| Zadanie 1. |
|
|
|
|
|
| Norma techniczna przewiduje średnio 55 sekund na wykonanie przez robotników pewnej operacji technicznej. Ponieważ robotnicy skarżyli się, że norma ta jest zła, dokonano pomiarów chronometrażowych dla n=60 wylosowanych robotników i otrzymano z tej próby średnią x=72 sek oraz odchylenie standardowe s=20 sek. Czy można na poziomie istotności =0,01 odrzucić hipotezę, że rzeczywisty średni czas wykonania tej operacji jest zgodny z normą? |
|
|
|
|
duża próba |
|
| m_0 |
55 |
to testujemy |
|
|
|
| n |
60 |
7,74596669241483 |
|
|
|
| x |
72 |
|
|
|
|
| s |
20 |
|
|
|
|
| a |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
testujemy H0=55 |
|
|
| wariant hipotezy H1 |
u>55 |
hip. Prawostronna |
|
|
|
|
|
|
|
|
| u |
6,58 |
|
|
|
|
| u_a |
2,33 |
|
|
|
|
| wniosek: |
H0 należy odrzucić |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 2. |
|
|
|
|
|
| Zbadano w 81 wylosowanych zakładach pewnej gałęzi przemysłowej koszty materiałowe przy produkcji pewnego wyrobu i otrzymano średnią x=540 PLN oraz odchylenie standardowe s=150 PLN. Na poziomie istotności a=0,05 zweryfikować hipotezę, że średnie koszty materiałowe przy produkcji tego wyrobu wynoszą 600 PLN. |
|
|
|
|
|
|
| m_0 |
|
|
|
|
|
| n |
|
|
|
|
|
| x |
|
|
|
|
|
| s |
|
|
|
|
|
| a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| wariant hipotezy H1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| u |
|
|
|
|
|
| u_a |
|
|
|
|
|
| wniosek: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 3. |
|
|
|
|
|
| W pewnym eksperymencie psychiatrycznym zbadano w wylosowanej grupie 42 chorych na pewną chorobę psychiczną procenty czasu snu w pewnej fazie. Otrzymane wyniki w % podane są poniżej. Czy można stwierdzić, że chorzy na tę chorobę mają średni procent snu w badanej fazie niższy niż 50, co jest normą dla ludzi zdrowych? Przyjąć poziom istotności a=0,01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[%] |
| m_0 |
|
|
|
|
34,8 |
| n |
|
|
|
|
33,9 |
| x |
|
|
|
|
32,6 |
| s |
|
|
|
|
49,4 |
| a |
|
|
|
|
44,9 |
|
|
|
|
|
55,2 |
| wariant hipotezy H1 |
|
|
|
48,5 |
|
|
|
|
|
40,3 |
| u |
|
|
|
|
34 |
| u_a |
|
|
|
|
42,1 |
| wniosek: |
|
|
|
|
17,9 |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
21,2 |
|
|
|
|
|
35,9 |
|
|
|
|
|
41,2 |
|
|
|
|
|
40,9 |
|
|
|
|
|
16,9 |
|
|
|
|
|
42,9 |
|
|
|
|
|
28,7 |
|
|
|
|
|
51,9 |
|
|
|
|
|
24,1 |
|
|
|
|
|
29,1 |
|
|
|
|
|
44,6 |
|
|
|
|
|
41,2 |
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
29,8 |
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
51,7 |
|
|
|
|
|
42,9 |
|
|
|
|
|
54,2 |
|
|
|
|
|
25,9 |
|
|
|
|
|
30,3 |
|
|
|
|
|
36,9 |
|
|
|
|
|
19,2 |
|
|
|
|
|
59,1 |
|
|
|
|
|
31,3 |
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
19,8 |
|
|
|
|
|
30,6 |
|
|
|
|
|
31,7 |
|
|
|
|
|
28,8 |
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 4. |
|
|
|
|
|
| Wykonano 8 niezależnych pomiarów wartości przyspieszenia ziemskiego w pewnym punkcie i otrzymane wartości /w cm/s^2/ przedstawione są poniżej. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że wartość przyspieszenia ziemskiego w tym punkcie wynosi 980 cm/s^2. |
|
|
|
|
|
|
| m_0 |
980 |
|
|
|
976,9 |
| n |
8 |
2,82842712474619 |
|
|
978,2 |
| x |
978,725 |
|
|
|
978,5 |
| s |
1,2032693559038 |
|
|
|
977,6 |
| a |
0,05 |
|
|
|
979,2 |
|
|
|
|
|
980,4 |
| wariant hipotezy H1 |
u=/=980 |
|
|
980,2 |
|
|
|
|
|
978,8 |
| t |
-2,9970 |
|
|
|
|
| t_a |
2,365 |
|
|
|
978,725 |
| wniosek: |
h0 należy odrzucić |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 5. |
