 0.
5
z
1
> z
2
—
nie ma sensu, chyba, że. . .
z
i
≡ (x
i
, 0)
6
α + β
=
(a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
α · β
=
(a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Liczby zespolone – podstawowe pojęcia
Definicje
1
z = (x, y);
x = <(z),
y = =(z).
2
(x, 0) = x;
(0, y) = liczba urojona;
(0, 1) = i
??
=
√
−1
3
z
1
= (x
1
, y
1
) = z
2
= (x
2
, y
2
) ←→ x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
.
4
z = 0 ←→ x = y = 0.
5
z
1
> z
2
—
nie ma sensu, chyba, że. . .
z
i
≡ (x
i
, 0)
6
α + β
=
(a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
α · β
=
(a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Liczby zespolone – podstawowe pojęcia
Definicje
1
z = (x, y);
x = <(z),
y = =(z).
2
(x, 0) = x;
(0, y) = liczba urojona;
(0, 1) = i
??
=
√
−1
3
z
1
= (x
1
, y
1
) = z
2
= (x
2
, y
2
) ←→ x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
.
4
z = 0 ←→ x = y = 0.
5
z
1
> z
2
—
nie ma sensu, chyba, że. . .
z
i
≡ (x
i
, 0)
6
α + β
=
(a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
α · β
=
(a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Liczby zespolone – podstawowe pojęcia
Definicje
1
z = (x, y);
x = <(z),
y = =(z).
2
(x, 0) = x;
(0, y) = liczba urojona;
(0, 1) = i
??
=
√
−1
3
z
1
= (x
1
, y
1
) = z
2
= (x
2
, y
2
) ←→ x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
.
4
z = 0 ←→ x = y = 0.
5
z
1
> z
2
—
nie ma sensu, chyba, że. . .
z
i
≡ (x
i
, 0)
6
α + β
=
(a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
α · β
=
(a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Liczby zespolone – podstawowe pojęcia
Definicje
1
z = (x, y);
x = <(z),
y = =(z).
2
(x, 0) = x;
(0, y) = liczba urojona;
(0, 1) = i
??
=
√
−1
3
z
1
= (x
1
, y
1
) = z
2
= (x
2
, y
2
) ←→ x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
.
4
z = 0 ←→ x = y = 0.
5
z
1
> z
2
—
nie ma sensu, chyba, że. . .
z
i
≡ (x
i
, 0)
6
α + β
=
(a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
α · β
=
(a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Liczby zespolone – podstawowe pojęcia
Definicje
1
z = (x, y);
x = <(z),
y = =(z).
2
(x, 0) = x;
(0, y) = liczba urojona;
(0, 1) = i
??
=
√
−1
3
z
1
= (x
1
, y
1
) = z
2
= (x
2
, y
2
) ←→ x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
.
4
z = 0 ←→ x = y = 0.
5
z
1
> z
2
—
nie ma sensu, chyba, że. . .
z
i
≡ (x
i
, 0)
6
α + β
=
(a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
α · β
=
(a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Liczby zespolone – podstawowe pojęcia
Definicje
1
z = (x, y);
x = <(z),
y = =(z).
2
(x, 0) = x;
(0, y) = liczba urojona;
(0, 1) = i
??
=
√
−1
3
z
1
= (x
1
, y
1
) = z
2
= (x
2
, y
2
) ←→ x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
.
4
z = 0 ←→ x = y = 0.
5
z
1
> z
2
—
nie ma sensu, chyba, że. . .
z
i
≡ (x
i
, 0)
6
α + β
=
(a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
α · β
=
(a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Liczby zespolone – podstawowe pojęcia
Definicje
1
z = (x, y);
x = <(z),
y = =(z).
2
(x, 0) = x;
(0, y) = liczba urojona;
(0, 1) = i
??
=
√
−1
3
z
1
= (x
1
, y
1
) = z
2
= (x
2
, y
2
) ←→ x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
.
4
z = 0 ←→ x = y = 0.
5
z
1
> z
2
—
nie ma sensu, chyba, że. . .
z
i
≡ (x
i
, 0)
6
α + β
=
(a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
α · β
=
(a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Liczby zespolone – podstawowe pojęcia
Definicje
1
z = (x, y);
x = <(z),
y = =(z).
2
(x, 0) = x;
(0, y) = liczba urojona;
(0, 1) = i
??
=
√
−1
3
z
1
= (x
1
, y
1
) = z
2
= (x
2
, y
2
) ←→ x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
.
4
z = 0 ←→ x = y = 0.
5
z
1
> z
2
—
nie ma sensu, chyba, że. . .
z
i
≡ (x
i
, 0)
6
α + β
=
(a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
α · β
=
(a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Liczby zespolone – podstawowe pojęcia
Definicje
1
z = (x, y);
x = <(z),
y = =(z).
2
(x, 0) = x;
(0, y) = liczba urojona;
(0, 1) = i
??
=
√
−1
3
z
1
= (x
1
, y
1
) = z
2
= (x
2
, y
2
) ←→ x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
.
4
z = 0 ←→ x = y = 0.
5
z
1
> z
2
—
nie ma sensu, chyba, że. . .
z
i
≡ (x
i
, 0)
6
α + β
=
(a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
α · β
=
(a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Dodawanie liczb zespolonych
α + β = (a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(0, 0)
element neutralny
(a, b) + (0, 0) = (a, b).
Dodawanie i mnożenie są
operacjami „(roz)łącznymi”
z
1
+ (z
2
+ z
3
) = (z
1
+ z
2
) + z
3
z
1
· (z
2
· z
3
) = (z
1
· z
2
) · z
3
z
1
· (z
2
+ z
3
) = z
1
· z
2
+ z
1
· z
3
Dodawanie liczb zespolonych
α + β = (a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(0, 0)
element neutralny
(a, b) + (0, 0) = (a, b).
