AM2 semestr II wy kład 4

14.03.2012

12

FUNKCJE

WIELU

ZMIENNYCH

Przestrzeń R

n

Punkt przestrzeni n-wymiarowej będziemy oznaczać jedną literą

)

,

,

(

2

1

n

x

x

x

x





lub

)

,

,

(

2

1

n

x

x

x

P





.

Dla odróżnienia punktów używamy dodatkowego górnego wskaźnika

)

,

,

,

(

1

1
2

1

1

1

n

x

x

x

x





,

)

,

,

,

(

2

2

2

2

1

2

n

x

x

x

x





.

Odległość punktów

n

R

y

x



,

)

,

,

(

2

1

n

x

x

x

x





,

)

,

,

(

2

1

n

y

y

y

y





określamy wzorem

2

2

2

2

2

1

1

)

(

)

(

)

(

)

,

(

n

n

y

x

y

x

y

x

y

x

d















.

Otoczenie i Sąsiedztwo w R

n

Niech r oznacza dowolną liczbę dodatnią,

0

P ustalony punkt z

n

R .

Otoczenie U(P

0

, r) punktu P

0

o promieniu r jest zbiorem wszystkich punktów P, których odległość od

punktu P

0

jest mniejsza od r.

Inaczej zbiór ten nazywamy kulą o środku w punkcie P

0

i promieniu r.

Sąsiedztwo S(P

0

, r) punktu P

0

o promieniu r jest to zbiór wszystkich punktów P, dla których

r

P

P

d





)

,

(

0

0

.

Zatem

}

{

\

)

0

,

(

)

0

,

(

0

0

0

P

P

U

P

S



.

W

2

R otoczenie U(P

0

, r) jest wnętrzem koła o środku w P

0

i promieniu r.

W

3

R otoczenie U(P

0

, r) jest wnętrzem kuli o środku w P

0

i promieniu r.

Niech

n

R

Z



Punkt P



Z nazywamy punktem wewnętrznym zbioru Z, jeśli pewne otoczenie punktu P zawiera się w Z.

Zbiór punktów wewnętrznych zbioru Z nazywamy wnętrzem zbioru Z i oznaczamy intZ.

Punkt P nazywamy punktem brzegowym zbioru Z, jeśli w każdym otoczeniu punktu P znajduje się co
najmniej jeden punkt należący do Z i co najmniej jeden punkt nie należący do Z.
Punkt P może należeć do Z lub nie. Zbiór punktów brzegowych zbioru Z nazywamy brzegiem zbioru Z.

Punkt P



Z nazywamy punktem odosobnionym ( izolowanym ) zbioru Z, jeśli pewne sąsiedztwo punktu P

jest rozłączne z Z.

Punkt P nazywamy punktem skupienia zbioru Z, jeśli w każdym sąsiedztwie punktu P znajduje się punkt
należący do zbioru Z.

Zbiór Z nazywamy
- Otwartym, jeśli każdy punkt zbioru Z jest punktem wewnętrznym zbioru.
- Domkniętym, jeśli każdy punkt brzegowy zbioru Z należy do zbioru Z.
- Ograniczonym, jeżeli istnieje kula, w której zawiera się zbiór Z.

Zbiór otwarty, którego dwa dowolne punkty można połączyć łamaną zawartą w tym zbiorze nazywamy
obszarem.
Obszar ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.

AM2 semestr II wy kład 4

14.03.2012

13

D

EF

.

Ciąg punktów

)

(

k

x



,

2

,

1



k

przestrzeni

n

R jest zbieżny do punktu x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy

0

)

,

(

lim

0







k

k

x

x

d

.

Piszemy

0

lim

x

x

k

k







lub

0

x

x

k



.

T

W

.

Jeśli

)

,

,

,

(

2

1

k

n

k

k

k

x

x

x

x







,

2

,

1



k

,

)

,

,

,

(

0

0

2

0

1

0

n

x

x

x

x





to

0

lim

x

x

k

k







0

lim

:

0

i

k

i

k

x

x

k

i















.

Przykład 1
Naszkicować na płaszczyźnie kilka początkowych wyrazów ciągu

)

(

k

x



,

2

,

1



k

i wyznaczyć granice tych

ciągów.

a)















k

k

x

k

2

,

1

, b)















2

1

,

1

k

k

x

k

.

Wskazać krzywe na których leżą wyrazy tych ciągów.

D

EF

: FUNKCJA n ZMIENNYCH

Funkcją f n zmiennych

n

x

x

x



,

,

2

1

określoną w zbiorze

n

R

D



o wartościach w zbiorze R nazywamy

przyporządkowanie każdemu punktowi

D

x

x

x

n



)

,

,

(

2

1



dokładnie jednej liczby rzeczywistej

)

,

,

(

2

1

n

x

x

x

f



.

Oznaczamy

R

D

f



:

lub

)

,

,

(

2

1

n

x

x

x

f



dla

D

x

x

x

n



)

,

,

(

2

1



Granica funkcji

Niech f będzie funkcją określoną w zbiorze

n

R

D



, niech x

0

będzie punktem skupienia zbioru D.

