Metody Przetwarzania

Danych

Meteorologicznych

Wykład 4

Krzysztof Markowicz

Instytut Geofizyki UW

[e-mail]

2

Wybrane rozkłady

prawdopodobieństwa

rozkład normalny

Własności

Jeśli

X ~ N(μ, σ

2

)

i

a i b

są liczbami rzeczywistymi,

to:

aX + b ~ N(aμ + b, (aσ)

2

).

Jeśli

X

1

~ N(μ

1

, σ

1

2

) i X

2

~

N(μ

2

, σ

2

2

), i X

1

i X

2

są

niezależne,
to

X

1

+ X

2

~ N(μ

1

+ μ

2

, σ

1

2

+ σ

2

2

)

.

Jeśli

X

1

, ..., X

n

są niezależnymi zmiennymi losowymi

o standardowym rozkładzie normalnym,
to

X

1

2

+ ... + X

n

2

ma rozkład chi-kwadrat z

n

stopniami swobody.

gęstość
praw-a
dystrybuan
ta

3

Parametry rozkładu normalnego

• wartość oczekiwana: μ
• mediana: μ
• wariancja: σ

2

• odchylenie standardowe: σ
• skośność: 0
• kurtoza: 0

4

Centralne twierdzenie graniczne

• Jedną z najważniejszych własności rozkładu normalnego

jest fakt, że, przy pewnych założeniach, rozkład sumy

dużej liczby zmiennych losowych jest w przybliżeniu

normalny.

• W praktyce twierdzenie to ma zastosowanie jeśli chcemy

użyć rozkładu normalnego jako przybliżenia dla innych

rozkładów. Np. w teorii błędów pomiarowych.

• Rozkład dwumianowy

z parametrami

n

i

p

jest w

przybliżeniu normalny dla dużych

n

i

p

nie leżących zbyt

blisko 1 lub 0. Przybliżony rozkład ma średnią równą

μ

= np

i odchylenie standardowe

σ = (n p (1 - p))

0.5

.

• Rozkład Poissona

z parametrem

λ

jest w przybliżeniu

normalny dla dużych wartości

λ

. Przybliżony rozkład

normalny ma średnią

μ = λ

i odchylenie standardowe

σ

= √λ

.

• Dokładność przybliżenia tych rozkładów zależy od celu

użycia przybliżenia i tempa zbieżności do rozkładu

normalnego. Zazwyczaj takie przybliżenia są mniej

dokładne w ogonach rozkładów.

5

Rozkład normalny - wielowymiarowy

• n-wymiarowa zmienna losowa

podlega

n-wymiarowemu rozładowi normalnemu

jeśli dowolna kombinacja liniowa
jej składowych ma rozkład normalny.

• Funkcja gęstości

n-wymiarowego rozkładu

normalnego wektora losowego

X

o wektorze

wartości oczekiwanych

macierzy kowariancji



dana jest wzorem:

co oznacza się w skrócie zapisem

6

Niezależność zmiennych

• Jeśli składowe wektora losowego

X

o

wielowymiarowym rozkładzie normalnym są

nieskorelowane to są niezależne i każda z nich

podlega rozkładowi normalnemu

N(

i,



i

)

.

Wówczas funkcja gęstości wektora losowego

X

jest iloczynem funkcji gęstości każdej ze

zmiennych:

7

Rozkład Poissona

• Rozkład Poissona

to rozkład dyskretny przedstawiający

liczbę wystąpień zjawiska w czasie

t

, w określonej liczbie

prób, jeśli wystąpienia te są niezależne od siebie. Rozkład

ma zastosowanie do obliczenia przybliżonej wartości

prawdopodobieństwa w rozkładzie Bernoulliego przy dużej

liczbie prób i niskim prawdopodobieństwie sukcesu.

• Rozkład Poissona jest określany przez jeden parametr

λ

,

który ma interpretację wartości oczekiwanej. Parametr ten

jest równy prawdopodobieństwu uzyskania sukcesu w

pojedynczej próbie pomnożony przez liczbę prób.

• Gęstość prawdopodobieństwa

• Zmienna losowa ma rozkład Piossona gdy:

8

• wartość oczekiwana: λ,
• wariancja: λ,
• Współczynnik skośności: λ

-0.5

• kurtoza: λ

-1

9

• Rozkład chi kwadrat (χ²)

to rozkład zmiennej

losowej, która jest sumą

k

kwadratów

niezależnych zmiennych losowych o

standardowym rozkładzie normalnym.

