1

4. CAŁKI NIEOZNACZONE

Def.4.1.

Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli

/

( )

( )

x I

F x

f x







.

Tw.4.1. (podstawowe o funkcjach pierwotnych)
Niech funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I.
Wtedy
a) funkcja G(x) = F(x)+C, gdzie C



R, jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I,

b) każdą funkcję pierwotną funkcji f na przedziale I można przedstawić w postaci F(x) + D, gdzie D



R.

Tw.4.2. (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)
Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotną na tym przedziale.

Def.4.2.
Niech funkcja F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I.
Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji





R

C

C

x

F





:

)

(

.

Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczmy przez



dx

x

f

)

(

.

C nazywamy stałą całkowania.

Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I.
Wtedy

a)

/

( )

( )

x I

f x dx

f x





 





 

b)

/

( )

( )

x I

f

x dx

f x

C







 

, C



R.

Całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych

Funkcja

Całka

nieoznaczona

Zakres zmienności

0

C

R

x





x

C

x







1

1









N



{0}, x



R

\{ 1},

0

R

x













{-2, -3, -4, ...}, x



0

x

1

C

x



ln

0



x

x

a

C

a

a

x



ln

0 < a



1, x



R

x

e

C

e

x



R

x



x

sin

C

x





cos

R

x



x

cos

C

x



sin

R

x



x

2

sin

1

C

x





ctg

Z

k

gdzie

k

x





,



x

2

cos

1

C

x



tg

Z

k

gdzie

k

x







,

2





2

1

1

x



C

x



arctg

lub

C

x



arcctg

-

R

x



2

2

1

1

x



C

x



sin

arc

lub

C

x





cos

arc

1



x

x

sh

C

x



ch

R

x



x

ch

C

x



sh

R

x



x

2

sh

1

C

x





cth

0



x

x

2

ch

1

C

x



th

R

x



Wzór

Zakres zmienności











C

n

f

dx

x

f

x

f

n

n

1

)

(

)

(

1

/

 

0





N

n

C

x

f

dx

x

f

x

f







)

(

ln

)

(

)

(

/

0

)

(



x

f

C

x

f

dx

x

f

x

f







)

(

2

)

(

)

(

/

0

)

(



x

f

Tw. 4.3.
Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne na przedziale I



R, to

a)





( )

( )

( )

( )

x I

f x

g x dx

f x dx

g x dx









 





,

b)

( )

( )

x I

cf x dx

c f x dx





 



.

Tw.4.4. o całkowaniu przez części
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale I



R, to

/

/

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

x I

f x g x dx

f x g x

f

x g x dx







 



.

Tw.4.5. o całkowaniu przez podstawienie
Jeżeli

1. funkcja

R

I

f



:

jest ciągła na I,

2. funkcja

I

J



:



ma ciągłą pochodną na J,

to









/

( )

( )

( )

( )

f x dx

f

t

t dt

F

t

C

















gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f, C



R.

Całkowanie funkcji wymiernych

Def.4.3.

Funkcję wymierną

)

(

)

(

)

(

x

M

x

L

x

W



nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy

od stopnia wielomianu w mianowniku.

Każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.

3

Def.4.4.

Ułamek prosty pierwszego rodzaju - funkcja wymierna właściwa postaci





n

a

x

A



, gdzie n



N oraz a,

A



R.

Ułamek prosty drugiego rodzaju - funkcja wymierna właściwa postaci





2

n

Bx C

x

bx c







, gdzie n



N oraz

b, c, B, C



R oraz

2

4

0

b

c

 





.

Tw. 4.6 (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
Niech W będzie funkcją wymierną właściwą oraz niech mianownik tej funkcji ma rozkład na czynniki
postaci:

















s

r

m

s

s

m

n

r

n

q

x

p

x

q

x

p

x

a

x

a

x























2

1

1

2

1

...

...

1

1

,

gdzie

N

s

r



,

,

N

n

i



,

R

a

i



dla

r

i





1

oraz

N

m

j



,

R

q

p

j

j



,

,

0

4

2









j

j

j

q

p

dla

s

j





1

.

Wtedy

1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

n

n

n

n

m

m

m

m

m

A

BA

A

A

B

B

W x

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

P x

Q

P x

Q

P x

Q

x

p x

q

x

p x

q

x

p x

q

R x

S

R x

S

R x

S

x

p x

q

x

p x

q



 























 

















 

































































2

2

2

2

2

(

)

m

x

p x

q



















gdzie A

1

, …, B

1

, …, P

1

, Q

1

, …, R

1

, S

1

, … są odpowiednio dobranymi liczbami rzeczywistymi.

Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju.


Całkowanie ułamków prostych

1. Ułamki proste pierwszego rodzaju

C

a

x

A

a

x

Adx











ln











C

a

x

n

A

a

x

Adx

n

n

















1

1

, n > 1

2. Ułamki proste drugiego rodzaju













2

2

2

2

1

2

2

n

n

n

Bx C

B

x

p

Bp

dx

dx

C

dx

x

px

q

x

px

q

x

px

q









































Pierwszą z całek obliczamy za pomocą podstawienia

2

t

x

px q







, drugą sprowadzając trójmian

kwadratowy

2

x

px q





do postaci kanonicznej.

Algorytm całkowania funkcji wymiernych

1. Funkcję wymierną zapisujemy w postaci sumy wielomianu (być może zerowego) i funkcji wymiernej właściwej.
2. Mianownik funkcji wymiernej właściwej rozkładamy na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne.
3. Zapisujemy rozkład (teoretyczny) funkcji wymiernej właściwej na ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju.
4. Znajdujemy nieznane współczynniki tego rozkładu.
5. Obliczamy całki poszczególnych składników rozkładu funkcji wymiernej, tj. wielomianu i ułamków prostych.

4

Wzór rekurencyjny dla całek





2

2

n

dx

x

a





Niech











n

n

a

x

dx

I

2

2

, a > 0, n



N. Wtedy





n

n

n

I

na

n

a

x

na

x

I

C

a

x

a

I

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

ctg

ar

1















.

Najczęściej spotykane całki postaci





2

2

n

dx

x

a





C

a

x

a

a

x

dx









tg

arc

1

2

2









C

a

x

a

a

x

a

x

a

x

dx













tg

arc

2

1

2

3

2

2

2

2

2

2













C

a

x

a

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

dx

















tg

arc

8

3

8

3

4

5

2

2

4

2

2

2

2

3

2

2

















C

a

x

a

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

dx





















tg

arc

16

5

16

5

24

5

6

7

2

2

6

2

2

2

4

3

2

2

2

4

2

2