AM2 semestr II wykład 5 21.03.2012

15

zadanie
1.Zbadaj ciągłość funkcji



















)

0

,

0

(

)

,

(

0

)

0

,

0

(

)

,

(

2

)

,

(

2

2

2

y

x

dla

y

x

dla

y

x

y

x

y

x

f

P

OCHODNE CZĄSTKOWE RZĘDU PIERWSZEGO

Niech

f będzie funkcją określoną w otoczeniu U punktu

)

,

,

,

,

,

,

,

(

0

0

1

0

0

1

0

2

0

1

0

n

i

i

i

x

x

x

x

x

x

x











,

0





i

x

będzie przyrostem i-tej zmiennej,

i=1,2,...,n takim, że punkt

U

x

x

x

x

x

x

x

x

n

i

i

i

i













)

,

,

,

,

,

,

,

(

0

0

1

0

0

1

0

2

0

1





,

)

,

(

0

x

x

d

x

i





jest odległością punktu x od x

0

.

Def.
Jeżeli istnieje skończona granica

i

x

x

x

f

x

f

i









)

(

)

(

lim

0

0

to nazywamy ją pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji f względem zmiennej

x

i

w punkcie x

0

i

oznaczamy symbolem

)

(

0

x

f

i

x



lub

)

(

0

x

x

f

i





.

Rozpiszmy definicje dla
n=2,

)

,

(

y

x

f

z



)

,

(

0

0

0

y

x

P



0





x

0





y

x

y

x

f

y

x

x

f

y

x

f

x

def

x

















)

,

(

)

,

(

lim

)

,

(

0

0

0

0

0

0

0

y

y

x

f

y

y

x

f

y

x

f

x

def

y

















)

,

(

)

,

(

lim

)

,

(

0

0

0

0

0

0

0

Z podanej definicji wynika, że obliczając

i

x

f



należy postępować tak, jak przy obliczaniu pochodnej funkcji

jednej zmiennej x

i

traktując pozostałe zmienne jak ustalone parametry.

D

EFINICJA

Gradientem funkcji f w punkcie

0

x nazywamy w

ektor pochodnych cząstkowych





)

(

,

),

(

),

(

)

(

0

0

0

0

2

1

x

f

x

f

x

f

x

gradf

n

x

x

x











Dla

2



n





)

,

(

),

,

(

)

,

(

0

0

0

0

0

0

y

x

f

y

x

f

y

x

gradf

y

x







.

Przykład

Obliczyć z definicji pochodne cząstkowe funkcji













0

0

0

1

)

,

(

xy

dla

xy

dla

y

x

f

w punkcie

)

0

,

0

(

.

Uwaga
Funkcja w punkcie

)

0

,

0

(

posiada obie pochodne cząstkowe

0

)

0

,

0

(





x

f

,

0

)

0

,

0

(





y

f

ale nie jest

ciągła w tym punkcie ponieważ nie istnieje granica funkcji w punkcie

)

0

,

0

(

.

Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych n=2

Jeżeli funkcja

)

,

(

y

x

f

z



ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie

)

,

(

0

0

0

y

x

P



, to



tg

y

x

f

x





)

,

(

0

0

,

AM2 semestr II wykład 5 21.03.2012

16

gdzie



jest kątem jaki tworzy styczna poprowadzona w punkcie





)

,

(

,

,

0

0

0

0

y

x

f

y

x

do krzywej

otrzymanej w wyniku przecięcia wykresu funkcji f płaszczyzną

0

y

y



z dodatnim kierunkiem osi

0x,



tg

y

x

f

y





)

,

(

0

0

gdzie



jest kątem jaki tworzy styczna poprowadzona w punkcie





)

,

(

,

,

0

0

0

0

y

x

f

y

x

do krzywej

otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji f płaszczyzną

0

x

x



z dodatnim kierunkiem osi

0y.

P

OCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Ogólnie

Pochodną cząstkową rzędu pierwszego pochodnej cząstkowej rzędu n nazywamy pochodną cząstkową rzędu
n+1.

