Całki
Made by spajder
Jeśli zauwaŜysz błędy, napisz na adres :
Spajder1987@interia.pl
1.
Wprost z definicji:
( )
(
) ( )
∞
∪
−
∞
−
∈
+
=
−
−
∈
+
=
−
+
=
−
+
=
+
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
+
−
=
+
=
+
=
+
=
+
=
−
+
−
=
+
=
−
≠
+
+
−
=
+
=
+
=
+
=
+
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
,
1
1
,
;
arctgh
1
1
,
1
;
artgh
1
arcosh
1
arsinh
1
ctg
sinh
tgh
cosh
sinh
cosh
cosh
sinh
arctg
1
ctg
sin
tg
cos
sin
cos
arcsin
1
cos
sin
ln
1
;
1
1
;
|
|
ln
)
(
)
(
'
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x
C
x
x
dx
x
C
x
x
dx
C
x
x
dx
C
x
x
dx
C
h
x
dx
C
x
x
dx
C
x
xdx
C
x
xdx
C
x
x
dx
C
x
x
dx
C
x
x
dx
C
x
xdx
C
e
dx
e
C
x
x
dx
C
x
xdx
C
a
a
dx
a
n
C
n
x
n
C
x
dx
x
C
ax
adx
C
x
dx
C
x
f
dx
x
f
x
x
x
x
n
n
25)
≠
+
−
+
=
+
+
=
≠
+
−
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
−
−
∫
∫
∫
1
;
2
2
)
1
(
1
;
|
1
|
ln
2
1
1
;
)
1
(
2
1
;
|
|
ln
2
1
2
1
)
1
(
2
2
1
2
1
)
1
(
1
2
2
1
2
2
2
n
C
n
x
n
C
x
n
C
n
t
n
C
t
t
dt
x
xdx
xdx
dt
x
t
x
xdx
n
n
n
n
n
26)
załoŜenia:
1
;
>
∈
n
Z
n
∫
∫
∫
∫
+
−
+
+
=
+
−
+
=
+
n
n
n
n
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
2
2
2
2
2
2
2
2
Oznaczmy
∫
+
=
n
n
x
dx
I
)
1
(
2
, więc
∫
+
−
=
−
n
n
n
x
dx
x
I
I
)
1
(
1
.
26
2
2
1
=
+
−
−
=
=
+
=
=
=
+
=
+
∫
∫
−
1
2
2
2
2
2
)
1
)(
2
2
(
1
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
n
n
n
n
x
n
v
du
x
x
dv
x
u
x
xdx
x
x
dx
x
=
+
−
+
+
−
−
=
+
−
+
+
−
−
∫
∫
−
−
−
−
1
2
1
2
1
2
1
2
)
1
(
)
2
2
(
1
)
1
)(
2
2
(
)
1
)(
2
2
(
)
1
)(
2
2
(
n
n
n
n
x
dx
n
x
n
x
x
n
dx
x
n
x
1
1
2
)
2
2
(
1
)
1
(
2
2
1
−
−
−
+
+
⋅
−
−
=
n
n
I
n
x
x
n
podstawiając do <26.1>:
1
1
2
1
2
2
1
)
1
(
2
2
1
−
−
−
−
−
+
⋅
−
+
=
∫
n
n
n
n
I
n
x
x
n
I
I
a poniewaŜ:
∫
+
=
n
n
x
dx
I
)
1
(
2
to:
∫
∫
−
−
+
−
−
+
+
⋅
−
=
+
1
2
1
2
2
)
1
(
2
2
3
2
)
1
(
2
2
1
)
1
(
n
n
n
x
dx
n
n
x
x
n
x
dx
27)
załoŜenie:
+
∈
<
−
=
∆
Z
n
q
p
;
0
4
2
=
∆
−
+
=
−
−
+
=
−
+
+
+
=
+
+
∫
∫
∫
∫
n
n
n
n
p
x
dx
q
p
p
x
dx
p
q
p
px
x
dx
q
px
x
dx
]
4
)
2
[(
]
4
4
)
2
[(
)
4
4
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
=
+
∆
−
−
Λ
−
∆
−
⋅
∆
−
=
∆
−
=
∆
−
−
=
=
+
∆
−
−
∆
−
∫
∫
n
n
n
n
p
x
dx
dx
dt
p
x
t
p
x
dx
]
1
)
2
[(
2
2
)
4
(
2
2
]
1
)
2
[(
)
4
(
2
2
∫
+
∆
−
−
n
n
t
dt
)
1
(
)
4
(
2
2
1
tutaj naleŜy skorzystać ze wzoru <26> (dla n>1).