|
|
|
|
|
| W pewnym biochemicznym doświadczeniu bada się czas życia pewnych żywych komórek w pewnym środowisku. Rozkład tego czasu można przyjąć za normalny. Dokonano 8 pomiarów i otrzymane wyniki /w godz./ podane są poniżej. Przyjmując poziom istotności 0,05 postawić hipotezę, że średni czas życia tych komórek w tym środowisku wynosi 4,0 godziny. |
|
|
|
|
|
|
| m_0 |
|
|
|
|
|
| n |
|
|
|
|
4,7 |
| x |
|
|
|
|
5,3 |
| s |
|
|
|
|
4 |
| a |
|
|
|
|
3,8 |
|
|
|
|
|
6,2 |
| wariant hipotezy H1 |
|
|
|
5,5 |
|
|
|
|
|
4,5 |
| t |
|
|
|
|
6 |
| t_a |
|
|
|
|
|
| wniosek: |
|
|
|
|
|
| Zadanie 1. |
|
|
|
|
| Policzono średnie i wariancje z ocen ze statystyki inżynierskiej studentów dwóch równoległych lat AIR i TRN. Z AIRu pobrano próbę 200 studentów, a z TRN - 280. Dla studentów AIR otrzymano: x = 3,6, s^2 = 2 oraz dla studentów TRN x = 4,1 i s^2 = 1,8. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że wartości średnie z ocen wszystkich studentów obu kierunków są jednakowe. |
|
|
|
|
|
| x_1 |
3,6 |
|
|
|
| s^2_1 |
2 |
1,4142135623731 |
|
|
| n1 |
200 |
|
|
h0: Mair=Mtrn |
| x_2 |
4,1 |
|
|
|
| s^2_2 |
1,8 |
1,34164078649987 |
|
|
| n2 |
280 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| a |
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| wariant hipotezy H1 |
Mair<Mtrn |
hip.lewostronna |
|
|
|
|
|
|
| u |
-3,901 |
|
|
|
| u_a |
-1,645 |
|
|
|
| wniosek: |
h0 należy odrzucić(no bo h1 jest spełnione) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 2. |
|
|
|
|
| Chcemy sprawdzić czy to prawda, że kobiety zatrudnione na tych samych stanowiskach, co mężczyźni, zarabiają mniej. Z populacji kobiet zatrudnionych na określonym stanowisku wylosowano niezależnie próbę 100 kobiet i otrzymano z niej średnią płacę 2180 PLN i wariancję 6400. Z populacji mężczyzn zatrudnionych na tych samych stanowiskach wylosowano niezależnie 80 mężczyzn i otrzymano dla nich średnią płacę 2280 PLN i wariancję 10000. Na poziomie istotności 0,01 należy sprawdzić hipotezę, że średnia płace kobiet są niższe. |
|
|
|
|
|
| x_1 |
|
|
|
|
| s^2_1 |
|
|
|
|
| n1 |
|
|
|
|
| x_2 |
|
|
|
|
| s^2_2 |
|
|
|
|
| n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| wariant hipotezy H1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| u |
|
|
|
|
| u_a |
|
|
|
|
| wniosek: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 3. |
|
|
|
|
| Zbadano rodzinne wydatki na mieszkanie we Wrocławiu i w Poznaniu. W tym celu we Wrocławiu wylosowano do badania 120, a w Poznaniu - 100 rodzin. Próba z rodzin wrocławskich dała średnią wydatków = 450 PLN i odchylenie standardowe = 120 PLN. Próba z rodzin poznańskich dała średnią = 420 PLN i odchylenie standardowe = 150 PLN. Przyjmując poziom istotności 0,05 zweryfikować hipotezę o jednakowych średnich wydatkach w obu tych miastach. |
|
|
|
|
|
| x_1 |
|
|
|
|
| s_1 |
|
|
|
|
| n1 |
|
|
|
|
| x_2 |
|
|
|
|
| s_2 |
|
|
|
|
| n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| wariant hipotezy H1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| u |
|
|
|
|
| u_a |
|
|
|
|
| wniosek: |
|
|
|
|
| Zadanie 1. |
|
|
|
|
| Zużycie po jednym miesiącu pracy pewnej części trącej w maszynie, zmierzone na 20 wylosowanych częściach, przedstawia /ubytek materiału w m / tabela poniżej. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że wariancja zużycia tych części maszyny wynosi 40 m^2. |
|
|
|
|
|
| 59 |
|
|
|
|
| 66,7 |
|
|
|
|
| 69,7 |
|
|
|
|
| 57,4 |
|
|
|
|
| 74,9 |
|
|
|
|
| 67,7 |
|
|
|
|
