Kolokwium I

rok 2011/2012

Zadanie 1:

Wykazać, że pole wektorowe

jest potencjalne dla x>0, y>0 i z

. Wyznaczyć potencjał tego pola

a następnie obliczyć całkę

gdzie łuk L : { y=x, z=(1-x)(2-x)} dla x

.

Rozwiązanie:

Aby sprawdzić, czy dane pole wektorowe jest potencjalne badam

jego rotację:

rot

=

=[-6z

2

(-2y

-3

)-4y

-3

3z

2

; -(

- ); 2(-2)x

-3

-(-4x

-3

)]=[0;0;0]

pole

jest polem potencjalnym

Ponieważ rot

=

gradf=[f

x

,f

y

,f

z

] gdzie

f

x

=

, f

y

=

, f

z

=

.



Obl ze e p te jału:

f

x

=

z2

-

/

f = z

2

-4y

+A(y,z) = z

2

+2yx

-2

+ A(y,z)

/’

y

f

y

=

A’

y

(y,z) =

+

A’

y

(y,z) = 4z

3

y

-3

/

A(y,z) = 4z

3

+B(z) = -2z

3

y

-2

+B(z)

f = z

2

+2yx

-2

+A(y,z) = z

2

+2yx

-2

-2z

3

y

-2

+B(z)

/’

z

f

z

= 2z -6z

2

y

-3

B’

z

(z) = 2z -6z

2

y

-2

B’

z

(z) = 0

/

B(z)=C

Stąd f= z

2

+2 yx

-2

-2 z

3

y

-2

+C.



Obl ze e ałk

1. Obl zam pu kt p zątk wy k ń wy łuku

dla x=1

x=1, y=1, z=0, zatem A(1,1,0)

dla x=2

x=2, y=2, z=0 zatem B(2,2,0)

2. P eważ bl zyłam już p te jał w p erw zej zęś zada a w em że

z

2

+2 yx

-2

-2 z

3

y

-2

]

=2

-2

)=-1

Odpowiedź:

Potencjał pola wektorowego

jest równy

f= z

2

+2 yx

-2

-2 z

3

y

-2

+C zaś

wynosi -1.

Autor: Karolina Sawicka, gr 10

23.10.2013