28)
ZałoŜenia:
0
4
;
2
<
−
∈
+
q
p
Z
n
∫
∫
∫
∫
=
+
+
−
+
+
+
+
=
+
+
−
+
+
=
+
+
+
dx
q
px
x
p
A
B
A
dx
q
px
x
p
x
A
dx
q
px
x
p
p
A
B
x
A
dx
q
px
x
B
Ax
n
n
n
n
)
(
2
2
)
(
2
2
)
(
2
2
2
)
(
2
2
2
2
∫
∫
=
+
+
−
⋅
+
=
+
=
+
+
=
=
n
n
q
px
x
dx
A
Ap
B
A
t
dt
A
dx
p
x
dt
q
px
x
t
)
(
2
2
2
)
2
(
2
2
=
−
=
−
−
=
=
=
≠
+
+
−
−
=
+
+
−
+
∫
∫
−
2
2
2
1
2
4
2
4
2
27
1
;
)
(
)
2
(
)
1
(
2
1
;
)
(
)
2
(
|
|
ln
2
q
p
dx
du
p
q
p
x
u
n
q
px
x
dx
Ap
B
n
At
n
q
px
x
dx
Ap
B
t
A
n
n
n
n
(
)
+
∆
−
−
+
−
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
=
∫
−
−
n
n
n
u
du
Ap
B
n
q
px
x
A
C
p
q
p
x
p
q
Ap
B
q
px
x
A
1
)
4
)(
2
(
)
1
(
2
)
(
4
2
arctg
)
2
4
)(
2
(
)
ln(
2
2
2
1
1
2
2
2
2
tutaj zastosować wzór <26>
29)
ZałoŜenia:
+
∈
R
b
C
b
k
x
arctg
b
C
b
t
arctg
b
b
t
dt
dx
dt
k
x
t
b
k
x
dx
+
−
=
+
=
=
+
=
=
−
=
=
+
−
∫
∫
1
1
1
)
(
2
2
30)
ZałoŜenia :
0
sin
≠
x
∫
∫
∫
∫
+
=
+
=
=
=
=
=
=
=
C
x
C
t
t
dt
x
dx
dt
x
tg
t
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
|
2
tg
|
ln
|
|
ln
2
cos
2
2
cos
2
tg
2
2
cos
2
sin
2
sin
2
2
31)
ZałoŜenia :
0
cos
≠
x
=
+
=
=
=
=
+
=
=
+
=
+
=
=
∫
∫
∫
C
t
t
dt
dx
dt
x
t
x
dx
x
x
x
dx
|
2
tg
|
ln
30
sin
2
)
2
sin(
)
2
sin(
cos
cos
π
π
π
C
x
+
+
|
)
2
4
tg(
|
ln
π
32)
ZałoŜenia:
0
cos
sin
≠
x
x
C
x
C
t
t
dt
dx
dt
x
t
x
dx
x
dx
x
x
dx
+
=
+
=
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
|
tg
|
ln
|
2
tg
|
ln
30
sin
2
2
2
sin
2
2
sin
2
1
cos
sin
33)
ZałoŜenia :
0
cos
sin
≠
x
x
=
−
−
=
−
−
=
+
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
x
dx
x
dx
x
x
xdx
x
x
xdx
x
x
dx
x
x
x
x
dx
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
cos
cos
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
)
cos
(sin
cos
sin
C
x
x
+
−
ctg
tg
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
) (
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)(
)
C
b