Dodawanie i mnożenie są
operacjami „(roz)łącznymi”
z
1
+ (z
2
+ z
3
) = (z
1
+ z
2
) + z
3
z
1
· (z
2
· z
3
) = (z
1
· z
2
) · z
3
z
1
· (z
2
+ z
3
) = z
1
· z
2
+ z
1
· z
3
Dodawanie liczb zespolonych
α + β = (a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(0, 0)
element neutralny
(a, b) + (0, 0) = (a, b).
Dodawanie i mnożenie są
operacjami „(roz)łącznymi”
z
1
+ (z
2
+ z
3
) = (z
1
+ z
2
) + z
3
z
1
· (z
2
· z
3
) = (z
1
· z
2
) · z
3
z
1
· (z
2
+ z
3
) = z
1
· z
2
+ z
1
· z
3
Dodawanie liczb zespolonych
α + β = (a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(0, 0)
element neutralny
(a, b) + (0, 0) = (a, b).
Dodawanie i mnożenie są
operacjami „(roz)łącznymi”
z
1
+ (z
2
+ z
3
) = (z
1
+ z
2
) + z
3
z
1
· (z
2
· z
3
) = (z
1
· z
2
) · z
3
z
1
· (z
2
+ z
3
) = z
1
· z
2
+ z
1
· z
3
Dodawanie liczb zespolonych
α + β = (a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(0, 0)
element neutralny
(a, b) + (0, 0) = (a, b).
Dodawanie i mnożenie są
operacjami „(roz)łącznymi”
z
1
+ (z
2
+ z
3
) = (z
1
+ z
2
) + z
3
z
1
· (z
2
· z
3
) = (z
1
· z
2
) · z
3
z
1
· (z
2
+ z
3
) = z
1
· z
2
+ z
1
· z
3
Dodawanie liczb zespolonych
α + β = (a, b) + (c, d) ≡ (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(0, 0)
element neutralny
(a, b) + (0, 0) = (a, b).
Dodawanie i mnożenie są
operacjami „(roz)łącznymi”
z
1
+ (z
2
+ z
3
) = (z
1
+ z
2
) + z
3
z
1
· (z
2
· z
3
) = (z
1
· z
2
) · z
3
z
1
· (z
2
+ z
3
) = z
1
· z
2
+ z
1
· z
3
Dodawanie liczb zespolonych – nierówności trójkąta
1
z
1
2
z
2
3
z
1
+ z
2
|z
1
+ z
2
| ¬ |z
1
| + |z
2
|
4
z
1
5
−z
2
6
z
1
− z
2
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
7
z
1
− z
2
jeszcze raz
8
z
1
= z
1
− z
2
+ z
2
→
|z
1
| ¬ |z
1
− z
2
| + |z
2
|
→
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
Dodawanie liczb zespolonych – nierówności trójkąta
1
z
1
2
z
2
3
z
1
+ z
2
|z
1
+ z
2
| ¬ |z
1
| + |z
2
|
4
z
1
5
−z
2
6
z
1
− z
2
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
7
z
1
− z
2
jeszcze raz
8
z
1
= z
1
− z
2
+ z
2
→
|z
1
| ¬ |z
1
− z
2
| + |z
2
|
→
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
Dodawanie liczb zespolonych – nierówności trójkąta
1
z
1
2
z
2
3
z
1
+ z
2
|z
1
+ z
2
| ¬ |z
1
| + |z
2
|
4
z
1
5
−z
2
6
z
1
− z
2
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
7
z
1
− z
2
jeszcze raz
8
z
1
= z
1
− z
2
+ z
2
→
|z
1
| ¬ |z
1
− z
2
| + |z
2
|
→
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
Dodawanie liczb zespolonych – nierówności trójkąta
1
z
1
2
z
2
3
z
1
+ z
2
|z
1
+ z
2
| ¬ |z
1
| + |z
2
|
4
z
1
5
−z
2
6
z
1
− z
2
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
7
z
1
− z
2
jeszcze raz
8
z
1
= z
1
− z
2
+ z
2
→
|z
1
| ¬ |z
1
− z
2
| + |z
2
|
→
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
Dodawanie liczb zespolonych – nierówności trójkąta
1
z
1
2
z
2
3
z
1
+ z
2
|z
1
+ z
2
| ¬ |z
1
| + |z
2
|
4
z
1
5
−z
2
6
z
1
− z
2
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
7
z
1
− z
2
jeszcze raz
8
z
1
= z
1
− z
2
+ z
2
→
|z
1
| ¬ |z
1
− z
2
| + |z
2
|
→
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
Dodawanie liczb zespolonych – nierówności trójkąta
1
z
1
2
z
2
3
z
1
+ z
2
|z
1
+ z
2
| ¬ |z
1
| + |z
2
|
4
z
1
5
−z
2
6
z
1
− z
2
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
7
z
1
− z
2
jeszcze raz
8
z
1
= z
1
− z
2
+ z
2
→
|z
1
| ¬ |z
1
− z
2
| + |z
2
|
→
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
Dodawanie liczb zespolonych – nierówności trójkąta
1
z
1
2
z
2
3
z
1
+ z
2
|z
1
+ z
2
| ¬ |z
1
| + |z
2
|
4
z
1
5
−z
2
6
z
1
− z
2
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
7
z
1
− z
2
jeszcze raz
8
z
1
= z
1
− z
2
+ z
2
→
|z
1
| ¬ |z
1
− z
2
| + |z
2
|
→
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
Dodawanie liczb zespolonych – nierówności trójkąta
1
z
1
2
z
2
3
z
1
+ z
2
|z
1
+ z
2
| ¬ |z
1
| + |z
2
|
4
z
1
5
−z
2
6
z
1
− z
2
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
7
z
1
− z
2
jeszcze raz
8
z
1
= z
1
− z
2
+ z
2
→
|z
1
| ¬ |z
1
− z
2
| + |z
2
|
→
|z
1
− z
2
| |z
1
| − |z
2
|
Mnożenie liczb zespolonych
α · β = (a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
(1, 0)
element neutralny
(a, b) · (1, 0) = (a, b).
