Rachunek całkowy

Całka nieoznaczona

1. Funkcja pierwotna

Definicja 1. Funkcja F (x) jest funkcją pierwotną dla funkcji f (x) w przedziale

I = (a, b), jeżeli dla każdego x ∈ I zachodzi

F

0

(x) = f (x).

Przykłady.
a) f (x) = cos x, x ∈ R. Wtedy funkcja F (x) = sin x jest funkcją pierwotną

dla f (x).

b) g(x) = 3x

2

, x ∈ R. Wtedy G(x) = x

3

jest funkcją pierwotną dla g(x), ale

także G

1

(x) = x

3

+ 3 jest funkcją pierwotną dla g(x).

Twierdzenie 1. 1. Jeżeli F (x) jest funkcją pierwotną dla f (x) na przedziale

I, to F (x) + C, gdzie C ∈ R jest także funkcją pierwotną dla f (x).

2. Jeżeli F (x) i G(x) są funkcjami pierwotnymi dla f (x) przedziale I, to

G(x) = F (x) + C, gdzie C ∈ R na przedziale I.

Wniosek.
Jeżeli f (x) ma funkcję pierwotną na przedziale I, to ma ich nieskończenie

wiele i różnią sie one o stałą.

Twierdzenie 2. Jeżeli f (x) jest ciągła na przedziale I, to f ma funkcję pier-

wotną na przedziale I.

2. Pojęcie całki nieoznaczonej.

Definicja 2. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór

funkcji piewotnych F (x) dla f (x) na I i oznaczamy

R

f (x) dx; tj.

Z

f (x) dx = F (x) + C,

x ∈ I,

C ∈ R.

Własności

1.

µZ

f (x) dx

¶

0

= f (x),

x ∈ I.

2.

Z

f

0

(x) dx = f (x) + C,

x ∈ I,

C ∈ R.

Twierdzenie 3. Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to

1.

Z

(f (x) ± g(x)) dx =

Z

f (x) dx ±

Z

g(x) dx;

2.

Z

af (x) dx = a

Z

f (x) dx,

a ∈ R.

1

Uwaga
Całka z iloczynu nie jest równa iloczynowi całek.
Przykład

Z

x · x

2

dx6=

Z

x dx ·

Z

x

2

dx

3. Podstawowe wzory całkowania
4. Metody całkowania
Całkowanie przez części

Twierdzenie 4. Jeżeli funkcje f (x) i g(x) mają w pewnym przedziale I ciągłe

pochodne f

0

(x) oraz g

0

(x), to dla x ∈ I zachodzi:

Z

f (x) · g

0

(x) dx = f (x) · g(x) −

Z

f

0

(x) · g(x)) dx

Przykłady

Z

x

2

sin x dx = −x

2

cos x + 2x sin x + 2 cos x + C,

Z

xe

x

dx = (x − 1)e

x

+ C,

Z

ln x dx = x ln x − x + C.

Tą metodą policzymy całki typu:

R

x

n

sin x dx,

R

x

n

cos x dx,

R

x

n

e

x

dx,

R

e

x

sin x dx,

R

e

x

cos x dx oraz, gdy α 6= −1,

R

x

α

ln x dx.

Całkowanie przez podstawianie

Twierdzenie 5. Jeżeli

1. funkcja t = ϕ(x), gdzie ϕ : I 7→ T jest ciągła i ma ciągłą pochodną ϕ

0

w I;

2. funkcja f jest ciągła w przedziale T ,
to

Z

f [ϕ(x)] ϕ

0

(x) dx =

Z

f (t) dt = F [ϕ(x)] + C.

Przykład

Z

x

(x

2

+ 1)

2

dx.

2

3. Podstawowe wzory całkowania

R

0 dx = C

R

x

α

dx =

x

α+1

α+1

+ C, α 6= −1

R

1

x

dx = ln |x| + C

R

a

x

dx =

a

x

ln a

+ C

R

e

x

dx = e

x

+ C

R

sin x dx = − cos x + C

R

cos x dx = sin x + C

R

1

(sin x)

2

dx = −ctg x + C

R

1

(cos x)

2

dx = tg x + C

R

1

x

2

+1

dx = arctg x + C

R

1

√

1−x

2

dx = arcsin x + C

R

sh x dx = ch x + C

R

ch x dx = sh x + C

R

1

ch

2

x

dx = th x + C

R

1

sh

2

x

dx = −cth x + C

3