ax
n
n
a
b
x
n
a
C
n
n
a
b
ax
x
n
a
b
ax
C
n
n
a
b
ax
b
ax
x
n
a
C
n
n
a
b
ax
n
a
b
ax
x
C
n
t
n
a
n
a
b
ax
x
dt
t
n
a
n
a
b
ax
x
adx
dt
b
ax
t
n
a
dx
b
ax
n
a
b
ax
x
n
a
b
ax
v
du
b
ax
dv
x
u
dx
b
ax
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
−
−
=
+
+
+
−
−
+
⋅
+
=
+
+
+
+
−
+
+
=
+
+
+
+
−
+
+
=
+
+
+
⋅
+
−
+
+
=
+
−
+
+
=
=
+
=
=
+
+
−
+
+
=
+
+
=
=
+
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
)
1
(
)
1
(
1
41)
załoŜenie :
0
≠
+
b
ax
(
)
C
b
ax
a
b
a
b
a
x
C
b
ax
a
b
a
b
ax
C
a
a
b
a
t
t
dt
a
b
dt
a
at
dt
b
t
a
a
b
t
x
adx
dt
b
ax
t
b
ax
xdx
+
+
−
+
=
+
+
−
+
=
+
−
=
−
=
−
=
−
=
=
+
=
=
+
∫
∫
∫
∫
ln
ln
ln
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
PoniewaŜ
2
a
b
jest stałą moŜna ją włączyć do stalej całkowania. Tak więc:
C
b
ab
b
a
a
x
b
ax
xdx
+
+
−
=
+
∫
ln
2
42)
załoŜenia:
0
≠
+
b
ax
(
)
(
)
(
)
C
b
ax
a
b
ax
a
t
a
t
a
C
t
a
t
a
t
dt
a
t
dt
a
at
dt
b
t
a
a
b
t
x
adx
dt
b
ax
t
b
ax
xdx
+
+
+
+
=
+
=
+
−
⋅
−
=
−
=
−
=
−
=
=
+
=
=
+
∫
∫
∫
∫
ln
1
1
1
ln
1
1
1
ln
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
43)
załoŜenia:
{ }
2
,
1
;
0
∉
≠
+
n
b
ax
(
)
(
)
(
) (
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
(
)
(
)(
)(
)
(
)
(
)(
)(
)
C
b
ax
n
n
a
b
x
n
a
C
b
ax
n
n
a
b
x
n
a
C
b
ax
n
n
a
bn
b
bn
b
nax
ax
C
b
ax
n
n
a
bn
b
n
b
ax
C
n
n
a
n
b
n
t
t
C
n
t
a
b
n
t
a
t
a
b
dt
t
a
at
dt
b
t
a
a
b
t
x
adx
dt
b
ax
t
b
ax
xdx
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
n
+
+
−
−
−
−
=
+
+
−
−
−
−
=
+
+
−
−
+
−
−
+
−
=
+
+
−
−
+
−
−
+
=
+
−
−
−
−
−
−
⋅
=
+
−
⋅
−
−
⋅
=
−
=
−
=
−
=
=
+
=
=
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
44)
załoŜenia:
0
≠
+
b
ax
( )
(
)
(
)
C
b
ax
b
b
ax
b
b
ax
a
C
t
b
bt
t
a
t
dt
b
dt
b
tdt
a
dt
t
b
tb
t
a
t
a
dt
b
t
a
a
b
t
x
adx
dt
b
ax
t
b
ax
dx
x
+
+
+
+
−
+
=
+
+
−
=
+
−
=
+
−
=
−
=
−
=
=
+
=
=
