Wykład II

Testy istotności,
zastosowanie testu t-
studenta

Wprowadzenie

Badanie właściwości populacji dokonujemy

najczęściej na podstawie próby, stanowiącej

jej reprezentatywną część. Wnioskowanie

statystyczne możemy podzielić na dwie

zasadnicze grupy: estymacja parametrów i

testowanie

hipotez

statystycznych.

Estymacja parametrów może być punktowa

albo przedziałowa. W estymacji punktowej

oceniamy parametry takie jak na przykład

średnia

arytmetyczna

czy

wariancja.

Estymacja

przedziałowa

polega

na

wyliczeniu na podstawie wyników z próby

przedziału liczbowego, który z określonym

prawdopodobieństwem obejmować będzie

wyznaczony przez nas parametr punktowy.

Weryfikacja hipotez

Na podstawie zbioru wartości liczbowych
uzyskanych z pomiarów czy obserwacji
staramy się odpowiedzieć na pytanie czy np.
2 badane przez nas odmiany A i B różnią się
pod względem wysokości plonu ziarna,
zawartość magnezu w nawozie jest zgodna z
przewidzianą dla tego produktu normą. Do
weryfikacji hipotez statystycznych
wykorzystujemy testy statystyczne. Testem
statystycznym nazywamy sposób
postępowania przy pomocy którego możemy
zadecydować czy postawioną hipotezę należy
odrzucić czy też jej nie odrzucać.

Rodzaje hipotez
statystycznych

Hipoteza zerowa. Zakłada, że średnia nie różni się

od wzorca lub średnie dla 2 obiektów są takie
same



 

A

H :

0







A

H :

0

Hipoteza alternatywna . Zakłada, że średnia
różni się od wzorca lub że średnie dla 2
obiektów nie są takie same

B

A

H







:

0







A

H :

1

B

A

H







:

1

Przy wnioskowaniu możemy
popełnić następujące błędy:

Hipoteza

zerowa

DECYZJE

Przyjąć H

0

Odrzucić H

0

Hipoteza

zerowa jest

prawdziwa

Decyzja

prawidłowa

Błąd I-go

rodzaju ()

Hipoteza

zerowa jest

fałszywa

Błąd II-go

rodzaju ()

Decyzja

prawidłowa

Zasady wnioskowania

Wnioskowanie w testach istotności

polega na wyliczeniu na podstawie

wyników n - elementowej próby

wartości empirycznej i porównaniu jej z

wartością krytyczną odczytaną z

odpowiednich tablic. Jeśli wartość

empiryczna jest większa o wartości

krytycznej to hipotezę zerową

odrzucamy i w jej miejsce przyjmujemy

hipotezę alternatywną.

Poziom istotności i ufności

Błąd I-go rodzaju () polegający na odrzuceniu

prawdziwej hipotezy zerowej określamy
poziomem istotności. W testach istotności
przyjęto określone niskie wartości tego błędu tak
aby wnioski formułowane przy nich były
wystarczająco wiarygodne:
 < 0,05 (5 %) różnice istotne

 < 0,01 (1 %) różnice wysoce istotne

 < 0,001 (0,1 %) różnice bardzo wysoce istotne

Poziomem ufności określa się wartość 1- ,

która oznacza prawdopodobieństwo tego, że nie
popełniliśmy błędu I-go rodzaju

Kryteria wyboru testu
istotności

Czy obserwowane zmienne losowe

mają rozkłady normalne ?

TAK

Znane wariancję ?

NIE

Duże próby ?

TAK

Test U

NIE

Równe wariancje ?

TAK

Test Z

NIE

Testy nieparametryczne

Tak

Duża próba?

NIE

Test Cochrana-Coxa

Tak

Test U

NIE

Test t

Zastosowania testu t-
Studenta

Jako test” jakościowy”

do porównania średniej z wzorcem

-

porównania dwóch średnich metodą zmiennych

niepołączonych,

-

porównania dwóch średnich metodą zmiennych

połączonych.

Jako test „ilościowy”:

-

określenia przedziału ufności, w którym znajduje się

prawdziwa średnia populacji (),

-

określenia przedziału ufności w którym znajduje się

prawdziwa różnica pomiędzy średnimi dwóch

populacji,

-

określenia minimalnej wielkości próby,

-

oceny błędu szacunku średniej

-

Wykrywania błędów grubych

Porównanie wartości
średniej z wzorcem

Interesuje nas porównanie czy średnia z
próby jest zgodna z pewną hipotetyczną
średnią populacji

s

n

m

x

s

m

x

t

x

emp

)

( 







Hipotezę zerową odrzucamy, gdy t
empiryczne jest większe od t przy danym
poziomie istotności (0,05, 0,01) i liczbie
stopni swobody n-1

Wartości krytyczne z rozkładu testu t
-Studenta

l.s.s

0,2

0,1 0,05 0,02 0,01

1 3,08 6,31

12,7

1

31,8

2

63,6

6

2 1,89 2,92 4,30 6,96 9,92
3 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84
4 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60
5 1,48 2,02 2,57 3,36 4,03
6 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71
7 1,41 1,89 2,36 3,00 3,50
8 1,40 1,86 2,31 2,90 3,36
9 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25

10 1,37 1,81 2,23 2,76 3,17

Poziom istotności

Co decyduje o możliwości
stwierdzenia różnicy?