(0, 1) · (0, 1) = (0 − 1 · 1) + i(0 · 1 − 1 · 0) = (−1, 0)
z · i = i(x + iy) = −y + ix
Mnożenie przez i ≡ obrót o π/2
Mnożenie liczb zespolonych
α · β = (a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
(1, 0)
element neutralny
(a, b) · (1, 0) = (a, b).
(0, 1) · (0, 1) = (0 − 1 · 1) + i(0 · 1 − 1 · 0) = (−1, 0)
z · i = i(x + iy) = −y + ix
Mnożenie przez i ≡ obrót o π/2
Mnożenie liczb zespolonych
α · β = (a, b)(c, d) ≡ (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
(1, 0)
element neutralny
(a, b) · (1, 0) = (a, b).
(0, 1) · (0, 1) = (0 − 1 · 1) + i(0 · 1 − 1 · 0) = (−1, 0)
z · i = i(x + iy) = −y + ix
Mnożenie przez i ≡ obrót o π/2
Mnożenie liczb zespolonych – przypadek ogólny
β · (a, b) = (c, d) · (a, b) = (c, d) · (a) + (c, d) · (ib)
Mnożenie przez (a, b):
dylatacja o czynnik
√
a
2
+ b
2
+ obrót o kąt θ = arctg
b
a
.
N.B. Liczby zespolone utożsa-
miamy z wektorami na płaszczyź-
nie. Ale . . .
mnożenie liczb zespolonych nie
ma nic wspólnego z mnożeniem
wektorów!
— iloczyny skalarne, wektorowe
nie mają tu żadnego zastosowa-
nia!
Mnożenie liczb zespolonych – przypadek ogólny
β · (a, b) = (c, d) · (a, b) = (c, d) · (a) + (c, d) · (ib)
Mnożenie przez (a, b):
dylatacja o czynnik
√
a
2
+ b
2
+ obrót o kąt θ = arctg
b
a
.
N.B. Liczby zespolone utożsa-
miamy z wektorami na płaszczyź-
nie. Ale . . .
mnożenie liczb zespolonych nie
ma nic wspólnego z mnożeniem
wektorów!
— iloczyny skalarne, wektorowe
nie mają tu żadnego zastosowa-
nia!
Mnożenie liczb zespolonych – przypadek ogólny
β · (a, b) = (c, d) · (a, b) = (c, d) · (a) + (c, d) · (ib)
Mnożenie przez (a, b):
dylatacja o czynnik
√
a
2
+ b
2
+ obrót o kąt θ = arctg
b
a
.
N.B. Liczby zespolone utożsa-
miamy z wektorami na płaszczyź-
nie. Ale . . .
mnożenie liczb zespolonych nie
ma nic wspólnego z mnożeniem
wektorów!
— iloczyny skalarne, wektorowe
nie mają tu żadnego zastosowa-
nia!
Mnożenie liczb zespolonych – przypadek ogólny
β · (a, b) = (c, d) · (a, b) = (c, d) · (a) + (c, d) · (ib)
Mnożenie przez (a, b):
dylatacja o czynnik
√
a
2
+ b
2
+ obrót o kąt θ = arctg
b
a
.
N.B. Liczby zespolone utożsa-
miamy z wektorami na płaszczyź-
nie. Ale . . .
mnożenie liczb zespolonych nie
ma nic wspólnego z mnożeniem
wektorów!
— iloczyny skalarne, wektorowe
nie mają tu żadnego zastosowa-
nia!
Mnożenie liczb zespolonych – przypadek ogólny
β · (a, b) = (c, d) · (a, b) = (c, d) · (a) + (c, d) · (ib)
Mnożenie przez (a, b):
dylatacja o czynnik
√
a
2
+ b
2
+ obrót o kąt θ = arctg
b
a
.
N.B. Liczby zespolone utożsa-
miamy z wektorami na płaszczyź-
nie. Ale . . .
mnożenie liczb zespolonych nie
ma nic wspólnego z mnożeniem
wektorów!
— iloczyny skalarne, wektorowe
nie mają tu żadnego zastosowa-
nia!
Mnożenie liczb zespolonych – przypadek ogólny
β · (a, b) = (c, d) · (a, b) = (c, d) · (a) + (c, d) · (ib)
Mnożenie przez (a, b):
dylatacja o czynnik
√
a
2
+ b
2
+ obrót o kąt θ = arctg
b
a
.
N.B. Liczby zespolone utożsa-
miamy z wektorami na płaszczyź-
nie. Ale . . .
mnożenie liczb zespolonych nie
ma nic wspólnego z mnożeniem
wektorów!
— iloczyny skalarne, wektorowe
nie mają tu żadnego zastosowa-
nia!
Mnożenie liczb zespolonych – przypadek ogólny
β · (a, b) = (c, d) · (a, b) = (c, d) · (a) + (c, d) · (ib)
Mnożenie przez (a, b):
dylatacja o czynnik
√
a
2
+ b
2
+ obrót o kąt θ = arctg
b
a
.
N.B. Liczby zespolone utożsa-
miamy z wektorami na płaszczyź-
nie. Ale . . .
mnożenie liczb zespolonych nie
ma nic wspólnego z mnożeniem
wektorów!
— iloczyny skalarne, wektorowe
nie mają tu żadnego zastosowa-
nia!
