Kolokwium I

rok 2010/2011

Zadanie 2 :

Obliczy

ć moment bezwładności względem początku układu współrzędnych łuku, będącego

częścią okręgu

1

2

2





y

x

leżącego w drugiej ćwiartce układu współrzędnych, jeżeli gęstość masy

2

2

)

,

(

y

x

y

x







.

Rozwiązanie:

1)

Moment bezwładności łuku

L

względem początku układu :







L

def

dl

y

x

z

y

x

I

)

(

)

,

,

(

2

2

0



,

gdzie

)

,

,

(

z

y

x







jest

ciągłą gęstością liniową masy łuku gładkiego.

2) Sprowadzamy dane do

współrzędnych biegunowych.

Łuk

L

we współrzędnych biegunowych opisze się:

]

,

[

,

sin

)

(

,

cos

)

(

:

2

1





















r

y

r

x

L

Stąd otrzymamy :

]

,

2

[

,

sin

,

cos

















dla

y

x

, ponieważ r = 1 w tym przykładzie.

1

)

'

(

)

'

(

,

cos

'

,

sin

'

2

2











y

x

y

x





oraz

1

2

2





y

x







2

2

2

2

cos

sin

)

,

,

(





y

x

z

y

x

3)

Sprowadzamy całkę krzywoliniową do całki oznaczonej:







L

dl

y

x

y

x

I

)

(

)

,

(

2

2

0



=





















d

y

x

y

x

y

x

2

2

2

2

))

(

'

(

))

(

'

(

]

))

(

(

))

(

))[(

(

),

(

(

2

1







4)

Podstawiamy dane pod całkę oznaczoną i otrzymujemy:













2

2

2

sin

cos

d

=

























2

2

cos

1

sin

;

2

1

2

cos

cos

:

2

2









ąc

podstawiaj

=













 

























2

2

2

cos

1

2

1

2

cos

d

=

=

















2

2

2

cos

1

4

1

d

=





















2

1

4

cos

2

cos

:

2





ąc

podstawiaj

=



























2

2

1

4

cos

1

4

1

d

=













2

)

4

cos

1

(

8

1

d

=

=









2

8

1







2

4

sin

4

1

8

1



=

16

0

0

16

8















Odpowiedź:

Moment bezwładności względem początku układu współrzędnych danego łuku wynosi

16



.

Autor: Dagmara Klos, grupa 2

17.10.2013