| 78,9 |
|
|
|
|
| 67,5 |
|
|
|
|
| 69,6 |
|
|
|
|
| 78,3 |
|
|
|
|
| 80 |
|
|
|
|
| 70,8 |
|
|
|
|
| 81 |
|
|
|
|
| 78,2 |
|
|
|
|
| 73,7 |
|
|
|
|
| 80,5 |
|
|
|
|
| 77,5 |
|
|
|
|
| 69,8 |
|
|
|
|
| 73,3 |
|
|
|
|
| 81,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a |
0,05 |
|
|
|
| (s_0)^2 |
40 |
|
|
|
| n |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| s^2 |
48,9473684210526 |
lepiej liczyc ze zwykłej a nie z populacyjnej |
|
|
|
|
|
|
|
| c |
24,47 |
|
|
|
| c_a |
30,144 |
|
|
|
| wniosek |
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej(bo h1 jest niespełnione) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 2. |
|
|
|
|
| W pewnym doświadczeniu chemicznym bada się utlenianie pewnego związku. Dokonano 38 pomiarów tego procesu pod kątem ilości /w ml/ zużytego tlenu w ciągu godziny i otrzymane wyniki zestawiono w tabeli poniżej. Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że odchylenie standardowe zużytego tlenu wynosi 12ml. |
|
|
|
|
|
| ilość zużytego tlenu |
|
|
|
| x_i_min |
x_i_max |
n_i |
|
x_i_sr |
| 15 |
25 |
4 |
|
20 |
| 25 |
35 |
6 |
|
30 |
| 35 |
45 |
12 |
|
40 |
| 45 |
55 |
7 |
|
50 |
| 55 |
65 |
6 |
|
60 |
| 65 |
75 |
3 |
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
| a |
0,01 |
|
|
|
| s_0 |
12 |
|
|
|
| n |
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| x |
43,684 |
|
|
|
| s |
14,034 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| c^2 |
51,9736842105263 |
--> |
u |
|
|
|
|
u_a |
|
| wniosek |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 3. |
|
|
|
|
| Dokonano 11 niezależnych pomiarów średnicy odlewanych rur, otrzymane wyniki /w mm/ przedstawione są poniżej. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że wariancja uzyskiwanych średnic rur wynosi 0,04. |
|
|
|
|
|
| 50,2 |
|
|
|
|
| 50,4 |
|
|
|
|
| 50,6 |
|
|
|
|
| 50,5 |
|
|
|
|
| 49,9 |
|
|
|
|
| 50 |
|
|
|
|
| 50,3 |
|
|
|
|
| 50,1 |
|
|
|
|
| 50 |
|
|
|
|
| 49,6 |
|
|
|
|
| 50,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a |
|
|
|
|
| (s_0)^2 |
|
|
|
|
| n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| s^2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| c |
|
|
|
|
| c_a |
|
|
|
|
| wniosek |
|
|
|
|
| weryfikacja_dla_m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| m_0 |
55 |
|
|
|
| n |
60 |
|
|
|
| x |
72 |
|
|
|
| s |
20 |
|
|
|
| a |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| wariant hipotezy H1 |
prawostronna |
|
|
|
|
|
|
|
| u |
6,58 |
|
|
|
| u_a |
2,33 |
|
|
|
| wniosek: |
hipotezę zerową należy odrzucić |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| m_0 |
600 |
|
|
|
| n |
81 |
|
|
|
| x |
540 |
|
|
|
| s |
150 |
|
|
|
| a |
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| wariant hipotezy H1 |
dwustronna |
|
|
|
|
|
|
|
| u |
-3,6 |
|
|
|
| u_a |
1,95996398454005 |
|
|
|
| wniosek: |
hipotezę zerową należy odrzucić |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| m_0 |
50 |
|
|
|
| n |
42 |
|
|
|
| x |
36,0095238095238 |
|
|
|
| s |
10,9763557471288 |
|
|
|
| a |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| wariant hipotezy H1 |
lewostronna |
|
|
|
|
|
|
|
| u |
-8,260 |
|
|
|
| u_a |
-2,326 |
|
|
|
| wniosek: |
hipotezę zerową należy odrzucić |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| m_0 |
980 |
|
|
|
| n |
8 |
|
|
|
| x |
978,725 |
|
|
|
| s |
1,12555541854006 |
|
|
|
| a |
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| wariant hipotezy H1 |
dwustronna |
|
|
|
|
|
|
|
| t |
-2,9970 |
|
|
|
| t_a |
