Wzory na obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej

Pochodne podstawowych funkcji elementarnych:

0

)

(

=

′

c

(pochodna stałej)

x

x

e

e

=

′

)

(

1

1

)

(arctan

2

+

=

′

x

x

1

)

(

−

⋅

=

′

α

α

α

x

x

1

,

0

,

ln

(

)

≠

>

=

′

a

a

a

a

a

x

x

1

1

)

cot

arc

(

2

+

−

=

′

x

x

x

x

cos

)

(sin

=

′

x

x

1

)

(ln

=

′

x

x

cosh

)

(sinh

=

′

x

x

sin

)

(cos

−

=

′

a

x

x

a

ln

1

)

(log

=

′

x

x

sinh

)

(cosh

=

′

x

x

2

cos

1

)

(tan

=

′

2

1

1

)

(arcsin

x

x

−

=

′

x

x

2

cosh

1

)

(tanh

=

′

x

x

2

sin

1

)

(cot

−

=

′

2

1

1

)

(arccos

x

x

−

−

=

′

x

x

2

sinh

1

)

(coth

−

=

′

Przykładowo, ponieważ

1

)

(

−

⋅

=

′

α

α

α

x

x

, to w szczególności:

jeśli

x

y

=

, to

1

=

′

y

; jeśli

2

x

y

=

, to

x

y

2

=

′

; jeśli

x

y

=

, to

x

y

2

1

=

′

;

jeśli

1

1

−

=

=

x

y

x

, to

2

1

2

x

x

y

−

=

−

=

−

′

.

Pochodna funkcji pomnożonej przez stałą:

(

)

)

(

)

(

x

f

x

f

′

⋅

=

′

⋅

α

α

.

Pochodna sumy funkcji:

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

x

g

x

f

x

g

x

f

′

+

′

=

′

+

.

Pochodna iloczynu funkcji:

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

′

⋅

+

⋅

′

=

′

⋅

.

Pochodna ilorazu funkcji:

2

))

(

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

′

⋅

−

⋅

′

=

′













.

Pochodna funkcji złożonej:

jeżeli

)

(

(

x

g

f

y

=

, to

)

(

))

(

(

x

g

x

g

f

y

′

⋅

′

=

′

.

Przykładowo:

Jeśli

x

x

y

sin

2

⋅

=

, to

x

x

x

x

y

cos

sin

2

2

⋅

+

⋅

=

′

(pochodna iloczynu);

Jeśli

x

x

y

sin

3

=

, to

x

x

x

x

y

2

sin

cos

3

sin

3

−

=

′

(pochodna ilorazu);

Jeśli

x

x

y

5

2

−

=

, to

x

x

x

x

x

x

y

5

2

5

2

5

2

1

2

2

)

5

2

(

−

−

−

=

−

=

′

(pochodna funkcji złożonej).