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
ln
2
2
1
ln
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
2
2
45)
załoŜenia:
0
≠
+
b
ax
(
)
(
)
C
b
ax
b
b
ax
b
b
ax
a
C
t
b
t
b
t
a
t
dt
b
t
dt
b
dt
a
dt
t
b
tb
t
a
t
a
dt
b
t
a
a
b
t
x
adx
dt
b
ax
t
b
ax
dx
x
+
+
−
+
−
+
=
+
−
−
=
+
−
=
+
−
=
−
=
−
=
=
+
=
=
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2
3
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
ln
2
1
ln
2
1
2
1
2
1
1
46)
załoŜenia:
0
≠
+
b
ax
(
)
(
)
(
)
C
b
ax
b
b
ax
b
b
ax
a
C
t
b
t
b
t
a
t
dt
b
t
dt
b
t
dt
a
dt
t
b
tb
t
a
t
a
dt
b
t
a
a
b
t
a
adx
dt
b
ax
t
b
ax
dx
x
+
+
−
+
+
+
=
+
−
+
=
+
−
=
+
−
=
−
=
−
=
=
+
=
=
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2
2
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
2
2
2
ln
1
2
2
ln
1
2
1
2
1
1
47)
załoŜenia:
{
}
3
,
2
,
1
;
0
∉
≠
+
n
b
ax
(
)
(
)
[
]
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
C
b
ax
n
b
b
ax
n
b
b
ax
n
a
C
n
t
b
n
bt
n
t
a
dt
t
b
dt
t
b
dt
t
a
t
b
bt
t
a
t
a
dt
b
t
a
a
b
t
x
adx
dt
b
ax
t
b
ax
dx
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
−
−
+
−
+
+
−
−
=
+
−
+
−
−
−
=
+
−
=
+
−
=
−
=
−
=
=
+
=
=
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
1
2
2
3
3
1
2
2
3
3
2
1
2
3
2
2
3
2
2
2
1
2
2
3
1
1
1
2
2
3
1
2
1
2
1
1
48)
załoŜenia:
(
)
0
;
0
≠
≠
+
b
b
ax
x
(
)
∫
+
b
ax
x
dx
Funkcję podcałkową rozbijam na sumę ułamków prostych:
(
)
C
x
b
ax
b
a
bx
C
b
ax
b
a
bx
x
b
a
b
ax
dx
b
a
x
dx
b
x
dx
b
a
b
ax
x
dx
b
a
A
b
a
Aa
+
+
+
−
=
+
+
+
−
−
>=
=<
+
+
+
−
=
+
−
=
⇒
+
=
∫
∫
∫
∫
ln
1
ln
1
ln
21
1
:
Tak więa
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
50)
załoŜenia:
(
)
0
≠
+
b
ax
abx
(
)
∫
+
2
2
b
ax
x
dx
Funkcję podcałkową rozbijam na sumę ułamków prostych.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
0
podstawiam
1
1
b
B
Bb
x
Dx
b
ax