• Liczbę naturalną

k

nazywa się liczbą stopni

swobody rozkładu zmiennej losowej.

• Jeżeli ciąg niezależnych zmiennych losowych

oraz to

Rozkład chi kwadrat

Zmienna losowa Y ma rozkład chi kwadrat o

k

stopniach swobody

Gęstość prawdopodobieństwa ma postać:

2

1





















k

i

i

i

i

X

Y





10

dystrybuanta

gęstość pro-wa

Własności rozkładu:

Średnia: k

Wariancja: 2k

11

2-parametrowy rozkład określony tylko dla zmiennej losowej x>0
k > 0 jest parametrem kształtu
λ > 0 określa skale rozkładu

Dystrybuanta rozkładu

                         

dla x ≥ 0,

F(x; k; λ) = 0

dla x < 0.

Rozkład Weibulla

12

Wartość średnia











 



k

k

1

1

1













 















 



k

k

k

1

1

2

1

2

/

2



Wariancj
a

Rozkładu używa się do
analizy prędkości wiatru i
opadów.

Przy obliczaniu zasobów
energetycznych na
potrzeby energetyki
wiatru.

13

• Rozkład prędkości wiatru w

listopadzie
stacja Strzyżów

14

Wnioskowanie statystyczne

- polega na uogólnianiu

wyników otrzymanych na podstawie próby losowej
na całą populację generalną, z której próba została
pobrana

Wnioskowanie statystyczne dzieli się na:

Estymację

– szacowanie wartości parametrów

lub postaci rozkładu zmiennej na podstawie próby
– na podstawie wyników próby formułujemy
wnioski dla całej populacji

Weryfikację

hipotez

statystycznych

–

sprawdzanie określonych założeń sformułowanych
dla

parametrów

populacji

generalnej

na

podstawie wyników z próby – najpierw wysuwamy
założenie, które weryfikujemy na podstawie
wyników próby

15

Estymator

– wielkość (charakterystyka, miara),

obliczona na podstawie próby, służąca do oceny
wartości nieznanych parametrów populacji
generalnej.

Najlepszym z pośród wszystkich estymatorów
parametru w populacji generalnej jest ten, który
spełnia wszystkie

właściwości estymatorów

(jest

równocześnie

nieobciążony,

zgodny,

efektywny, dostateczny

).

16

Definicja estymatora

• Niech zmienna losowa

X

ma funkcję gęstości

prawdopodobieństwa

f

X

zależną od

m

parametrów



i

i= 1,2,…,m

.

Jeśli zostało wygenerowanych (zmierzonych)

N

liczb losowych

x

1

, x

2

, …, x

N

, będących wartościami

zmiennej losowej

X

, wówczas można skonstruować

m

funkcji tych liczb,

S

i

(x

1

, x

2

, …, x

N

), i=1,2,…,m

których można użyć do

wyznaczenia parametrów



i

.

• Funkcje

S

i

nazywamy estymatorami parametru



i

.

.

• Estymator nazywamy nieobciążonym, gdy różnica

dla każdego

N

jego wartość oczekiwana

E(S

i

)

jest

równa parametrowi



i.

• Różnicę

B(S

i

)=E(S

i

)- 

i

nazywamy

obciążeniem

(bias)

17

Estymacja parametrów

Mając dane

n

wektorów pobranych z pewnego

wielowymiarowego rozkładu możemy oszacować
jego parametry w następujący sposób:

Estymator wartości oczekiwanej:

                                     

Estymator macierzy kowariancji o największej
wiarygodności :

                                                                           

Estymator nieobciążony macierzy kowariancji:

                                                                            
          

18

Estymacja przedziałowa

polega na budowie przedziału zwanego

przedziałem

ufności

, który z określonym prawdopodobieństwem

będzie zawierał nieznaną wartość szacowanego
parametru











1

)}

X

(

g

Q

)

X

(

g

{

P

n

2

n

1

gdzie:

Q

– nieznany parametr populacji generalnej,

końce przedziałów (dolna i górna
granica przedziału), będące funkcją
wylosowanej próby

)

X

(

g

n

1

)

X

(

g

n

2

19

Przedział ufności

• Niech cecha

X

ma rozkład w populacji z

nieznanym parametrem

θ

. Z populacji

wybieramy próbę losową

(X

1

, X

2

, ..., X

n

)

.

