---

Overview

Wariancja w populacji
Przykład
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
Zadanie 5
Dwie wariancje
Przykład 2
Zadanie 6
Zadanie 7
Zadanie 8

---

Sheet 1: Wariancja w populacji

Test dla wariancji populacji generalnej
Badając populację generalną w odniesieniu do wybranej cechy mierzalnej niejednokrotnie
zachodzi potrzeba zweryfikowania hipotezy o wariancji jako miary rozrzutu (rozproszenia).
Parametr ten wykorzystuje się przede wszystkim do oceny powtarzalności (jednorodności)
wyników pomiarów.
Przystępując do zastosowania testu dla wariancji zakłada się, że badana cecha mierzalna
ma w populacji rozkład normalny N(m, s), przy czym parametry rozkładu nie są znane.
Z populacji tej losuje się n-elementową próbę, której wyniki stanowią podstawe weryfikacji
hipotezy zerowej H0: s2 = s02, wobec hipotezy alternatywnej H1: s2 > s02, gdzie s02 jest
hipotetyczną wartością wariancji. Taka (jedyna) postać hipotezy alternatywnej (obszar
krytyczny prawostronny) w połączeniu z postacią hipotezy zerowej zakłada, że rozrzut
wyników pomiarów nie może być mniejszy niż teoretycznie możliwy. Problem sprowadza
się zatem do pytania, czy rozproszenie badanej cechy nie jest zbyt duże?
Wykorzystując wyniki pomiarów oblicza się wartość statystyki:
					(1)
która ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 rozkład c2 (chi-kwadrat) o n-1
stopniach swobody.
Jeżeli wartość statystyki c2 znajdzie się w obszarze krytycznym, wyznaczonym
przy założonym z góry poziomie istotności a, podejmuje się decyzję o odrzuceniu
hipotezy H0, w przeciwnym przypadku stwierdza się brak podstaw do jej odrzucenia.
Korzystając zatem z tablic rozkładu c2 o n-1 stopniach swobody ustala się prawdopo-
bieństwo p zdarzenia polegającego na tym, że obserwowana wartość zmiennej c2 jest
nie mniejsza od wartości obliczonej wg wzoru (1). Otrzymaną w ten sposób wartość
p porównuje się z przyjętym z góry poziomem istotności i w przypadku, gdy zajdzie
relacja p  a, hipotezę H0 odrzuca się na korzyść H1, natomiast gdy p > a, odnotowuje
się brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
Przykład
Przed przystąpieniem do pomiarów twardości wykonuje się zazwyczaj kontrolną
serię pomiarów na tzw. płytce wzorcowej. Z instrukcji obsługi twardościomierza Rockwella
wynika, że rozrzut pomiarów twardości na płytce wzorcowej, mierzony odchyleniem
standardowym wynosi 0,5 HRC. Sprawdzić na podstawie wyników serii pomiarów
kontrolnych:
26,3	27,0	26,1	28,2	27,3	26,5	26,2	26,9	26,3
czy dostępny twardościomierz jest sprawny? Przyjąć poziom istotności a = 0,05.
Rozwiązanie
Sformułowano następującą hipotezę zerową H0 i hipotezę alternatywną H1:
H0: s2 = s02
H1: s2 > s02
Obliczono nieobciążony estymator wariancji
		0,46		=WARIANCJA(A36:I36)
		0,25		kwadrat hipotetycznego odchylenia standardowego
	n =	9		liczba pomiarów
	c2 =	14,729		wartość statystyki c2 - ze wzoru (1)
	a =	0,05		poziom istotności
	p =	0,065		=ROZKŁAD.CHI(C47;C46-1)
		H0
Ponieważ zaszła relacja p > a, zatem należy stwierdzić brak podstaw do odrzucenia
hipotezy zerowej, co oznacza, że kontrolna seria pomiarów wzorcowych nie dostarczyła
dowodu na niesprawność twardościomierza.

---

Sheet 2: Przykład

Przykład

Przed przystąpieniem do pomiarów twardości wykonuje się zazwyczaj kontrolną serię

pomiarów na tzw. Płytce wzorcowej. Z instrukcji obsługi twardościomierza Rockwella wynika, że

rozrzut pomiarów twardości na płytce wzorcowej, mierzony odchyleniem standardowym

wynosi 0,5 HRC. Sprawdzić na podstawie wyników serii pomiarów kontrolnych:

26,3

27,0

26,1

28,2

27,3

26,5

26,2

26,9

26,3

czy dostępny twardościomierz jest sprawny? Przyjąć poziom istotności a = 0,05

Rozwiązanie

Na podstawie treści przykładu sformułowano hipotezę zerową H0 i hipotezę alternatywną H1.