Cx
b
ax
B
b
ax
Ax
b
ax
D
b
ax
C
x
B
x
A
b
ax
x
=
⇒
≡
=
+
+
+
+
+
+
≡
+
+
+
+
+
≡
+
2
1
podstawiam
−
⋅
≡
−
=
a
b
D
a
b
x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
:
więw
a
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
:
podstawiam
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
+
≡
+
+
+
+
+
+
+
+
≡
+
+
+
+
+
+
+
+
≡
+
+
+
+
+
+
≡
=
x
b
a
Ab
x
Cb
b
a
Aab
x
Ca
Aa
x
b
a
Cbx
Cax
x
b
a
x
b
a
x
Ab
Aabx
x
Aa
x
b
a
b
ax
Cx
b
abx
x
a
b
b
abx
x
a
Ax
x
b
a
b
ax
Cx
b
ax
b
b
ax
Ax
b
a
D
3
2
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
:
pierwszego
rownania
do
podstawiam
2
2
:
wyliczam
równania
ostatniego
z
0
0
2
2
2
0
b
a
C
b
a
Ca
b
a
A
b
a
Ab
b
a
Ab
Cb
b
a
Aab
Ca
Aa
=
=
−
=
−
=
=
=
+
+
+
=
+
tak więc:
(
)
(
)
(
)
(
)
C
x
b
ax
b
x
ab
b
ax
b
a
C
b
ax
b
a
b
ax
b
a
x
b
x
b
a
b
ax
dx
b
a
b
ax
dx
b
a
x
dx
b
x
dx
b
a
b
ax
x
dx
+
+
−
+
+
−
=
+
+
+
+
+
−
−
>=
=<
+
+
+
+
+
−
=
+
∫
∫
∫
∫
∫
ln
2
1
1
ln
2
1
ln
2
21
2
1
2
3
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
51)
załoŜenia:
0
2
2
≠
−
a
x
(
)(
)
∫
∫
+
−
=
−
a
x
a
x
dx
a
x
dx
2
2
rozkładam funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych:
(
)(
)
(
) (
)
a
B
Ba
a
x
a
A
Aa
a
x
a
x
B
a
x
A
a
x
B
a
x
A
a
x
a
x
2
1
2
1
podstawiam
2
1
2
1
podstawiam
1
1
−
=
⇒
−
≡
−
=
=
⇒
≡
=
−
+
+
≡
+
+
−
≡
+
−
tak więc:
(
)
∫
∫
∫
+
+
−
=
+
+
−
−
>=
=<
+
−
−
=
−
C
a
x
a
x
a
C
a
x
a
x
a
a
x
dx
a
a
x
dx
a
a
x
dx
ln
2
1
ln
ln
2
1
21
2
1
2
1
2
2
b
k
x
+
−
2
)
(
1
b
k
x
arctg
b
−
1
+
∈
R
b
29
(
)
n
b
ax
x
+
(
)
(
)(
)(
)
1
2
2
1
1
+
+
+
+
−
−
n
b
ax
n
n
a
b
x
n
a
{
}
1
,
2
−
−
∉
n
40
b
ax
x
+
C
b
ax
a
b
a
b
a
x
+
+
−
+
ln
2
2
0
≠
+
b
ax
41
(
)
2
b
ax
x
+
(
)
b
ax
a
b
ax
a
+
+
+
ln
1
1
2
2
0
≠
+
b
ax
42
(
)
n
b
ax
x
+
( )
( )(
)(
)
1
2
2
1
1
−
+
−
−
−
−
n
b
ax
n
n
a
b
x
n
a
{ }
2
,
1
;
0
∉
≠
+
n
b
ax
43
b
ax
x
+
2
(
)
(
)
+
+
+
−
+
b