• Przedziałem ufności (θ – θ

1

, θ + θ

2

)

o

współczynniku ufności 1 - α

nazywamy taki

przedział

(θ – θ

1

, θ + θ

2

)

, który spełnia

warunek:

P(θ

1

< θ < θ

2

) = 1 − α

gdzie

θ

1

i θ

2

są funkcjami wyznaczonymi na

podstawie próby losowej.

• Podobnie jak w przypadku estymatorów

definicja pozwala na dowolność wyboru

funkcji z próby, jednak tutaj kryterium wyboru

najlepszych funkcji narzuca się automatycznie

- zazwyczaj będziemy poszukiwać przedziałów

najkrótszych

.

20

• Współczynnik ufności 1 - α

jest wielkością, którą można

interpretować w następujący sposób:
jest to prawdopodobieństwo, że rzeczywista wartość

parametru

θ

w populacji znajduje się w wyznaczonym przez

nas przedziale ufności.

• Im większa wartość tego współczynnika, tym szerszy przedział

ufności, a więc mniejsza dokładność estymacji parametru.

• Im mniejsza wartość

1 - α

, tym większa dokładność estymacji,

ale jednocześnie tym większe prawdopodobieństwo

popełnienia błędu.

• Wybór odpowiedniego współczynnika jest więc kompromisem

pomiędzy dokładnością estymacji a ryzykiem błędu.

• W praktyce przyjmuje się zazwyczaj wartości:

0,99; 0,95 lub

0,90

, zależnie od parametru.

-3

-2

-1

0

1

2

3

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

-t

n,

t

n,



/2



/2

1-



21

Przedział ufności dla wartości

oczekiwanej (średniej) – rozkład

normalny

• Jeśli cecha ma w populacji rozkład normalny

N(m, σ),

przy czym odchylenie standardowe

σ

jest znane.

Przedział ufności dla parametru

m

tego rozkładu ma

postać:

n

to liczebność próby losowej

oznacza średnią z próby losowej

σ

to odchylenie standardowe z próby

u

α

jest statystyką, spełniającą warunek:

P( − u

α

< U < u

α

) = 1 − α

gdzie U jest zmienną losową o rozkładzie
normalnym

N(0, 1).

 

   oraz

 

     to kwantyle rzędów odpowiednio

i
rozkładu N(0, 1)

22

Przedział ufności dla wariancji

• Przedział ufności dla wariancji w populacji o rozkładzie

normalnym

N(m, σ)

wyznaczamy ze wzoru

• gdzie:

• n

to liczebność próby losowej

• s

to odchylenie standardowe z próby

• i to statystyki spełniające odpowiednio

równości:

• gdzie

χ2

ma rozkład chi-kwadrat z

n - 1

stopniami

swobody

 

       i

 

        

23

Przykład - Minimalna liczebność

próby

• Jeśli chcemy oszacować parametr z określoną

dokładnością d, możemy, po odpowiednich

przekształceniach wzorów na przedziały ufności,

wyznaczyć liczebność próby losowej potrzebną do

osiągnięcia zakładanej dokładności.

• Przykład:

• Niech wzrost wszystkich osób w Polsce ma rozkład

normalny z odchyleniem standardowym 25,28 cm.

Obliczmy osób wystarczy zmierzyć, aby z

prawdopodobieństwem 95% wyznaczyć średni wzrost z

dokładnością do 5 cm.

• Jeśli chcemy uzyskać dokładność 5 cm, należy zadbać o

to, aby połowa długości przedziału ufności była

mniejsza lub równa niż 5 cm. Ze wzoru na przedział

ufności dla rozkładu normalnego o znanym odchyleniu

standardowym wynika, że dokładność estymacji

powinna spełniać zależność:

24

• Podstawiając do wzoru wartości σ = 25,28; d

= 5 cm;
u



= 1,96 (wartość obliczona na podstawie

tablic rozkładu normalnego lub w matlabie u



=

norminv

(1-/2,0,1) )

uzyskujemy minimalną wielkość próby na
poziomie n=99.

Mamy więc:

25

Poziom istotności

• Poziom istotności

- jest to prawdopodobieństwo

popełnienia błędu I rodzaju (zazwyczaj oznaczane
symbolem α). Określa również maksymalne ryzyko
błędu, jakie badacz jest skłonny zaakceptować. Wybór
wartości α zależy natury problemu i od tego jak
dokładnie chce on weryfikować swoje hipotezy,
najczęściej przyjmuje się

α = 0,05, 0,03 lub 0,01

.