H0:

s2 = s20

H1:

s2 > s20

s0 =

0,5

odchylenie standardowe (hipotetyczne)

s20 =

0,25

wariancja hipotetyczna

s2 =

0,46

wariancja oszacowana z wyników próby

n =

9

liczebność próby

c2 =

14,7288888888889

wartość statystyki testowej

a =

0,05

przyjęty z góry poziom istotności

p =

0,064636431619161

obliczony poziom istotności

Decyzja:

H0 - brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

---

Sheet 3: Zadanie 1

Zadanie 1

Wariancja procentu wykonania normy pracy przez pracowników budowlanych powinna

wynosić s2 = 16,1%2.

Wylosowano 20 robotników, których wariancja wynosiła s2 = 15,6%2. Zweryfikować na

poziomie istotności a = 0,05 hipotezę (H0), że wariancja procentu wykonania normy zakładana

i faktyczna są sobie równe wobec hipotezy alternatywnej (H1), że wariancja faktyczna jest

mniejsza od zakładanej. Przyjmuje się, że rozkład wykonania normy jest normalny.

---

Sheet 4: Zadanie 2

Zadanie 2

Przy produkcji lamp radiowych zakłada się, że średnie odchylenie czasu wykonania

danego elementu od normy powinno wynosić 12 minut.

Wylosowano 80 stanowisk roboczych, dla których faktyczne odchylenie standardowe

było równe 14,1 min.

Zakładając, że rozkład czasu wykonywania danego elementu jest normalny, zweryfikować

hipotezę zerową, że wariancja faktyczna i hipotetyczna są sobie równe, tj. H0: s2 = s20,

wobec hipotezy alternatywnej (H1) zakładającej, że wariancja faktyczna jest większa od

wariancji hipotetycznej. Przyjąć poziom istotności a = 0,05.

---

Sheet 5: Zadanie 3

Zadanie 3

Zakłada się, że wariancja temperatury w sterylizatorze nie powinna być większa niż 9,4°2.

Dokonano 80 pomiarów temperatury i stwierdzono, że wariancja wynosi 10,3°2.

Zakładając poziom istotności a = 0,01 zweryfikować hipotezę, że wariancja faktyczna

i ustalona normą są równe, przy hipotezie alternatywnej, według której wariancje są różne.

---

Sheet 6: Zadanie 4

Zadanie 4

Zmierzono średnice 20 losowo wybranych śrub. Zakłada się, że wariancja długości średnicy

powinna wynosić s20 = 0,03. Obliczona wariancja (s2) była równa 0,041.

Przyjmując poziom istotności a = 0,10 zweryfikować hipotezę, że faktyczna wariancja

długości średnicy śrub jest równa wariancji ustalonej normą, przy hipotezie alternatywnej

zakładającej różnicę wariancji.

---

Sheet 7: Zadanie 5

Zadanie 5
W zakładzie K założono, że średnie odchylenie od przeciętnego poziomu wykonania normy
pracy powinno wynosić 10,5%. Wylosowano grupę pracowników, dla których wykonanie
przedstawiono w tabeli. Czy można uważać, że w zakładzie nastąpiło zmniejszenie dyspersji
wykonania normy? Przyjąć poziom istotności a = 0,05.
Poziom wykonania normy [%]		Liczba pracowników
75	80	8
80	85	19
85	90	31
90	95	56
95	100	82
100	105	79
105	110	39
110	115	28
115	120	14
120	125	9

---

Sheet 8: Dwie wariancje

Test dla dwóch wariancji
Jeżeli badamy jednocześnie dwie populacje ze względu na tę samą cechę
mierzalną, to zdarza się, że interesuje nas, czy rozproszenie tej cechy jest w obu
populacjach jednakowe. gdy nadto obydwie populacje mają rozkłady normalne,
to weryfikację hipotezy o jednakowych wariancjach można przeprowadzić za
pomocą opisanego poniżej testu istotności.
Tak więc, z obydwu populacji o rozkładach N(m1, s1) i N(m2, s2) losuje się
niezaleznie próby losowe o liczebnościach odpowiednio n1 i n2. Wykorzystując
wyniki tych prób weryfikuje się hipotezę zerową H0: s12 = s22, wobec hipotezy
alternatywnej H1: s12 > s22. Reguła postępowania przewiduje obliczenie w pierwszej
kolejności nieobciążonych estymatorów wariancji, czyli S^12 i S^22, a następnie
wartości statystyki F wg wzoru:
która ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 rozkład F Snedecora o n1 - 1
i n2 - 1 stopniach swobody.
Postać hipotezy alternatywnej sugeruje, że rozrzut wyników obserwowany
w pierwszej populacji jest większy niż w drugiej, tymczasem chodzi o to, iż chcemy
sprawdzić, czy rozrzut badanej cechy mierzalnej jest większy w jednej z nich
w stosunku do pozostałej, niezaleznie od tego, którą oznaczymy numerem 1,
a którą numerem 2. Stąd, dla uniknięcia niejednoznaczności przyjęto, ze numery
nadaje się populacjom dopiero po obliczeniu wartości nieobciążonych
estymatorów wariancji. Numer 1 przypisuje się przy tym tej populacji, która
charakteryzuje się większym rozrzutem (większą wartością estymatora), a numer
2 populacji o mniejszym rorzucie. Dzięki temu wartość statystyki F jest zawsze
większa od jedności. Fakt ten uwzględniono opracowując dostępne tablice
rozkładu F Snedecora, przy czym nalezy pamiętać, ze rozkład F ma dwa rodzaje
stopni swobody - licznika i mianownika. Liczbę stopni swobody licznika stanowi
różnica n1 - 1, a mianownika n2 - 1.