Reprezentacja biegunowa zespolonych
z = x + iy = r cos φ + i r sin φ = r(cos φ + i sin φ).
r = |z| =
p
x
2
+ y
2
tg φ = arg(z) =
y
x
.
cos x + i sin x = e
ix
.
x = π ⇒ e
iπ
+ 1 = 0.
z = r(cos φ + i sin φ) ≡ re
iφ
.
z
1
· z
2
= r
1
e
iφ
1
· r
2
e
iφ
2
= r
1
r
2
e
i(φ
1
+φ
2
)
= |z
1
| · |z
2
|e
[i(arg(z
1
)+arg(z
2
))]
Reprezentacja biegunowa zespolonych
z = x + iy = r cos φ + i r sin φ = r(cos φ + i sin φ).
r = |z| =
p
x
2
+ y
2
tg φ = arg(z) =
y
x
.
cos x + i sin x = e
ix
.
x = π ⇒ e
iπ
+ 1 = 0.
z = r(cos φ + i sin φ) ≡ re
iφ
.
z
1
· z
2
= r
1
e
iφ
1
· r
2
e
iφ
2
= r
1
r
2
e
i(φ
1
+φ
2
)
= |z
1
| · |z
2
|e
[i(arg(z
1
)+arg(z
2
))]
Reprezentacja biegunowa zespolonych
z = x + iy = r cos φ + i r sin φ = r(cos φ + i sin φ).
r = |z| =
p
x
2
+ y
2
tg φ = arg(z) =
y
x
.
cos x + i sin x = e
ix
.
x = π ⇒ e
iπ
+ 1 = 0.
z = r(cos φ + i sin φ) ≡ re
iφ
.
z
1
· z
2
= r
1
e
iφ
1
· r
2
e
iφ
2
= r
1
r
2
e
i(φ
1
+φ
2
)
= |z
1
| · |z
2
|e
[i(arg(z
1
)+arg(z
2
))]
Reprezentacja biegunowa zespolonych
z = x + iy = r cos φ + i r sin φ = r(cos φ + i sin φ).
r = |z| =
p
x
2
+ y
2
tg φ = arg(z) =
y
x
.
cos x + i sin x = e
ix
.
x = π ⇒ e
iπ
+ 1 = 0.
z = r(cos φ + i sin φ) ≡ re
iφ
.
z
1
· z
2
= r
1
e
iφ
1
· r
2
e
iφ
2
= r
1
r
2
e
i(φ
1
+φ
2
)
= |z
1
| · |z
2
|e
[i(arg(z
1
)+arg(z
2
))]
Reprezentacja biegunowa zespolonych
z = x + iy = r cos φ + i r sin φ = r(cos φ + i sin φ).
r = |z| =
p
x
2
+ y
2
tg φ = arg(z) =
y
x
.
cos x + i sin x = e
ix
.
x = π
⇒ e
iπ
+ 1 = 0.
z = r(cos φ + i sin φ) ≡ re
iφ
.
z
1
· z
2
= r
1
e
iφ
1
· r
2
e
iφ
2
= r
1
r
2
e
i(φ
1
+φ
2
)
= |z
1
| · |z
2
|e
[i(arg(z
1
)+arg(z
2
))]
Reprezentacja biegunowa zespolonych
z = x + iy = r cos φ + i r sin φ = r(cos φ + i sin φ).
r = |z| =
p
x
2
+ y
2
tg φ = arg(z) =
y
x
.
cos x + i sin x = e
ix
.
x = π ⇒ e
iπ
+ 1 = 0.
z = r(cos φ + i sin φ) ≡ re
iφ
.
z
1
· z
2
= r
1
e
iφ
1
· r
2
e
iφ
2
= r
1
r
2
e
i(φ
1
+φ
2
)
= |z
1
| · |z
2
|e
[i(arg(z
1
)+arg(z
2
))]
Reprezentacja biegunowa zespolonych
z = x + iy = r cos φ + i r sin φ = r(cos φ + i sin φ).
r = |z| =
p
x
2
+ y
2
tg φ = arg(z) =
y
x
.
cos x + i sin x = e
ix
.
x = π ⇒ e
iπ
+ 1 = 0.
z = r(cos φ + i sin φ) ≡ re
iφ
.
z
1
· z
2
= r
1
e
iφ
1
· r
2
e
iφ
2
= r
1
r
2
e
i(φ
1
+φ
2
)
= |z
1
| · |z
2
|e
[i(arg(z
1
)+arg(z
2
))]
Reprezentacja biegunowa zespolonych
z = x + iy = r cos φ + i r sin φ = r(cos φ + i sin φ).
r = |z| =
p
x
2
+ y
2
tg φ = arg(z) =
y
x
.
cos x + i sin x = e
ix
.
x = π ⇒ e
iπ
+ 1 = 0.
z = r(cos φ + i sin φ) ≡ re
iφ
.
z
1
· z
2
= r
1
e
iφ
1
· r
2
e
iφ
2
= r
1
r
2
e
i(φ
1
+φ
2
)
= |z
1
| · |z
2
|e
[i(arg(z
1
)+arg(z
2
))]
Liczba zespolona sprzężona
z
∗
def
= x − iy = r(cos φ − i sin φ) = r[cos(−φ) + i sin(−φ)] = re
−iφ
.
(z
1
+ z
2
)
∗
= z
∗
1
+ z
∗
2
(z
1
· z
2
)
∗
= z
∗
1
· z
∗
2
z
1
z
2
∗
=
z
∗
1
z
∗
2
z · z
∗
= (x + iy) · (x − iy) = re
iφ
· re
−iφ
= r
2
= x
2
+ y
2
= |z|
2
z
1
z
2
=
a + ib
c + id
=
a + ib
c + id
·
c − id
c − id
=
ac + bd
c
2
+ d
2
+ i
bc − ad
c
2
+ d
2
Liczba zespolona sprzężona
z
∗
def
= x − iy = r(cos φ − i sin φ) = r[cos(−φ) + i sin(−φ)] = re
−iφ
.
(z
1
+ z
2
)
∗
= z
∗
1
+ z
∗
2
(z
1
· z
2
)
∗
= z
∗
1
· z
∗
2
z
1
z
2
∗
=
z
∗
1
z
∗
2
z · z
∗
= (x + iy) · (x − iy) = re
iφ
· re
−iφ
= r
2
= x
2
+ y
2
= |z|
2
z
1
z
2
=
a + ib
c + id
=
a + ib
c + id
·
c − id
c − id
=
ac + bd
c
2
+ d
2
+ i
bc − ad
c
2
+ d
2
Liczba zespolona sprzężona
z
∗
def
= x − iy = r(cos φ − i sin φ) = r[cos(−φ) + i sin(−φ)] = re
−iφ
.