Różnica pomiędzy średnią z próby a wzorcem

Rozrzut wyników w obrębie próby

Liczebność próby – im większa tym
łatwiej

Poziom istotności – im niższy tym
łatwiej

m

Porównanie dwóch średnich
metodą zmiennych
niepołączonych

Metoda służy do określenia na

podstawie dwóch prób niezależnych, czy

pochodzą one z populacji o różnych

wartościach średniej prawdziwej.
Przyjmujemy założenia: średnie mogą

być zróżnicowane w dowolny sposób,

obiekty porównywane nie są

skorelowane parami, materiał badawczy

jest jednorodny, nie podlega klasyfikacji

ze względu na zmienność glebową czy

odmiany roślin, zaś wybór elementów do

prób przebiega w sposób losowy

Porównanie dwóch średnich
metodą zmiennych
niepołączonych

Ocena zawartości Mg w glebie po uprawie pszenicy i
kukurydzy

x

x x

x x

x

x

x x

x x

x x

x

Pole jest jednorodne, nie występuje zmienność
systematyczna, jedynie zmienność przypadkowa

Porównanie dwóch średnich
metodą zmiennych
niepołączonych

. Polega na wyliczeniu
wartości empirycznej testu i
porównaniu jej z wartością
krytyczną.
Jeśli temp jest większe od t
przy poziomie istotności 0,05
hipotezę zerową odrzucamy i
możemy stwierdzić, że
pomiędzy średnimi jest
istotna różnica

2

:

1

1

2

2

2

2

2

2







































B

A

B

A

B

A

B

A

d

B

A

d

d

B

A

emp

n

n

nS

nS

S

gdzie

n

n

n

n

S

S

n

n

n

S

S

S

x

x

t

Porównanie dwóch średnich
metodą zmiennych
połączonych



Przedstawiony w poprzednim punkcie sposób

postępowania jest prawidłowy gdy obiekty

porównywane są niezależne. Jeśli jednak

wartości zmiennych są skorelowane dodatnio

to metodę zmiennych niepołączonych

powinniśmy zastąpić metodą zmiennych

połączonych. Z kolejnych obserwacji dla dwóch

zmiennych A i B tworzymy pary i wyliczamy n

różnic d=xa-xb. W ten sposób eliminujemy

zróżnicowanie w wynikach pomiędzy

poszczególnymi parami.

Porównanie dwóch średnich
metodą zmiennych
połączonych

Ocena zawartości Mg w glebie po uprawie pszenicy i
kukurydzy

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Pole nie jest jednorodne, występuje zmienność
systematyczna,

p H 7,0

p H 5,5

Porównanie dwóch średnich
metodą zmiennych
połączonych



Hipoteza zerowa

zakłada, że średnia

różnic jest zerem.



Wartość funkcji

testowej temp

wyliczamy z

następującego wzoru



Jeśli t emp jest > t;  to

hipotezę o równości

średnich odrzucamy



















n

d

d

nS

n

d

d

n

n

nS

d

S

d

t

d

d

d

emp

2

2

2

2

)

(

)

1

(

Wnioskowanie na
podstawie testu t-studenta

Wnioski na podstawie zastosowania testu t-Studenta

mogą być dwóch rodzajów:

a) W przypadku gdy wartość empiryczna testu jest

większa od wartości krytycznej stwierdzamy:

Ponieważ wartość t

emp

> t



w związku z tym odrzucam

hipotezę zerową (H

0

) na korzyść (H

1

) i z

prawdopodobieństwem popełnienia błędu mniejszym

niż  (=0,05; 0,01; 0,001) stwierdzam, że

porównywane próby pochodzą z populacji o: istotnie/

wysoce istotnie/ bardzo wysoce istotnie różnych

wartościach średnich prawdziwych.

Stwierdzenie istotności nie oznacza tego, że

różnice są duże, ale, że mamy co najmniej 95 %

pewności tego, że mamy rację – nie mylimy się

Wnioskowanie na
podstawie testu t-studenta
c.d.

W przypadku gdy wartość empiryczna testu jest

mniejsza

lub

równa

wartości

krytycznej

stwierdzamy:

Ponieważ wartość t

emp

<= t



w związku z tym brak

jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H

0

Brak podstaw do odrzucenia hipotezy

zerowej (H

0

) nie oznacza, że jest ona

prawdziwa !!!, a jedynie oznacza to, że nie

mamy co najmniej 95 % pewności, że

hipoteza alternatywna (H

1

) jest prawdziwa

Wyliczenie przedziału
ufności dla średniej testem
t-Studenta

Przedział ufności dla średniej prawdziwej populacji

wyliczony na podstawie n elementowej próby
określamy jako:

gdzie: t

; =n-1

- oznacza odczyt z tablic testu t-

Studenta dla danego poziomu istotności  i liczby

stopni swobody =n-1

x

n

x

n

S

t

x

S

t

x

















1

;

1

;







Wyliczenie przedziału ufności
dla różnicy średnich testem t-
Studenta

Przedział ufności dla prawdziwej różnicy pomiędzy 2
populacjami wyliczony na podstawie n elementowych
prób określamy jako

:

gdzie: t;  - oznacza odczyt z tablic testu t-Studenta dla

danego poziomu istotności  i liczby stopni swobody

=n

A

+n

B

-2

B

A

B

A

d

B

A

d

d

n

n

B

A

B

A

d

n

n

B

A

B

A

B

A

B

A

n

n

n

n

S

S

n

n

n

S

S

S

t

x

x

S

t

x

x

L

x

x

L

x

x

B

A

B

A







































































1

1

2

2

2

2

;

2

;





















Podsumowanie

1.

Test t-studenta jest uniwersalnym testem
umożliwiającym ocenę istotności różnic pomiędzy
średnią a wzorcem oraz pomiędzy 2 średnimi.

2.

W zależności od stopnia zależności wyników w
porównywanych próbach należy stosować metodę
zmiennych niepołączonych lub połączonych

3.

Umożliwia ocenę w jakich granicach mieści się
prawdziwa średnia i prawdziwa różnica między
średnimi

4.

Jest przydatny do wykrywania odstających
obserwacji oraz oceny minimalnej liczebności
próby