ax
b
b
ax
b
b
ax
a
ln
2
2
1
2
2
3
0
≠
+
b
ax
44
(
)
2
2
b
ax
x
+
+
−
+
−
+
b
ax
b
b
ax
b
b
ax
a
2
3
ln
2
1
0
≠
+
b
ax
45
(
)
3
2
b
ax
x
+
(
)
+
−
+
+
+
2
2
3
2
2
ln
1
b
ax
b
b
ax
b
b
ax
a
0
≠
+
b
ax
46
(
)
n
b
ax
x
+
2
(
)(
)
(
)(
)
( )(
)
+
−
−
+
−
+
+
−
−
−
−
−
1
2
2
3
3
1
2
2
3
1
1
n
n
n
b
ax
n
b
b
ax
n
b
b
ax
n
a
{ }
3
,
2
,
1
;
0
∉
≠
+
n
b
ax
47
(
)
b
ax
x
+
1
x
b
ax
b
+
−
ln
1
(
)
0
;
0
≠
≠
+
b
b
ax
x
48
(
)
b
ax
x
+
2
1
x
b
ax
b
a
bx
+
+
−
ln
1
2
(
)
0
≠
+
b
ax
abx
49
(
)
2
2
1
b
ax
x
+
(
)
+
−
+
+
−
x
b
ax
b
x
ab
b
ax
b
a
ln
2
1
1
3
2
2
(
)
0
≠
+
b
ax
abx
50
2
2
1
a
x
−
a
x
a
x
a
+
−
ln
2
1
0
2
2
≠
−
a
x
51
2
2
1
a
x
−
(
)
(
) ( )
∞
∪
−
∞
−
∈
+
−
−
∈
+
−
,
1
1
,
;
arctg
1
,
;
artgh
1
x
C
a
x
a
a
a
x
C
a
x
a
0
2
2
≠
−
a
x
52
Całki funkcji niewymiernych
2
2
1
x
a
−
a
x
arcsin
0
2
2
>
−
x
a
9
2
2
1
x
a
−
a
x
arcsin
0
2
2
>
−
x
a
56
2
2
x
a
−
2
2
2
2
arcsin
2
x
a
x
a
x
a
−
+
0
2
2
>
−
x
a
10
2
2
x
a
−
2
2
2
2
arcsin
2
x
a
x
a
x
a
−
+
0
2
2
>
−
x
a
57
k
x
+
2
1
|
|
ln
2
k
x
x
+
+
0
>
k
11
2
2
1
a
x
+
a
x
arsinh
59
k
x
+
2
k
x
x
k
x
x
+
+
+
+
2
2
2
|
|
ln
0
>
k
12
2
2
x
a
+
2
2
2
arsinh
2
a
x
a
x
a
x
a
+
+
58
bx
a
+
3
)
(
3
2
bx
a
b
+
+
∈
R
b
a,
23
2
2
x
a
x
−
(
)
3
2
2
3
1
x
a
−
−
0
2
2
≥
−
x
a
53
x
x
a
2
2
−
x
x
a
a
a
x
a
2
2
2
2
ln
−
+
−
−
0
;
0
2
2
≠
>
−
x
x
a
60
x
x
a
2
2
−
a
x
a
a
x
a
a
+
−
−
−
2
2
2
2
ln
2
0
;
0
2
2
≠
>
−
x
x
a
61
2
2
2
x
a
x
−
2
2
2
2
arcsin
2
x
a
x
a
x
a
−
−
0
2
2
>
−
x
a
62
2
2
x
a
x
+
(
)
3
2
2
3
1
x
a
+
63
2
2
x
a
x
+
(
)
3
2
2
3
1
x
a
+
64
2
2
a
x
x
+
2
2
a
x
+
65
2
2
a
x
x
+
2
2
a
x
+
66
Całki funkcji trygonometrycznych
x
tg
|
cos
|
ln
x
−
U
Z
k
k
R
x
∈
+
∈
2
\
π
π
2
x
ctg
|
sin
|
ln
x
U
Z
k
k
R
x
∈
∈
π
\
3
x
n
sin
dx
x
n
n
x
x
n
n
n
∫
−
−
−
+
−
2
1
sin
1
sin
cos
1
)
,
3
(
∞
∩
∈
Z
n
7
x
n
cos
∫
−
−
−
+
xdx
n
n
x
x
n
n
n
2
1
cos
1
cos
sin
1
)
,
3
(
∞
∩
∈
Z