(z
1
+ z
2
)
∗
= z
∗
1
+ z
∗
2
(z
1
· z
2
)
∗
= z
∗
1
· z
∗
2
z
1
z
2
∗
=
z
∗
1
z
∗
2
z · z
∗
= (x + iy) · (x − iy) = re
iφ
· re
−iφ
= r
2
= x
2
+ y
2
= |z|
2
z
1
z
2
=
a + ib
c + id
=
a + ib
c + id
·
c − id
c − id
=
ac + bd
c
2
+ d
2
+ i
bc − ad
c
2
+ d
2
Liczba zespolona sprzężona
z
∗
def
= x − iy = r(cos φ − i sin φ) = r[cos(−φ) + i sin(−φ)] = re
−iφ
.
(z
1
+ z
2
)
∗
= z
∗
1
+ z
∗
2
(z
1
· z
2
)
∗
= z
∗
1
· z
∗
2
z
1
z
2
∗
=
z
∗
1
z
∗
2
z · z
∗
= (x + iy) · (x − iy) = re
iφ
· re
−iφ
= r
2
= x
2
+ y
2
= |z|
2
z
1
z
2
=
a + ib
c + id
=
a + ib
c + id
·
c − id
c − id
=
ac + bd
c
2
+ d
2
+ i
bc − ad
c
2
+ d
2
Liczba zespolona sprzężona
z
∗
def
= x − iy = r(cos φ − i sin φ) = r[cos(−φ) + i sin(−φ)] = re
−iφ
.
(z
1
+ z
2
)
∗
= z
∗
1
+ z
∗
2
(z
1
· z
2
)
∗
= z
∗
1
· z
∗
2
z
1
z
2
∗
=
z
∗
1
z
∗
2
z · z
∗
= (x + iy) · (x − iy) = re
iφ
· re
−iφ
= r
2
= x
2
+ y
2
= |z|
2
z
1
z
2
=
a + ib
c + id
=
a + ib
c + id
·
c − id
c − id
=
ac + bd
c
2
+ d
2
+ i
bc − ad
c
2
+ d
2
Liczba zespolona sprzężona
z
∗
def
= x − iy = r(cos φ − i sin φ) = r[cos(−φ) + i sin(−φ)] = re
−iφ
.
(z
1
+ z
2
)
∗
= z
∗
1
+ z
∗
2
(z
1
· z
2
)
∗
= z
∗
1
· z
∗
2
z
1
z
2
∗
=
z
∗
1
z
∗
2
z · z
∗
= (x + iy) · (x − iy) = re
iφ
· re
−iφ
= r
2
= x
2
+ y
2
= |z|
2
z
1
z
2
=
a + ib
c + id
=
a + ib
c + id
·
c − id
c − id
=
ac + bd
c
2
+ d
2
+ i
bc − ad
c
2
+ d
2
Liczba zespolona sprzężona
z
∗
def
= x − iy = r(cos φ − i sin φ) = r[cos(−φ) + i sin(−φ)] = re
−iφ
.
(z
1
+ z
2
)
∗
= z
∗
1
+ z
∗
2
(z
1
· z
2
)
∗
= z
∗
1
· z
∗
2
z
1
z
2
∗
=
z
∗
1
z
∗
2
z · z
∗
= (x + iy) · (x − iy) = re
iφ
· re
−iφ
= r
2
= x
2
+ y
2
= |z|
2
z
1
z
2
=
a + ib
c + id
=
a + ib
c + id
·
c − id
c − id
=
ac + bd
c
2
+ d
2
+ i
bc − ad
c
2
+ d
2
Liczba zespolona sprzężona
z
∗
def
= x − iy = r(cos φ − i sin φ) = r[cos(−φ) + i sin(−φ)] = re
−iφ
.
(z
1
+ z
2
)
∗
= z
∗
1
+ z
∗
2
(z
1
· z
2
)
∗
= z
∗
1
· z
∗
2
z
1
z
2
∗
=
z
∗
1
z
∗
2
z · z
∗
= (x + iy) · (x − iy) = re
iφ
· re
−iφ
= r
2
= x
2
+ y
2
= |z|
2
z
1
z
2
=
a + ib
c + id
=
a + ib
c + id
·
c − id
c − id
=
ac + bd
c
2
+ d
2
+ i
bc − ad
c
2
+ d
2
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = x + iy
w(z) ≡
√
z =
p
x + iy ≡ u(x, y) + iv(x, y)
(u + iv)
2
= x + iy
→
u
2
− v
2
=
x,
(∗)
2uv
=
y.
Podnosząc do kwadratu oba równania i dodając je stronami mamy
(u
2
− v
2
)
2
+ 4u
2
v
2
= x
2
+ y
2
albo
u
2
+ v
2
= +(!)
p
x
2
+ y
2
.
(∗)
Z równań (∗)
u
2
=
1
2
(x +
p
x
2
+ y
2
),
v
2
=
1
2
(−x +
p
x
2
+ y
2
).
→ u
1,2
v
1,2
??
Znak uv musi być taki sam jak znak y → – tylko dwie możliwości.
Na przykład: dla z = 21 − 20i mamy
p
x
2
+ y
2
=
√
21
2
+ 20
2
= 29.
Stąd u = ±5, v = ±2.
y < 0 → u · v < 0
w
1
= 5 − 2i,
oraz
w
2
= −5 + 2i = −w
1
.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = x + iy
w(z) ≡
√
z =
p
x + iy ≡ u(x, y) + iv(x, y)
(u + iv)
2
= x + iy
→
u
2
− v
2
=
x,
(∗)
2uv
=
y.
Podnosząc do kwadratu oba równania i dodając je stronami mamy
(u
2
− v
2
)
2
+ 4u
2
v
2
= x
2
+ y
2
albo
u
2
+ v
2
= +(!)
p
x
2
+ y
2
.