• Błąd pierwszego rodzaju

('false positive') - w

statystyce pojęcie z zakresu

weryfikacji hipotez

statystycznych

- błąd polegający na odrzuceniu

hipotezy zerowej

, która w rzeczywistości jest

prawdziwa. Błąd pierwszego rodzaju znany też jest
jako: błąd pierwszego typu, błąd przyjęcia lub alfa-
błąd.

• Oszacowanie prawdopodobieństwa popełnienia błędu

pierwszego rodzaju oznaczamy symbolem α i
nazywamy

poziomem istotności testu

.

26

Weryfikacja hipotez statystycznych

•

Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugim, obok
estymacji statystycznej, sposobem uogólniania wyników
losowej próby na populacje z której próba pochodzi

.

•

Polega ona na sprawdzaniu przypuszczeń na temat
rozkładów statystycznych jednej lub wielu zmiennych w
populacji.

•

Podobnie jak w przypadku estymacji, wnioskowanie z
próby o populacji nie jest i nie może być niezawodne.

•

Będzie można jednak oceniać prawdopodobieństwa
popełnienia błędów związanych ze stosowaną metodą
weryfikacji hipotez.

•

Hipotezą statystyczna nazywa się dowolne
przypuszczeni dotyczące nieznanego rozkładu
statystycznego jednej zmiennej lub łącznego rozkładu
wielu zmiennych w populacji.

27

• Wyróżnia się hipotezy parametryczne dotyczące

nieznanych wartości parametrów rozkładu

statystycznego oraz hipotezy nieparametryczne,

które są przypuszczeniami na temat klasy rozkładów

do których należy rozkład statystyczny w populacji.

Przebieg procedury weryfikacyjnej

1. Sformułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej

• Hipoteza zerowa (H

0

)

- Jest to hipoteza poddana procedurze

weryfikacyjnej, w której zakładamy, że różnica między

analizowanymi parametrami lub rozkładami wynosi zero.

Przykładowo wnioskując o parametrach hipotezę zerową

zapiszemy jako:

H

0

: θ

1

= θ

2

.

• Hipoteza alternatywna (H

1

)

- hipoteza przeciwstawna do

weryfikowanej. Możemy ją zapisać na trzy sposoby w zależności

od sformułowania badanego problemu:

» H

1

: θ

1

≠ θ

2

» H

1

: θ

1

> θ

2

» H

1

: θ

1

< θ

2

28

2. Wybór statystyki testowej

Budujemy pewną statystykę

W

, która jest

funkcją wyników z próby losowej

W = f(x

1

, x

2

, ...,

x

n

)

i wyznaczamy jej rozkład przy założeniu, że

hipoteza zerowa jest prawdziwa. Funkcję

W

nazywa się

statystyką testową lub funkcją

testową

.

3. Określenie poziomu istotności α

Na tym etapie procedury weryfikacyjnej

przyjmujemy prawdopodobieństwo popełnienia

błędu I rodzaju, który polega na odrzuceniu

hipotezy zerowej wtedy, gdy jest ona prawdziwa.

Prawdopodobieństwo to jest oznaczane

symbolem

α

i nazywane poziomem istotności. Na

ogół przyjmujemy prawdopodobieństwo bliskie

zeru, ponieważ chcemy aby ryzyko popełnienia

błędu było jak najmniejsze. Najczęściej

zakładamy, że poziom istotności

α≤ 0.1 (np.

α=0.01 ; α=0.05 ; α=0.1)

29

• 4. Wyznaczenie obszaru krytycznego testu

– Obszar krytyczny

- obszar znajdujący się zawsze na

krańcach rozkładu. Jeżeli obliczona przez nas wartość
statystyki testowej znajdzie się w tym obszarze to
weryfikowaną przez nas hipotezę

H

o

odrzucamy.

Wielkość obszaru krytycznego wyznacza dowolnie mały
poziom istotności α, natomiast jego położenie określane
jest przez hipotezę alternatywną.

