Przygotowa la Joanna Grabowska na podstawie Szyma´

nski, Dr´

obka “Ma-

tematyka w szkole ´sredniej. Powt´orzenie i zbi´or zada´

n”

1

Pochodna funkcji

Za l´

o˙zmy, ˙ze funkcja f jest okre´slona na przedziale (a, b) oraz ˙ze x

o

∈

(a, b),

a ∆x jest liczba, dla kt´

orej (x

o

+ ∆x) ∈ (a, b). Liczbe ∆x nazywamy przy-

rostem argumentu, natomiast r´

o˙znice f (x

0

+ ∆x) − f (x

0

) nazywamy przy-

rostem warto´sci funkcji F i oznaczamy ∆f . Stosunek

∆f
∆x

=

f

(x

0

+∆x)−f (x

0

)

∆x

nazywamy ilorazem r´

o˙znicowym funkcji f odpowiadajacym przyrostowi ar-

gument o ∆x. Iloraz r´

o˙znicowy ma prosta interpretacje geometryczna. Dla

ustalonego x

0

i ustalonego ∆x punkty A = (x

0

, f

(x

0

)), B = (x

0

+∆x, f (x

0

+

∆x)) nale˙za do wykresu funkcji f. Prosta przechodzaca przez e punkty jest
tzw. sieczna.

Iloraz r´

o˙znicowy

∆f
∆x

jest r´

owny tangensowi kata jaki sieczna tworzy z

osia x. Jesli funkcja f jest ore´slona w przedziale (a, b) i x

0

∈

(a, b) i ist-

nieje sko´

nczona granica lim

∆x→0

f

(x

0

+∆x)−f (x

0

)

∆x

, to te granice nazywamy

pochodna funkcji w punkcie x

0

i oznaczamy f

′

(x

0

). W tym przypadku

m´

owimy r´

ownie˙z, ˙ze funkcja f jest r´

o˙zniczkowalna w punkcie x

0

. Z defini-

cji wynika, ˙ze pochodna funkcji w punkcie x

0

jest liczba rzeczywista, r´

owna

granicy

∆f
∆x

przy ∆x da˙zacym do zera. Czesto sadzi sie,˙ze styczna do krzywej

jest to prosta, kt´

ora ma z Ta krzywa dok ladnie jeden punkt wsp´

o lny. Nie

jest to poprawne okre´slenie stycznej, gdy˙z np ka˙zda prosta r´

ownoleg la do

osi symetrii paraboli ma z ta parabola dok ladnie jeden punkt wsp´

olny, ale

styczna do parboli nie jest. Styczna mo˙zna okre´sli´c w nastepujacy spos´

ob:

Je´sli funkcja f jest okre´slona w punkcie x

0

i w pewnym przedziale, kt´

orego

´srodkiem jest x

0

, a tak˙ze jest r´

o˙zniczkowalne w x

0

, to styczna do wykresu

funkcji f w punkcie P = (x

0

, f

(x

0

)) nazywamy prosta o r´

ownaniu:

y − f

(x

0

) = f

′

(x

0

)(x − x

0

)

Za przyjeciem takiej definicji stycznej przemawia nastepujace rozumowa-

nie. Je´sli ∆x da˙zy do zera, to punkt B da˙zy po wykresie funkcji do punktu
A. Ka˙zdemu po lo˙zeniu punktu B odpowiada sieczna przechodzaca przez B
i przez A. Zatem styczna do wykresu funkcji f w punkcie A = (x

0

, f

(x

0

))

mo˙zemy traktowa´c jako graniczne po lo˙zenie siecznej AB, gdy B dazy po
wykresie do A.

Stad wynika, ˙ze pochodna funkcji f w punkcie x

0

mo˙zna interpretowa´c

geometrycznie jako wsp´

o lczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji F

w punkcie A = (x

0

, f

(x

0

)).

1

2

Pochodna jako funkcja

Niech D

′

f

oznacza zbi´or wszystkich argument´ow x funkcji f, dla kt´

orych ist-

nieje pochodna f

′

(x). Rozpatrzmy funkcje, kt´

ora ka˙zdej liczbie x ∈ D

′

f

przy-

porzadkowuje f

′

(x). Funkcje te nazywamy pochodna funkcji f i oznaczamy

f’. W takim razie pochodna funkcji f jest funkcja, natomiast pochodna
funkcji f w punkcie x

0

jest liczba. Te dwa pojecia nalze˙zy odr´o˙znia´c.

[cf (x)]

′

= cf

′

(x)

[f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x)

[f(x) - g(x)]’ = f’(x) - g’(x)

[f(x) g(x)]’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)

f

′

(x)

g

′

(x)

=

f

′

(x)g(x)−f (x)g

′

(x)

g

2

(x)

g(x) 6= 0

2.1

Pochodne niekt´

orych funckji

1) (c)’ = 0, c - ustalona liczba rzeczywista
2) (x

a

)

′

= ax

a−1

; a ∈ R

3) (sin x)

′

= cos x

4) (cos x)’ = -sin x
5) (tgx)

′

=

1

cos

2

x

6) (ctgx)

′

= −

1

sin

2

x

7) (e

x

)

′

= e

x

8) (a

x

)

′

= a

x

lna

, a ∈ R

+

−

1

9) (lnx)

′

=

1
x

10) (log

a

x

)

′

=

1

xlna

2

3

Przyk ladowe zadania

3.1

Zadanie 1

Wyznaczy´c pochodna funkcji f (x) = x

2

+ 2x − 1

Rozwiazanie: Aby roziwaza´c to zadanie wyznaczamy iloraz r´o˙znicowy

funkcji.

f

′

(x) = lim ∆x → 0

f

(x+∆x)−f (x)

∆x

=

= lim ∆x → 0

[(x+∆x)

2

+2(x+∆x)−1]−(x

2

+2x−1)

∆x

=

lim ∆x → 0

[(∆x)

2

+2x∆x+2∆x)

∆x

=

lim ∆x → 0(∆x + 2x + 2) = 2x + 2

Znaczy to, ˙ze pochodna rozpatrywnej funkcji f jest funkcja f’okre´slona

wzorem f

′

(x) = 2x + 2. Inaczej (x

2

+ 2x − 1)

′

= 2x + 2

W praktyce wyznaczajac pochodnafunkcji korzystamy z odpowiednich

wzor´ow i twierdze´

n u latwiajacych obliczenia, podanych powy˙zej.

3.2

Zadanie 2

Wyznaczy´c pochodna funkcji f (x) =

x

2

−2x+3

x

2

+x+1

Rozwiazanie:

f

′

(x) =

(x

2

−2x+3)

′

(x

2

+x+1)−(x

2

+x+1)

′

(x

2

−2x+3)

(x

2

+x+1)

2

=

=

(2x−2)(x

2

+x+1)−(2x+1)(x

2

−2x+3)

(x

2

+x+1)

=

=

3x

2

−4x−5

(x

2

+x+1)

2

3.3

Zadanie 3

Wykaza´c, ˙ze (e

x

)

′

= e

x

Rozwiazanie: (e

x

)

′

= lim

∆x→0

e

x

+∆x

−e

x

∆x

=

= lim

∆x→0

e

x e

∆x

−1

∆x

=

lim

∆x→0

e

x

lim

∆x→0

e

∆x

−1

∆x

= e

x

lim

∆x→0

e

∆x

−1

∆x

Wyra˙zenie lim

∆x→0

e

∆x

−1

∆x

= 1.

3