(∗)
Z równań (∗)
u
2
=
1
2
(x +
p
x
2
+ y
2
),
v
2
=
1
2
(−x +
p
x
2
+ y
2
).
→ u
1,2
v
1,2
??
Znak uv musi być taki sam jak znak y → – tylko dwie możliwości.
Na przykład: dla z = 21 − 20i mamy
p
x
2
+ y
2
=
√
21
2
+ 20
2
= 29.
Stąd u = ±5, v = ±2.
y < 0 → u · v < 0
w
1
= 5 − 2i,
oraz
w
2
= −5 + 2i = −w
1
.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = x + iy
w(z) ≡
√
z =
p
x + iy ≡ u(x, y) + iv(x, y)
(u + iv)
2
= x + iy
→
u
2
− v
2
=
x,
(∗)
2uv
=
y.
Podnosząc do kwadratu oba równania i dodając je stronami mamy
(u
2
− v
2
)
2
+ 4u
2
v
2
= x
2
+ y
2
albo
u
2
+ v
2
= +(!)
p
x
2
+ y
2
.
(∗)
Z równań (∗)
u
2
=
1
2
(x +
p
x
2
+ y
2
),
v
2
=
1
2
(−x +
p
x
2
+ y
2
).
→ u
1,2
v
1,2
??
Znak uv musi być taki sam jak znak y → – tylko dwie możliwości.
Na przykład: dla z = 21 − 20i mamy
p
x
2
+ y
2
=
√
21
2
+ 20
2
= 29.
Stąd u = ±5, v = ±2.
y < 0 → u · v < 0
w
1
= 5 − 2i,
oraz
w
2
= −5 + 2i = −w
1
.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = x + iy
w(z) ≡
√
z =
p
x + iy ≡ u(x, y) + iv(x, y)
(u + iv)
2
= x + iy
→
u
2
− v
2
=
x,
(∗)
2uv
=
y.
Podnosząc do kwadratu oba równania i dodając je stronami mamy
(u
2
− v
2
)
2
+ 4u
2
v
2
= x
2
+ y
2
albo
u
2
+ v
2
= +(!)
p
x
2
+ y
2
.
(∗)
Z równań (∗)
u
2
=
1
2
(x +
p
x
2
+ y
2
),
v
2
=
1
2
(−x +
p
x
2
+ y
2
).
→ u
1,2
v
1,2
??
Znak uv musi być taki sam jak znak y → – tylko dwie możliwości.
Na przykład: dla z = 21 − 20i mamy
p
x
2
+ y
2
=
√
21
2
+ 20
2
= 29.
Stąd u = ±5, v = ±2.
y < 0 → u · v < 0
w
1
= 5 − 2i,
oraz
w
2
= −5 + 2i = −w
1
.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = x + iy
w(z) ≡
√
z =
p
x + iy ≡ u(x, y) + iv(x, y)
(u + iv)
2
= x + iy
→
u
2
− v
2
=
x,
(∗)
2uv
=
y.
Podnosząc do kwadratu oba równania i dodając je stronami mamy
(u
2
− v
2
)
2
+ 4u
2
v
2
= x
2
+ y
2
albo
u
2
+ v
2
= +(!)
p
x
2
+ y
2
.
(∗)
Z równań (∗)
u
2
=
1
2
(x +
p
x
2
+ y
2
),
v
2
=
1
2
(−x +
p
x
2
+ y
2
).
→ u
1,2
v
1,2
??
Znak uv musi być taki sam jak znak y → – tylko dwie możliwości.
Na przykład: dla z = 21 − 20i mamy
p
x
2
+ y
2
=
√
21
2
+ 20
2
= 29.
Stąd u = ±5, v = ±2.
y < 0 → u · v < 0
w
1
= 5 − 2i,
oraz
w
2
= −5 + 2i = −w
1
.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = x + iy
w(z) ≡
√
z =
p
x + iy ≡ u(x, y) + iv(x, y)
(u + iv)
2
= x + iy
→
u
2
− v
2
=
x,
(∗)
2uv
=
y.
Podnosząc do kwadratu oba równania i dodając je stronami mamy
(u
2
− v
2
)
2
+ 4u
2
v
2
= x
2
+ y
2
albo
u
2
+ v
2
= +(!)
p
x
2
+ y
2
.
(∗)
Z równań (∗)
u
2
=
1
2
(x +
p
x
2
+ y
2
),
v
2
=
1
2
(−x +
p
x
2
+ y
2
).
→ u
1,2
v
1,2
??
Znak uv musi być taki sam jak znak y → – tylko dwie możliwości.
Na przykład: dla z = 21 − 20i mamy
p
x
2
+ y
2
=
√
21
2
+ 20
2
= 29.
Stąd u = ±5, v = ±2.
y < 0 → u · v < 0
w
1
= 5 − 2i,
oraz
w
2
= −5 + 2i = −w
1
.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = x + iy
w(z) ≡
√
z =
p
x + iy ≡ u(x, y) + iv(x, y)
(u + iv)
2
= x + iy
→
u
2
− v
2
=
x,
(∗)
2uv
=
y.
Podnosząc do kwadratu oba równania i dodając je stronami mamy
(u
2
− v
2
)
2
+ 4u
2
v
2
= x
2
+ y
2
albo
u
2
+ v
2
= +(!)
p
x
2
+ y
2
.
(∗)
Z równań (∗)
u
2
=
1
2
(x +
p
x
2
+ y
2
),
v
2
=
1
2
(−x +
p
x
2
+ y
2
).
→ u
1,2
v
1,2
??
Znak uv musi być taki sam jak znak y → – tylko dwie możliwości.
Na przykład: dla z = 21 − 20i mamy
p
x
2
+ y
2
=
√
21
2
+ 20
2
= 29.