– Obszar krytyczny od pozostałej części rozkładu

statystyki odzielony jest przez tzw.

wartości krytyczne

testu (w



), czyli wartości odczytane z rozkładu

statystyki przy danym

α

, tak aby spełniona była relacja

zależna od sposobu sformułowania

H

1

:

• P{|w|≥w



} = α    gdy H

1

: θ

1

≠ θ

2

     (obszar

dwustronny)

• P{w ≥w



} = α    gdy H

1

: θ

1

> θ

2

     (obszar

prawostronny)

• P{w ≤w



} = α    gdy H

1

: θ

1

< θ

2

     (obszar

lewostronny)

30

6. Obliczenie statystyki na podstawie próby

Wyniki próby opracowujemy w odpowiedni
sposób, zgodnie z procedurą wybranego
testu i są one podstawą do obliczenia
statystyki testowej. Większość statystyk
testowych, mających dokładny rozkład
normalny, t-Studenta lub graniczny rozkład
normalny, obliczamy w następujący sposób:

gdzie:
• W - Statystyka testowa
• a - Statystyka obliczona z próby
• b - Hipotetyczna wartość parametru(ów)
• c - Odchylenie standardowe rozkładu statystyki

31

6. Podjęcie decyzji

– Wyznaczoną na podstawie próby wartość

statystyki porównujemy z wartością
krytyczną testu.

– Jeżeli wartość ta znajdzie się w obszarze

krytycznym to hipotezę zerową należy
odrzucić jako nieprawdziwą. Stąd wniosek,
że prawdziwa jest hipoteza alternatywna.

– Jeżeli natomiast wartość ta znajdzie się poza

obszarem krytycznym, oznacza to, że brak
jest podstaw do odrzucenia hipotezy
zerowej. Stąd wniosek, że hipoteza zerowa
może, ale nie musi, być prawdziwa.

32

33

Test dla średniej

•

Hipotezę zerową i alternatywną oznaczamy w

następujący sposób:

•

H

o

: μ = μ

o

Zakłada ona, że nieznana średnia w populacji

μ

jest

równa średniej hipotetycznej

μ

o

H

1

: μ ≠ μ

o

lub

H

1

: μ > μ

o

lub

H

1

: μ < μ

o

Jest ona zaprzeczeniem

H

o

, występuje w trzech

wersjach w zależności od sformułowania badanego

problemu.

•

Sprawdzianem hipotezy jest statystyka testowa,

która jest funkcją wyników próby losowej. Postać

funkcji testowej (tzw.statystyki) zależy od:

– rozkładu cechy w populacji

– znajomości wartości odchylenia standardowego w populacji

– liczebności próby

Biorąc pod uwagę powyższe przypadki, założoną

przez nas hipotezę możemy sprawdzić za pomocą

trzech testów:

34

1. Jeżeli populacja ma rozkład normalny

N(μ,σ)

o

nieznanej średniej

μ

i znanym odchyleniu standardowym

σ

, natomiast liczebność próby

n

jest dowolna, wtedy

statystyka ma postać:

gdzie:

m

- średnia z próby

– Jeżeli

H

o

jest prawdziwa, to statystyka testowa

Z

ma

rozkład asymptotycznie normalny.

– Wartość statystyki, którą obliczymy korzystając z

powyższego wzoru, oznaczamy jako

z

. Następnie

porównujemy ją z wartością krytyczną testu

z



, którą

możemy odczytać z tablic standaryzowanego rozkładu
normalnego, uwzględniając poziom istotności

α

.

– Decyzję o odrzuceniu

H

o

podejmujemy, jeżeli wartość

statystyki znajduje się w obszarze krytycznym. Jeżeli
natomiast wartość ta znajdzie się poza obszarem
krytycznym, nie ma wtedy podstaw do odrzucenia

H

o

.

35

2. Jeżeli rozkład populacji jest dowolny, o nieznanej średniej

μ

i nieznanym odchyleniu standardowym

σ

, natomiast

liczebność próby jest

n > 30

, wtedy statystyka ma postać:

• Jeżeli

H

o

jest prawdziwa, to statystyka testowa ma rozkład

asymptotycznie normalny.

3. Jeżeli rozkład populacji jest normalny

N(μ,σ)

, o nieznanej

średniej

μ

i nieznanym odchyleniu standardowym

σ

,

natomiast liczebność próby jest

n < 30

, wtedy statystyka

ma postać:

•

• Jeżeli

H

o

jest prawdziwa, to statystyka testowa ma rozkład

t-Studenta

o liczbie stopni swobody

ν = n-1

.

• Wartość statystyki, którą obliczymy korzystając z

powyższego wzoru, oznaczamy jako

t

. Następnie

porównujemy ją z wartością krytyczną testu

t



, którą

odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta przy założonym

poziomie istotności α oraz liczbie stopni swobody

ν = n-1

.

36

Testy dla jednej wariancji

• Porównujemy wariancję w populacji z „wzorcową”

wartością



o2

• Hipotezy mają postać:

H

o

:



2

= 

o2

H

1

: postać hipotezy alternatywnej zależy od

sformułowania zagadnienia:

(a)



2

> 

o2

(b)



2

< 

o2

(c)



2

 

o2

Postać statystyki i dalszy przebieg testu zależy od

rozmiaru próby.

