1
CAŁKI NIEOZNACZONE
Funkcją pierwotną funkcji
)
(x
f
w przedziale
b
x
a
≤
≤
nazywamy każdą funkcję
)
(x
F
taką, że )
(
)
(
x
f
x
F
=
′
dla każdego x z przedziału
b
x
a
≤
≤
.
Dwie funkcje mające w danym przedziale tę samą skończoną pochodną mogą się różnić co najwyżej o stałą.
Całką nieoznaczoną
funkcji
)
(x
f
oznaczaną symbolem
∫
,
)
( dx
x
f
nazywamy wyrażenie
C
x
F
+
)
(
, gdzie
)
(x
F
jest funkcją pierwotną funkcji
)
(x
f
, a C jest dowolną stałą.
Mamy więc
∫
+
=
C
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
, gdzie
).
(
)
(
x
f
x
F
=
′
Podstawowe wzory rachunku całkowego
1
.
.
1
,
1
1
∫
−
≠
+
+
=
+
a
C
a
x
dx
x
a
a
2.
∫
≠
+
=
0
,
ln
x
C
x
x
dx
Kilka szczególnych przypadków z różnym a to:
• dla
0
=
a
:
∫
+
=
C
x
dx
;
• dla
2
1
−
=
a
:
∫
>
+
=
0
2
x
C
x
x
dx
;
• dla
2
−
=
a
:
∫
≠
+
−
=
0
1
2
x
C
x
x
dx
.
3.
∫
+
=
.
C
e
dx
e
x
x
4.
∫
≠
>
+
=
1
,
0
,
ln
a
a
C
a
a
dx
a
x
x
. 5.
∫
+
=
.
sin
cos
C
x
xdx
6.
∫
+
−
=
.
cos
sin
C
x
xdx
7.
∫
≠
+
=
.
0
cos
cos
2
x
C
tgx
x
dx
8.
∫
≠
+
−
=
.
0
sin
,
sin
2
x
C
ctgx
x
dx
9.
∫
<
<
−
+
−
=
+
=
−
.
1
1
,'
arccos
arcsin
1
2
x
C
x
C
x
x
dx
10.
∫
+
−
=
+
=
+
'.
1
2
C
arcctgx
C
arctgx
x
dx
Własności całek nieoznaczonych:
1. Całka sumy równa się sumie całek, (addytywność całki względem sumy podcałkowej) tzn.
(
)
∫
∫
∫
+
=
+
.
)
(
)
(
)
(
)
(
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
(podobnie jest z różnicą)
2. Stały czynnik można wynieść przed znak całki, tzn.:
∫
∫
≠
=
.
0
,
)
(
)
(
k
dx
x
f
k
dx
x
kf
Metody całkowania
1. (Całkowanie przez części ) Jeżeli
v
u, są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to
'
'
∫
∫
⋅
−
⋅
=
⋅
v
u
v
u
v
u
2. (Całkowanie przez podstawienie) Jeżeli dla
u
x
g
b
x
a
=
≤
≤
)
(
,
jest funkcją mającą ciągłą pochodną oraz
B
x
g
A
≤
≤
)
(
, a funkcja
)
(u
f
jest ciągła w przedziale
[ ]
B
A,
, to
∫
∫
=
′
,
)
(
)
(
))
(
(
du
u
f
dx
x
g
x
g
f
przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić
)
(x
g
u
=
Jeśli
∫
+
=
C
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
to
∫
+
+
=
+
C
a
x
F
dx
a
x
f
)
(
)
(
2
CAŁKA OZNACZONA
Całkę oznaczoną funkcji f w przedziale
]
,
[ b
a
oznaczamy symbolem :
∫
b
a
dx
x
f
)
(
.
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ
Jeżeli w przedziale
]
,
[ b
a
jest
0
)
(
≥
x
f
to pole obszaru ograniczonego krzywą
)
((x
f
y
=
, odcinkiem osi Ox oraz
prostymi
b
x
a
x
=
= ,
równa się całce oznaczonej
∫
b
a
dx
x
f
)
(
. Jeżeli zaś w przedziale
]
,
[ b
a
jest
0
)
(
≤
x
f
, to
analogiczne pole równa się -
∫
b
a
dx
x
f
)
(
.
Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną. (Twierdzenie Newtona-Leibniza)
Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f , ciągłej w przedziale
]
,
[ b
a
, tzn. jeśli )
(
)
(
'
x
f
x
F
=
, to zachodzi wzór:
∫
−
=
b
a
a
F
b
F
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
=
b
a
x
F )]
(
[
.
DŁUGOŚĆ ŁUKU KRZYWEJ
Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci
)
(x
f
y
=
, przy czym funkcja f ma w przedziale
b
x
a
≤
≤
ciągłą
pochodną, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem:
dx
x
f
L
b
a
∫
+
=
2
)]
(
'
[
1
.
OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZCHNI BRYŁ OBROTOWYCH
Niech dany będzie łuk AB krzywej o równaniu
)
(x
f
y
=
gdzie f jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale
b
x
a
≤
≤
. Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią powstałą w wyniku obrotu łuku AB
dookoła osi Ox wyraża się wzorem:
∫
=
b
a
dx
x
f
V
2
)]
(
[
π
, gdy obrót wokół osi Oy:
dx
x
xf
V
b
a
∫
=
)
(
2
π
Pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku AB wokół osi Ox obliczamy według wzoru:
dx
x
f
x
f
S
b
a
∫
+
=
2
)]
(
'
[
1
|
)
(
|
2
π
.
.
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
CAŁKI FUNKCJI NIEOGRANICZONYCH
Jeżeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale
h
c
x
a
−
≤
≤
,
0
>
h
oraz w każdym przedziale
0
,
>
≤
≤
+
k
b
x
k
c
i jeżeli istnieją granice:
0
lim
→
h
∫
−h
c
a
dx
x
f
)
(
oraz
∫
+
→
b
k
c
k
dx
x
f
)
(
lim
0
,
to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale
]
,
[ b
a
i oznaczamy symbolem
∫
b
a
dx
x
f
)
(
.
Jeżeli któraś z powyższych granic nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.
CAŁKI OZNACZONE W PRZEDZIALE NIESKOŃCZONYM.
Jeżeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym
,
v
x
a
≤
≤
( a - ustalone, v -
dowolne ) oraz istnieje granica
∫
∞
→
v
a
v
dx
x
f
)
(
lim
, to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale
+∞
≤
≤ x
a
i oznaczamy symbolem
∫
+∞
a
dx
x
f
)
(
.
Analogicznie określa się znaczenie symbolu :
∫
∞
−
b
dx
x
f
)
(
jako granicę
∫
−∞
→
b
u
u
dx
x
f
)
(
lim
.