n
8
nx
mx sin
sin
)
(
2
)]
(
sin[
)
(
2
)]
(
sin[
n
m
n
m
x
n
m
n
m
x
+
+
−
−
−
n
m
±
≠
14
nx
mx cos
cos
)
(
2
)]
(
sin[
)
(
2
)]
(
sin[
n
m
n
m
x
n
m
n
m
x
−
−
+
+
+
n
m
±
≠
15
nx
mx cos
sin
)
(
2
)]
(
cos[
)
(
2
)]
(
cos[
n
m
n
m
x
n
m
n
m
x
+
−
−
+
+
−
n
m
±
≠
16
mx
cos
m
mx
sin
0
≠
m
17
mx
sin
m
mx
cos
−
0
≠
m
18
tgmx
m
mx |
cos
|
ln
0
≠
m
19
ctgmx
m
mx |
sin
|
ln
0
≠
m
20
x
b
a
x
cos
sin
+
b
x
b
a
|
cos
|
ln
+
−
0
cos
;
0
≠
+
≠
x
b
a
b
22
x
sin
1
2
tg
ln
x
0
sin
≠
x
30
x
cos
1
|
)
2
4
tg(
|
ln
x
+
π
0
cos
≠
x
31
x
x cos
sin
1
|
tg
|
ln
x
0
cos
sin
≠
x
x
32
x
x
2
2
cos
sin
1
x
x
ctg
tg
−
0
cos
sin
≠
x
x
33
x
2
tg
x
x
−
tg
U
Z
k
k
R
∈
+
∈
π
π
2
\
34
x
2
ctg
x
x
−
−
ctg
U
Z
k
k
R
x
∈
∈
π
\
35
x
n
tg
∫
−
−
−
−
xdx
n
n
n
2
1
tg
tg
1
1
U
Z
k
k
R
x
n
Z
n
∈
+
∈
>
∈
π
π
2
\
;
2
;
36
x
n
ctg
∫
−
−
−
−
−
xdx
x
n
n
n
2
1
ctg
ctg
1
1
U
Z
k
k
R
x
n
Z
n
∈
∈
>
∈
π
\
;
2
;
37
cx
x sin
c
x
x
c
cx
cos
sin
2
−
38
cx
sin
1
|
2
tg
|
ln
1
cx
c
0
sin
≠
cx
39
x
2
cos
x
x
2
1
2
sin
4
1
+
54
x
2
sin
x
x
2
1
2
sin
4
1
−
55
Całki funkcji hiperbolicznych
cx
sinh
cx
c
cosh
1
68
cx
cosh
cx
c
sinh
1
69
x
2
sinh
x
x
2
1
2
sinh
4
1
−
70
x
2
cosh
x
x
2
1
2
sinh
4
1
+
71
x
sinh
1
2
tgh
ln
x
0
≠
x
67
Całki funkcji wykładniczych
Całki funkcji logarytmicznych
x
ln
)
1
(ln
−
x
x
+
∈
R
x
4
Całki funkcji arcus
Całki funkcji area
Wzory rekurencyjne
x
n
sin
dx
x
n
n
x
x
n
n
n
∫
−
−
−
+
−
2
1
sin
1
sin
cos
1
)
,
3
(
∞
∩
∈
Z
n
7
x
n
cos
∫
−
−
−
+
xdx
n
n
x
x
n
n
n
2
1
cos
1
cos
sin
1
)
,
3
(
∞
∩
∈
Z
n
8
n
x
)
1
(
1
2
+
∫
−
−
+
−
−
+
+
⋅
−
1
2
1
2
)
1
(
2
2
3
2
)
1
(
2
2
1
n
n
x
dx
n
n
x
x
n
1
;
>
∈
n
Z
n
26
x
n
tg
∫
−
−
−
−
xdx
n
n
n
2
1
tg
tg
1
1
U
Z
k
k
R
x
n
Z
n
∈
+
∈
>
∈
π
π
2
\
;
2
;
36
x
n
ctg
∫
−
−
−
−
−
xdx
x
n
n
n
2
1
ctg
ctg
1
1
U
Z
k
k
R
x
n
Z
n
∈
∈
>
∈
π
\
;
2
;
37
Inne
)
(
)
(
'
x
f
x
f
|
)
(
|
ln
x
f
0
)
(
≠
x
f
13