Stąd u = ±5, v = ±2.
y < 0 → u · v < 0
w
1
= 5 − 2i,
oraz
w
2
= −5 + 2i = −w
1
.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = x + iy
w(z) ≡
√
z =
p
x + iy ≡ u(x, y) + iv(x, y)
(u + iv)
2
= x + iy
→
u
2
− v
2
=
x,
(∗)
2uv
=
y.
Podnosząc do kwadratu oba równania i dodając je stronami mamy
(u
2
− v
2
)
2
+ 4u
2
v
2
= x
2
+ y
2
albo
u
2
+ v
2
= +(!)
p
x
2
+ y
2
.
(∗)
Z równań (∗)
u
2
=
1
2
(x +
p
x
2
+ y
2
),
v
2
=
1
2
(−x +
p
x
2
+ y
2
).
→ u
1,2
v
1,2
??
Znak uv musi być taki sam jak znak y → – tylko dwie możliwości.
Na przykład: dla z = 21 − 20i mamy
p
x
2
+ y
2
=
√
21
2
+ 20
2
= 29.
Stąd u = ±5, v = ±2.
y < 0 → u · v < 0
w
1
= 5 − 2i,
oraz
w
2
= −5 + 2i = −w
1
.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = x + iy
w(z) ≡
√
z =
p
x + iy ≡ u(x, y) + iv(x, y)
(u + iv)
2
= x + iy
→
u
2
− v
2
=
x,
(∗)
2uv
=
y.
Podnosząc do kwadratu oba równania i dodając je stronami mamy
(u
2
− v
2
)
2
+ 4u
2
v
2
= x
2
+ y
2
albo
u
2
+ v
2
= +(!)
p
x
2
+ y
2
.
(∗)
Z równań (∗)
u
2
=
1
2
(x +
p
x
2
+ y
2
),
v
2
=
1
2
(−x +
p
x
2
+ y
2
).
→ u
1,2
v
1,2
??
Znak uv musi być taki sam jak znak y → – tylko dwie możliwości.
Na przykład: dla z = 21 − 20i mamy
p
x
2
+ y
2
=
√
21
2
+ 20
2
= 29.
Stąd u = ±5, v = ±2.
y < 0 → u · v < 0
w
1
= 5 − 2i,
oraz
w
2
= −5 + 2i = −w
1
.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = x + iy
w(z) ≡
√
z =
p
x + iy ≡ u(x, y) + iv(x, y)
(u + iv)
2
= x + iy
→
u
2
− v
2
=
x,
(∗)
2uv
=
y.
Podnosząc do kwadratu oba równania i dodając je stronami mamy
(u
2
− v
2
)
2
+ 4u
2
v
2
= x
2
+ y
2
albo
u
2
+ v
2
= +(!)
p
x
2
+ y
2
.
(∗)
Z równań (∗)
u
2
=
1
2
(x +
p
x
2
+ y
2
),
v
2
=
1
2
(−x +
p
x
2
+ y
2
).
→ u
1,2
v
1,2
??
Znak uv musi być taki sam jak znak y → – tylko dwie możliwości.
Na przykład: dla z = 21 − 20i mamy
p
x
2
+ y
2
=
√
21
2
+ 20
2
= 29.
Stąd u = ±5, v = ±2.
y < 0 → u · v < 0
w
1
= 5 − 2i,
oraz
w
2
= −5 + 2i = −w
1
.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = re
iφ
w(z) ≡
n
√
z =
n
√
re
iφ
≡ ρe
iψ
Mamy ρ
n
= r, albo ρ =
n
√
r. Analogicznie nψ = φ, ale – bardziej
dokładnie –
nψ = φ + 2kπ
ψ =
φ + 2kπ
n
;
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
Na przykład w =
3
√
−8 ≡
3
√
8e
iπ
. Ponieważ n = 3, k = 0, 1, 2
w
0
=
3
√
8e
iπ/3
= 2(cos π/3 + i sin π/3) = 1 + i
√
3,
w
1
=
3
√
8e
i(π/3+2π/3)
= . . . = −2,
w
2
=
3
√
8e
i(π/3+2·2π/3)
= . . . = 1 − i
√
3.
Wszystkie n pierwiastków liczby zespolonej z = re
iθ
leży
w n wierzchołkach wielokąta foremnego, wpisanego w okrąg
o promieniu
√
r.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = re
iφ
w(z) ≡
n
√
z =
n
√
re
iφ
≡ ρe
iψ
Mamy ρ
n
= r, albo ρ =
n
√
r. Analogicznie nψ = φ, ale – bardziej
dokładnie –
nψ = φ + 2kπ
ψ =
φ + 2kπ
n
;
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
Na przykład w =
3
√
−8 ≡
3
√
8e
iπ
. Ponieważ n = 3, k = 0, 1, 2
w
0
=
3
√
8e
iπ/3
= 2(cos π/3 + i sin π/3) = 1 + i
√
3,
w
1
=
3
√
8e
i(π/3+2π/3)
= . . . = −2,
w
2
=
3
√
8e
i(π/3+2·2π/3)
= . . . = 1 − i
√
3.
Wszystkie n pierwiastków liczby zespolonej z = re
iθ
leży
w n wierzchołkach wielokąta foremnego, wpisanego w okrąg
o promieniu
√
r.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = re
iφ
w(z) ≡
n
√
z =
n
√
re
iφ
≡ ρe
iψ
Mamy ρ
n
= r, albo ρ =
n
√
r. Analogicznie nψ = φ, ale – bardziej
dokładnie –
nψ = φ + 2kπ
ψ =
φ + 2kπ
n
;
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
Na przykład w =
3
√
−8 ≡
3
√
8e
iπ
. Ponieważ n = 3, k = 0, 1, 2
w
0
=
3
√
8e
iπ/3
= 2(cos π/3 + i sin π/3) = 1 + i
√
3,
w
1
=
3
√
8e
i(π/3+2π/3)
= . . . = −2,
w
2
=
3
√
8e
i(π/3+2·2π/3)
= . . . = 1 − i
√
3.