---

Sheet 9: Przykład 2

Przykład
Z dwóch kompanii wojskowych wybrano losowo po 12 szeregowców. Wariancja wzrostu
wylosowanych szeregowców wynosiła w kompanii I: 5,76 cm2, a w kompanii II: 5,41 cm2.
Zakładając, że rozkład wzrostu szeregowców w obydwu kompaniach jest rozkładem normalnym,
zweryfikować hipotezę, że wariancje wzrostu szeregowców w obu kompaniach są jednakowe,
tj. H0: s12 = s22, wobec hipotezy alternatywnej, według której wariancja wzrostu szeregowców
w kompanii I jest większa od wariancji wzrostu w kompanii II, tj. H1: s12 > s22.
Przyjąć poziom istotności a = 0,05.
Rozwiązanie
	5,76	[cm2]
	5,41	[cm2]
a =	0,05			1,065
n1 =	12
n2 =	12
			Fkryt. =	2,818
	F < Fkryt ----> H0		p =	0,460
	p > a ----> H0

---

Sheet 10: Zadanie 6

Zadanie 6
Dwa automaty produkują części o grubości nominalnej 4,8 mm. W celu porównania wariancji
grubości części produkowanych przez te automaty pobrano losowo dwie próby wyrobów i zmierzono
ich grubości. Otrzymano następujące wartości:
Automat I	4,71	4,77	4,91	4,83	4,88	4,84	4,75	4,79
Automat II	4,81	4,8	4,81	4,78	4,79	4,79	4,78	4,79	4,81	4,81
Zweryfikować na poziomie istotności a = 0,05 hipotezę, że wariancje wymiarów części produkowanych
przez oba automaty są jednakowe wobec hipotezy alternatywnej, że jeden z automatów produkuje
części, których wariancje są większe od pozostałego.

---

Sheet 11: Zadanie 7

Zadanie 7
W budownictwie mieszkaniowym zakłada się, że rozrzut czasu budowy budynków meto-
dą wielkopłytową jest niższy od rozrzutu czasu budowy metodą tradycyjną. Wylosowano 10 bu-
dynków budowanych metodą wielkopłytową (n2) oraz 11 budynków budowanych metodą
tradycyjna (n1). Czasy trwania budowy zebrano w tabeli.
	Metoda wielkopłytowa	Metoda tradycyjna
	9,9	12,8
	9,2	8,4
	9,5	11,1
	12,0	9,9
	14,4	7,3
	8,1	9,7
	8,4	5,4
	12,2	12,8
	14,1	8,1
	9,1	11,6
		12,9
Przyjmując, że rozkład czasu budowy budynków obu metodami jest rozkładem nor-
malnym zweryfikować na poziomie istotności a = 0,01 hipotezę zerową (H0), że wariancja
czasu budowy obu metodami jest równa (H0: s1 = s2), wobec hipotezy alternatywnej
(H1) zakładającej, że wariancja czasu budowy budynków metodą klasyczną jest
większa od wariancji czasu budowy metodą wielkopłytową (H1: s1 > s2).

---

Sheet 12: Zadanie 8

Zadanie 8
Wylosowano kilkadziesiąt statków stojących w dwóch portach, dla których zmierzono czasy rozładunku.
Wyniki zebrano w tabeli.
Gdynia				Szczecin
Czas załadunku statku (w godzinach)		Liczba statków		Czas załadunku statku (w godzinach)		Liczba statków
od	do			od	do
8	10	6		8	10	6
10	12	10		10	12	10
12	14	18		12	14	19
14	16	25		14	16	25
16	18	27		16	18	33
18	20	25		18	20	25
20	22	20		20	22	18
22	24	20		22	24	13
Na poziomie istotności a = 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozrzut czasu przeładunku statków w obu
portach jest jednakowy.