Wzory 5

WZORY 5:   rozkład normalny zwykły i standardowy zmiennej losowej typu ciągłego

Rozkład normalny	Rozkład normalny standardowy
X : N[m, σ], , σ > 0	: N[0, 1], , σ > 0
(1)	(2)
Funkcje gęstości: wzory (5.1)
gdzie:	gdzie:
Dystrybuanty: wzory (5.2)
F(x) = P(X ≤ x) =	φ (u) = P(U ≤ u) =
P(a < X ≤ b) =  = = F(b) - F(a)	P(c < U ≤ d) =
Wartości oczekiwane: wzory (5.3)
Wariancje: wzory (5.4)
Odchylenia standardowe: wzory (5.5)
,	, Trzecie momenty centralne: wzory (5.6)
Współczynnik zmienności: wzory (5.7)
	V jest nieokreślone, E(U) = 0
Współczynniki asymetrii: wzory (5.8)
Mediany: wzory (5.9)
Q2 = Me = m	U0,5 = 0
Kwartyle pierwsze: wzory (5.10)
Q1 = m - 0,67 σ	U0,25 = - 0,67
Kwartyle trzecie: wzory (5.11)
Q3 = m + 0,67 σ	U0,75 = + 0,67
Rozstępy ćwiartkowe (międzykwartylowe): wzory (5.12)
2Q = Q3 - Q1 = 2 x 0,67 σ	2Q = 2 x 0,67
Odchylenia ćwiartkowe: wzory (5.13)
Q = 0,67 x σ	Q = 0,67
Pozycyjny współczynnik zmienności: wzory (5.14)
Vp = Q/Me = 0,67 x  = 0,67 x V	Vp jest nieokreślone, Me = 0
Dominanty: wzory (5.15)
Do = m, gdyż: f(m) =  f(x)	Do = 0, gdyż: f(0) =  f(u)
Reguła jednego odchylenia standardowego: wzory (5.16)
	P(-1 ≤ U ≤ 1) = 0,6827Reguła dwóch odchyleń standardowych: wzory (5.17)
	P(-2 ≤ U ≤ 2) = 0,9545
Reguła trzech odchyleń standardowych: wzory (5.18)
	P(-3 ≤ U ≤ 3) = 0,9973
Wnioski z reguły jednego odchylenia standardowego: wzory (5.19)
Wnioski z reguły dwóch odchyleń standardowych: wzory (5.20)
Wnioski z reguły trzech odchyleń standardowych: wzory (5.21)
Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J.Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---