Wszystkie n pierwiastków liczby zespolonej z = re
iθ
leży
w n wierzchołkach wielokąta foremnego, wpisanego w okrąg
o promieniu
√
r.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = re
iφ
w(z) ≡
n
√
z =
n
√
re
iφ
≡ ρe
iψ
Mamy ρ
n
= r, albo ρ =
n
√
r. Analogicznie nψ = φ, ale – bardziej
dokładnie – nψ = φ + 2kπ
ψ =
φ + 2kπ
n
;
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
Na przykład w =
3
√
−8 ≡
3
√
8e
iπ
. Ponieważ n = 3, k = 0, 1, 2
w
0
=
3
√
8e
iπ/3
= 2(cos π/3 + i sin π/3) = 1 + i
√
3,
w
1
=
3
√
8e
i(π/3+2π/3)
= . . . = −2,
w
2
=
3
√
8e
i(π/3+2·2π/3)
= . . . = 1 − i
√
3.
Wszystkie n pierwiastków liczby zespolonej z = re
iθ
leży
w n wierzchołkach wielokąta foremnego, wpisanego w okrąg
o promieniu
√
r.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = re
iφ
w(z) ≡
n
√
z =
n
√
re
iφ
≡ ρe
iψ
Mamy ρ
n
= r, albo ρ =
n
√
r. Analogicznie nψ = φ, ale – bardziej
dokładnie – nψ = φ + 2kπ
ψ =
φ + 2kπ
n
;
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
Na przykład w =
3
√
−8 ≡
3
√
8e
iπ
. Ponieważ n = 3, k = 0, 1, 2
w
0
=
3
√
8e
iπ/3
= 2(cos π/3 + i sin π/3) = 1 + i
√
3,
w
1
=
3
√
8e
i(π/3+2π/3)
= . . . = −2,
w
2
=
3
√
8e
i(π/3+2·2π/3)
= . . . = 1 − i
√
3.
Wszystkie n pierwiastków liczby zespolonej z = re
iθ
leży
w n wierzchołkach wielokąta foremnego, wpisanego w okrąg
o promieniu
√
r.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = re
iφ
w(z) ≡
n
√
z =
n
√
re
iφ
≡ ρe
iψ
Mamy ρ
n
= r, albo ρ =
n
√
r. Analogicznie nψ = φ, ale – bardziej
dokładnie – nψ = φ + 2kπ
ψ =
φ + 2kπ
n
;
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
Na przykład w =
3
√
−8 ≡
3
√
8e
iπ
. Ponieważ n = 3, k = 0, 1, 2
w
0
=
3
√
8e
iπ/3
= 2(cos π/3 + i sin π/3) = 1 + i
√
3,
w
1
=
3
√
8e
i(π/3+2π/3)
= . . . = −2,
w
2
=
3
√
8e
i(π/3+2·2π/3)
= . . . = 1 − i
√
3.
Wszystkie n pierwiastków liczby zespolonej z = re
iθ
leży
w n wierzchołkach wielokąta foremnego, wpisanego w okrąg
o promieniu
√
r.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = re
iφ
w(z) ≡
n
√
z =
n
√
re
iφ
≡ ρe
iψ
Mamy ρ
n
= r, albo ρ =
n
√
r. Analogicznie nψ = φ, ale – bardziej
dokładnie – nψ = φ + 2kπ
ψ =
φ + 2kπ
n
;
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
Na przykład w =
3
√
−8 ≡
3
√
8e
iπ
. Ponieważ n = 3, k = 0, 1, 2
w
0
=
3
√
8e
iπ/3
= 2(cos π/3 + i sin π/3) = 1 + i
√
3,
w
1
=
3
√
8e
i(π/3+2π/3)
= . . . = −2,
w
2
=
3
√
8e
i(π/3+2·2π/3)
= . . . = 1 − i
√
3.
Wszystkie n pierwiastków liczby zespolonej z = re
iθ
leży
w n wierzchołkach wielokąta foremnego, wpisanego w okrąg
o promieniu
√
r.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = re
iφ
w(z) ≡
n
√
z =
n
√
re
iφ
≡ ρe
iψ
Mamy ρ
n
= r, albo ρ =
n
√
r. Analogicznie nψ = φ, ale – bardziej
dokładnie – nψ = φ + 2kπ
ψ =
φ + 2kπ
n
;
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
Na przykład w =
3
√
−8 ≡
3
√
8e
iπ
. Ponieważ n = 3, k = 0, 1, 2
w
0
=
3
√
8e
iπ/3
= 2(cos π/3 + i sin π/3) = 1 + i
√
3,
w
1
=
3
√
8e
i(π/3+2π/3)
= . . . = −2,
w
2
=
3
√
8e
i(π/3+2·2π/3)
= . . . = 1 − i
√
3.
Wszystkie n pierwiastków liczby zespolonej z = re
iθ
leży
w n wierzchołkach wielokąta foremnego, wpisanego w okrąg
o promieniu
√
r.
Pierwiastek z liczby zespolonej – z = re
iφ
w(z) ≡
n
√
z =
n
√
re
iφ
≡ ρe
iψ
Mamy ρ
n
= r, albo ρ =
n
√
r. Analogicznie nψ = φ, ale – bardziej
dokładnie – nψ = φ + 2kπ
ψ =
φ + 2kπ
n
;
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
Na przykład w =
3
√
−8 ≡
3
√
8e
iπ
. Ponieważ n = 3, k = 0, 1, 2
w
0
=
3
√
8e
iπ/3
= 2(cos π/3 + i sin π/3) = 1 + i
√
3,
w
1
=
3
√
8e
i(π/3+2π/3)
= . . . = −2,
w
2
=
3
√
8e
i(π/3+2·2π/3)
= . . . = 1 − i
√
3.
Wszystkie n pierwiastków liczby zespolonej z = re
iθ
leży
w n wierzchołkach wielokąta foremnego, wpisanego w okrąg
o promieniu
√
r.