www.etrapez.pl

Krystian Karczyński

Strona 1

Nieparametryczne Testy Istotności

Wzory

Nieparametryczne testy istotności – schemat postępowania punkt
po punkcie

1. Formułujemy hipotezę główną

0

H

odnoszącą się do:



zgodności populacji generalnej z jakimś rozkładem, lub:



losowości próby

2. Obliczamy odpowiednią statystykę.
3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny (obu lub jednostronny w zależności od

1

H

)

4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy

hipotezę

0

H

na rzecz hipotezy alternatywnej

1

H

. Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma

podstaw do odrzucenia hipotezy

0

H

.

www.etrapez.pl

Krystian Karczyński

Strona 2

I.

Test zgodności Pearsona

1. Formułujemy hipotezy:

0

H

: populacja generalna ma rozkład …

1

:

H

populacja generalna nie ma tego rozkładu

2. Obliczamy statystykę:





2

2

1

r

i

i

i

i

n

np

np











gdzie

r

to liczba przedziałów w szeregu,

i

n

to liczebności empiryczne w próbce,

i

p

prawdopodobieństwa/odsetki teoretyczne, n liczebność ogólna próbki,

i

np

liczebności

teoretyczne



Prawdopodobieństwa

i

p

w rozkładzie normalnym odczytujemy odpowiednio

odczytując tablice



Prawdopodobieństwa

i

p

w rozkładzie Poissona odczytujemy liczymy ze wzoru:

!

i

x

i

i

p

e

x









, gdzie



jest średnią rozkładu (najczęściej przyjmujemy tu średnią z

próbki X )



Prawdopodobieństwa

i

p

w rozkładzie Bernoulliego/dwumianowym liczymy ze wzoru:





1

1

i

i

x

x

i

i

n

p

p

p

x



 





 

 

, gdzie

p

jest prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej

próbie

3. Tworzymy i rysujemy prawostronny obszar krytyczny dla rozkładu chi-kwadrat, dla

1

r

k

 

stopni swobody, gdzie k oznacza liczbę parametrów w rozkładzie teoretycznym (

2

k



w rozkładzie normalnym,

1

k



w rozkładach Poissona i dwumianowym/Bernoulliego)

4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy
hipotezę

0

H

na rzecz hipotezy alternatywnej

1

H

. Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw

do odrzucenia hipotezy

0

H

.

www.etrapez.pl

Krystian Karczyński

Strona 3

II.

Test losowości próby

II.a Dla małej liczebności próby

1. Formułujemy hipotezy:

0

H

: próba ma charakter losowy

1

:

H

populacja generalna nie ma tego rozkładu

2. Porządkujemy próbę w kolejności rosnącej i wszystkim wynikom przyporządkowujemy
literę a , jeśli jest on mniejszy od mediany; b , jeśli większy (jeśli równy – pomijamy).

3. Ustawiamy z powrotem wyniki otrzymując ciąg znaków aababb… . Liczbę serii oznaczamy
przez k. Liczby znaków a i b oznaczamy przez

1

n

i

2

n

.

4. Z tablic rozkładu serii odczytujemy wartości graniczne

1

k

i

2

k

takie, żeby





1

2

P k

k







;





2

1

.

2

P k

k





 

5. Sprawdzamy, czy k należy do obszaru krytycznego

1

2

k

k

k

k

  

i piszemy odpowiedź.

www.etrapez.pl

Krystian Karczyński

Strona 4

II.b Dla dużej liczebności próby

1. Formułujemy hipotezy:

0

H

: populacja generalna ma rozkład …

1

:

H

populacja generalna nie ma tego rozkładu

2. Porządkujemy próbę w kolejności rosnącej i wszystkim wynikom przyporządkowujemy
literę a , jeśli jest on mniejszy od mediany; b , jeśli większy (jeśli równy – pomijamy).

3. Ustawiamy z powrotem wyniki otrzymując ciąg znaków aababb… . Liczbę serii oznaczamy
przez k. Liczby znaków a i b oznaczamy przez

1

n

i

2

n

.

4. Obliczamy statystykę:







 



1 2

1

2

1 2

1 2

1

2

2

2

1

2

2

1

,

2

2

1

n n

k

n

n

Z

n n

n n

n

n

n

n

n

n





















 



 

5. Tworzymy i obustronny obszar krytyczny dla rozkładu normalnego.

6. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy
hipotezę

0

H

na rzecz hipotezy alternatywnej

1

H

. Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw

do odrzucenia hipotezy

0

H

.

www.etrapez.pl

Krystian Karczyński

Strona 5

III.

Test zgodności dwóch rozkładów

III.a Dla małej liczebności próby

1. Formułujemy hipotezy:

0

H

: próbki pochodzą z tej samej populacji (o tym samym rozkładzie)

1

:

H

próbki pochodzą z tej samej populacji

2. Porządkujemy wyniki obu próbek w ciąg o kolejności niemalejącej ( w przypadku takich
samych wartości w obu próbkach najpierw wypisujemy wyniki z pierwszej, a potem z drugiej)
i wszystkim wynikom z pierwszej próbki przyporządkowujemy literę a , a wszystkim wynikom
z próbki drugiej literkę b .

3. Liczbę serii oznaczamy przez k. Liczby znaków a i b oznaczamy przez

1

n

i

2

n

.

4. Z tablic rozkładu serii odczytujemy wartość graniczną

1

k

taką, żeby





1

P k

k







(lewostronny obszar krytyczny).

5. Sprawdzamy, czy k należy do obszaru krytycznego

1

k

k



i piszemy odpowiedź.

www.etrapez.pl

Krystian Karczyński

Strona 6

III.b Dla dużej liczebności próby

1. Formułujemy hipotezy:

0

H

: próbki pochodzą z tej samej populacji (o tym samym rozkładzie)

1

:

H

próbki pochodzą z tej samej populacji

2. Porządkujemy wyniki obu próbek w ciąg o kolejności niemalejącej ( w przypadku takich
samych wartości w obu próbkach najpierw wypisujemy wyniki z pierwszej, a potem z drugiej)
i wszystkim wynikom z pierwszej próbki przyporządkowujemy literę a , a wszystkim wynikom
z próbki drugiej literkę b .

3. Obliczamy statystykę:







 



1 2

1

2

1 2

1 2

1

2

2

2

1

2

2

1

,

2

2

1

n n

k

n

n

Z

n n

n n

n

n

n

n

n

n





















 



 

4. Tworzymy i obustronny obszar krytyczny dla rozkładu normalnego.

5. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy
hipotezę

0

H

na rzecz hipotezy alternatywnej

1

H

. Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw

do odrzucenia hipotezy

0

H

.