D

EF

:

Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x

0

,

co zapisujemy

g

x

f

x

x





)

(

lim

0

jeżeli
według Heinego
dla każdego ciągu punktów

 

k

x

,

D

x

k



,

0

x

x

k



, zbieżnego do x

0

, ciąg





)

(

k

x

f

jest zbieżny do g.

według Cauchy’ego































g

x

f

x

x

d

D

x

)

(

)

,

(

0

:

0

0

0

.

D

EF

:

Granicą funkcji f w punkcie x

0

jest plus nieskończoność (minus nieskończoność),

co zapisujemy

)

(

)

(

lim

0









x

f

x

x

jeżeli
według Heinego
dla każdego ciągu punktów

 

k

x

,

D

x

k



,

0

x

x

k



, zbieżnego do x

0

, ciąg





)

(

k

x

f

jest rozbieżny do





 





.zbieżny do g.

według Cauchy’ego

A

x

f

x

x

d

D

x

A



















)

(

)

,

(

0

:

0

0





.

Przykład 2
Obliczyć granice

a)







2

)

0

,

2

(

)

,

(

lim

y

x

y

x

e

,

0

lim

2

)

0

,

1

(

)

,

(







y

x

y

x

e

AM2 semestr II wy kład 4

14.03.2012

14

b)

t

t

t

y

x

y

x

t

y

x

y

x

t

y

x

ln

lim

0

)

0

,

0

(

)

,

(

)]

(

0

[

)

ln(

lim

0

2

2

2

2

2

2

)

0

,

0

(

)

,

(

















































Wykazać, że nie istnieje granica funkcji

y

x

y

x

y

x

f







)

,

(

w punkcie

)

0

,

0

(

.

Wykresem funkcji

R

D

f



:

,

n

R

D



nazywamy zbiór









D

x

x

x

R

x

x

x

f

x

x

x

W

n

n

n

n









)

,

,

(

:

)

,

,

(

,

,

,

2

1

1

2

1

2

1







.

Dla

2



n









2

3

)

,

(

:

)

,

(

,

,

R

D

y

x

R

y

x

f

y

x

W









Wykresem funkcji dwóch zmiennych może być w przestrzeni R

3

pewna powierzchnia, wówczas

)

,

(

y

x

f

z



jest równaniem tej powierzchni.

Warstwica

Warstwicą funkcji

n

R

D

R

D

f





,

:

, odpowiadającą wartości c nazywamy zbiór





n

n

n

R

c

x

x

x

f

D

x

x

x







)

,

,

(

:

)

,

,

(

2

1

2

1





Dla

2



n

warstwicą powierzchni o równaniu

)

,

(

y

x

f

z



jest rzut prostokątny na płaszczyznę Oxy linii,

wzdłuż której płaszczyzna

c

z



przecina tę powierzchnię.

Przykład
Naszkicuj mapę warstwic dla funkcji
a)

2

2

)

,

(

y

x

y

x

f





Wykresem tej funkcji jest powierzchnia, która powstaje przez obrót paraboli

2

x

z



wokół osi 0z.

Nazywamy ją paraboloidą obrotową.

b)

2

)

,

(

x

y

x

f



Wykresem tej funkcji jest powierzchnia, która powstaje przez przesunięcie paraboli

2

x

z



dla

0



y

równolegle do osi 0y.

Ciągłość funkcji

D

EF

. Funkcja f n zmiennych określona w pewnym otoczeniu punktu x

0

jest ciągła w punkcie x

0

wtedy i tylko

wtedy, gdy

)

(

)

(

lim

0

0

x

f

x

f

x

x





.

Funkcja f jest ciągła w zbiorze A jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Tw (Weierstrassa 1815-1897)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w zbiorze domkniętym i ograniczonym, to istnieją w tym zbiorze punkty, w
których funkcja przyjmuje swoje kresy.

R

D

f



:

,

R

D



, istnieją punkty

D

x

x



2

1

,

takie, że

)

(

inf

)

(

1

x

f

x

f

D

x





,

)

(

sup

)

(

2

x

f

x

f

D

x





.

Tw. (Darboux 1842-1917)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w zbiorze domkniętym i ograniczonym oraz liczba q jest zawarta między liczbami

)

(

sup

)

(

inf

x

f

q

x

f

D

x

D

x









, to istnieje co najmniej jeden punkt

D

c



, taki że

q

c

f



)

(

.

zadanie
Wyznaczyć największą wartość funkcji

xy

y

x

f



)

,

(

w zbiorze





2

:

)

,

(

2

2







y

x

y

x

D

AM2 semestr II wy kład 4

14.03.2012

15

L

ITERATURA

Zbiory zadań

Banaś J., Wędrychowicz S. Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT
Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych czI, czII, PWN
Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna II, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław,
Podręczniki

Żakowski W., Kołodziej W., Matematyka cz II, WNT, podręczniki akademickie dla elektroniki
Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 2, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, matematyka dla

studentów politechnik
Leitner R., Zarys matematyki wyższej dla inżynierów, cz I, II, III, WNT
Dla ambitniejszych
Rudnicki R., Wykłady z analizy matematycznej, PWN 2006