2,365 |
|
|
|
| wniosek: |
hipotezę zerową należy odrzucić |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| m_0 |
4 |
|
|
|
| n |
8 |
|
|
|
| x |
5 |
|
|
|
| s |
0,833666600026653 |
|
|
|
| a |
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| wariant hipotezy H1 |
dwustronna |
|
|
|
|
|
|
|
| t |
3,174 |
|
|
|
| t_a |
2,365 |
|
|
|
| wniosek: |
hipotezę zerową należy odrzucić |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| weryfikacja_dla_2x_m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| x_1 |
3,6 |
|
|
|
| s^2_1 |
2 |
|
|
|
| n1 |
200 |
|
|
0,128173988892331 |
| x_2 |
4,1 |
|
|
|
| s^2_2 |
1,8 |
|
|
|
| n2 |
280 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| a |
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| wariant hipotezy H1 |
lewostronna |
|
|
|
|
|
|
|
| u |
-3,901 |
|
|
|
| u_a |
-1,645 |
|
|
|
| wniosek: |
hipotezę zerową należy odrzucić |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| x_1 |
2180 |
|
|
|
| s^2_1 |
6400 |
|
|
|
| n1 |
100 |
|
|
13,7477270848675 |
| x_2 |
2280 |
|
|
|
| s^2_2 |
10000 |
|
|
|
| n2 |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| a |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| wariant hipotezy H1 |
lewostronna |
|
|
|
|
|
|
|
| u |
-7,274 |
|
|
|
| u_a |
-2,326 |
|
|
|
| wniosek: |
hipotezę zerową należy odrzucić |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| x_1 |
450 |
|
|
|
| s_1 |
120 |
|
|
|
| n1 |
120 |
|
|
18,5741756210067 |
| x_2 |
420 |
|
|
|
| s_2 |
150 |
|
|
|
| n2 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| a |
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| wariant hipotezy H1 |
dwustronna |
|
|
|
|
|
|
|
| u |
1,62 |
|
|
|
| u_a |
1,96 |
|
|
|
| wniosek: |
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| weryfikacja_dla_sigma |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a |
0,05 |
|
|
|
| (s_0)^2 |
40 |
|
|
|
| n |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| s |
46,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| c |
23,25 |
|
|
|
| c_a |
30,14 |
|
|
|
| wniosek |
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a |
0,01 |
|
|
|
| s_0 |
12 |
|
|
|
| n |
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| x |
43,684 |
|
|
|
| s |
14,034 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| c |
51,974 |
--> |
u |
1,65 |
|
|
|
u_a |
2,33 |
| wniosek |
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a |
0,05 |
|
|
|
| (s_0)^2 |
0,04 |
|
|
|
| n |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| s^2 |
0,091 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| c |
24,9999999999091 |
|
|
|
| c_a |
18,307 |
|
|
|
| wniosek |
hipotezę zerową należy odrzucić, wariancja jest większa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| weryfikacja_dla_2x_sigma |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a |
0,05 |
|
|
|
| n_1 |
5 |
|
|
|
| n_2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| s^2_1 |
0,216 |
|
|
|
| s^2_2 |
0,228 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| F |
1,055 |
|
|
|
| F_a |
6,388 |
|
|
|
| wniosek |
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Zadanie 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a |
0,05 |
|
|
|
| n_1 |
16 |
|
|
|
| n_2 |
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| s^2_1 |
13737,40 |
|
|
|
| s^2_2 |
7059,48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| F |
1,95 |
|
|
|
| F_a |
2,09 |
|
|
|
| wniosek |
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej |
|
|
|