9
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE.
Def.
Niech funkcja f(x) będzie całkowalna (w sensie Riemanna) na przedziale [ a, T]
dla każdego T > a, wówczas
)
(
lim
dx
T
a
x
f
T
nazywać będziemy całką
niewłaściwą funkcji f(x) na przedziale [a, ) i oznaczać
dx
T
a
f(x)
T
lim
df
dx
a
f(x)
,
przy czym jeżeli granica powyższa jest skończona , to całkę nazywamy zbieżną,
jeżeli zaś nieskończona lub nie istnieje, to całkę nazywamy rozbieżną.
Analogicznie określamy całkę niewłaściwą funkcji f(x) na przedziale
]
,
(
b
dx
b
T
)
x
(
f
T
lim
df
=
dx
b
)
x
(
f
.
Natomiast , jeżeli f(x) jest całkowalna na każdym przedziale domkniętym na OX,
to
dx
T
c
)
x
(
f
T
lim
+
dx
c
T
)
x
(
f
T
lim
df
=
dx
)
x
(
f
,
(&)
gdzie c jest dowolnym punktem osi OX, z zachowaniem reguł zbieżności j. w.
Całkę
dx
T
T
)
x
(
f
T
lim
df
=
dx
)
x
(
f
określamy jako wartość główną całki na przedziale
)
,
(
w sensie Cauchy'ego,
której istnienie nie jest równoważne definicji (&).
Całki niewłaściwe na przedziałach nieskończonych
nazywamy całkami niewłaściwymi pierwszego rodzaju.
Określmy teraz całki niewłaściwe drugiego rodzaju.
Niech funkcja f(x) będzie nieograniczona w lewostronnym sąsiedztwie punktu b
i całkowalna na każdym przedziale domkniętym [a , b- ]
dla każdego
(0 , b - a ), to jej całkę niewłaściwą na przedziale [a , b ]
określamy następująco
.
dx
b
a
)
x
(
f
b
a
0
lim
df
=
dx
)
x
(
f
Analogicznie określamy całkę niewłaściwą na przedziale [a , b] funkcji f(x)
nieograniczonej na prawostronnym sąsiedztwie punktu a
.
dx
b
a
f(x)
b
a
0
lim
df
=
f(x)dx