37

Próby małe

• Wyznaczamy wartość statystyki

s

2

jest tutaj wariancją z próby a

n

– liczebnością próby. Statystyka

ta ma rozkład chi-kwadrat - zatem wartość krytyczną



kryt2

odczytujemy z tablic rozkładu chi-kwadrat dla

v = n − 1

stopni

swobody i dla poziomu istotności



gdy hipoteza alternatywna

H

1

ma postać (a), w przypadku (b) – odczytujemy z tablic

  w przypadku (c) - odczytujemy dwie wartości:                       
oraz     

Przedział krytyczny

• W przypadku (a) jest prawostronny, czyli gdy



2

>



kryt2

                         

odrzucamy

H

0

, w przypadku przeciwnym – nie ma podstaw do jej

odrzucenia.

• W przypadku (b) – przedział krytyczny jest lewostronny
• (dla   



2

<

kryt2

 odrzucamy

H

0

),

• W przypadku (c) – przedział krytyczny jest obustronny.
        

38

Próby duże

• Dla liczebności próby

n > 30

możemy przekształcić

wyznaczoną w poprzednim punkcie statystykę chi-kwadrat w

statystykę z o rozkładzie normalnym obliczając:

•

• W powyższym wzorze

χ2

oraz

v = n − 1

oznaczają statystykę

chi-kwadrat i jej liczbę stopni swobody wyznaczone tak, jak

w poprzednim paragrafie (dla prób małych).

• Wartości krytyczne znajdujemy z tablic dystrybuanty

rozkładu normalnego.Jeżeli

F

n

(z)

jest dystrybuantą

standardowego rozkładu normalnego, a

F

n-1

(z)

- funkcją

odwrotną do dystrybuanty, natomiast

α

- założonym

poziomem istotności – to odczytujemy:

• dla przypadku (a)
• w przypadku (b)
• w przypadku (c) mamy 2 wartości graniczne:

oraz

z

kryty2

= − z

kryt1

39

Inne testy wariancji

• Testy dla dwóch wariancji
• Testy dla dwóch prób niezależnych
• Testy dla dwóch prób zależnych
• Testy dla wielu wariancji

40

Testy nieparametryczne dla

współczynnika korelacji

2

2

2
Y

2
X

)

Y

Y

(

)

X

X

(

)

Y

Y

)(

X

X

(

)

Y

,

X

cov(

r

















Formułujemy zerowa hipotezę

H

o

: „Brak korelacji

pomiędzy zmienną

X

a zmienną

Y

:

Ustalamy poziom istotności :

1-

Hipotezę testujemy przy pomocy testu studenta o

N-2

stopniach swobody (N jest długością wektorów

X i Y)

Wyznaczamy wartość:

2

r

1

2

N

r

t







41

• Kolejno obliczamy wartości krytyczną testu t



• Jeśli t>t



to hipotezę zerową odrzucamy w przeciwnym razie

przyjmujemy.

• Alternatywnie możemy zdefiniować krytyczną wartość

współczynnika korelacji (na podstawie ostatniego wzoru):

2

c

t

2

N

t

r











42

Przykład

• Mamy zbiór danych meteorologicznych zawierający:

temperaturę na stacji A ora na stacji B.

• Testujemy hipotezę, że obie wielkości nie są ze sobą

skorelowane na poziomie istotności =0.05.

• Wykujemy to w 2 przypadkach gdy bierzemy pod

uwagę jedynie 6 punktów pomiarowych (niebieskie
kwadraty na wykresie) oraz gdy bierzemy wszystkie
punkty (20)

Przepadek 1.

Obliczamy współ. korelacji:
r=0.47

Obliczamy wartość krytyczną
testu (dla N=6) studenta

t



=tinv(1-0.05/2,4).

Następnie krytyczna wartość
współ. korelacji r

c

=0.72.

r

c

> r wiec hipotezę

przyjmujemy.

43

• Przepadek 2 (wszystkie punkty).
• Obliczamy współ. korelacji: r=0.84
• Obliczamy wartość krytyczną testu (dla N=20)

studenta
t



=tinv(1-0.05/2,4).

• Następnie krytyczna wartość współ. korelacji

r

c

=0.44.

• r

c

< r wiec hipotezę odrzucamy. Dane są

skorelowane!!