P

OCHODNE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego pochodnych cząstkowych

i

x

f



i=1,2,...,n względem zmiennej

j

x

j=1,2,...,n nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego i oznaczamy symbolem

j

i

j

i

x

x

x

x

f

f

)

(









lub





























i

j

i

j

x

f

x

x

x

f

2

przy czym dla

j

i



piszemy



























i

i

i

x

f

x

x

f

2

2

Pochodną

j

i

x

x

f



gdy

j

i



nazywamy pochodną cząstkową mieszaną rzędu drugiego, jeśli

j

i



pochodną

czystą.

Dla

)

,

(

y

x

f

z



(

2



n

) można obliczać cztery pochodne cząstkowe rzędu drugiego: dwie czyste

yy

xx

f

f





,

, i

dwie mieszane

yx

xy

f

f





,

. Oznaczenia

x

x

xx

f

f

)

(



































x

f

x

x

f

2

2

y

y

yy

f

f

)

(



































y

f

y

y

f

2

2

y

x

xy

f

f

)

(





































x

f

y

x

y

f

2

x

y

yx

f

f

)

(





































y

f

x

y

x

f

2

x

y

x

f

y

x

x

f

y

x

f

x

x

x

def

xx





















)

,

(

)

,

(

lim

)

,

(

0

y

y

x

f

y

y

x

f

y

x

f

x

x

y

def

xy





















)

,

(

)

,

(

lim

)

,

(

0

Przykład

Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego

xz

f



,

zx

f



dla

yz

x

ze

z

y

x

f

2

)

,

,

(



Niech

n

R

X



Def. Funkcja f jest klasy

)

( X

C

n

jeżeli ma na zbiorze X ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n włącznie.

Tw. Schwarza

Jeżeli funkcja f ma w pewnym zbiorze otwartym ciągłe pochodne cząstkowe mieszane rzędu drugiego

i

j

j

i

x

x

x

x

f

f





,

i



j, to w każdym punkcie tego zbioru są one równe.

AM2 semestr II wykład 5 21.03.2012

17

O

KREŚLENIE RÓŻNICZKI

,

WZÓR

T

AYLORA

Rozważmy funkcję f n zmiennych

R

D

f



:

,

n

R

D



która ma w punkcie

0

x pochodne cząstkowe rzędu pierwszego. Niech

)

,

,

(

2

1

n

h

h

h

h





będzie wektorem z

n

R takim, że

D

h

x





0

.

D

EFINICJA

Wyrażenie

n

x

x

x

n

i

i

x

h

x

f

h

x

f

h

x

f

h

x

f

n

i

)

(

)

(

)

(

)

(

0

2

0

1

0

1

0

2

1























nazywamy różniczką zupełną funkcji f w punkcie

0

x

i oznaczamy symbolem

)

)(

(

0

h

x

df

.

Dla

2



n

różniczkę zupełną funkcji f w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

zapiszemy

dy

y

x

f

dx

y

x

f

dy

dx

y

x

df

y

x

)

,

(

)

,

(

)

,

)(

,

(

0

0

0

0

0

0









.

lub wprowadzając oznaczenia

h

dx



,

k

dy



k

y

x

f

h

y

x

f

k

h

y

x

df

y

x

)

,

(

)

,

(

)

,

)(

,

(









Różniczka jest iloczynem skalarnym wektorów





n

h

h

h

x

gradf

h

x

df

,

,

,

)

(

)

)(

(

2

1

0

0







Dla

2



n

)

,

(

)

,

(

)

,

)(

,

(

0

0

0

0

dy

dx

y

x

gradf

dy

dx

y

x

df





.

Przykład

Obliczyć różniczkę zupełną funkcji

2

3

)

,

(

y

x

y

x

f



w punkcie

)

1

,

1

(



dy

y

x

dx

y

x

df

)

2

(

)

3

(

3

2

2





dy

dx

dy

dx

df

2

3

)

,

)(

1

,

1

(







D

EFINICJA

Jeżeli funkcja f jest klasy

)

(D

C

m

, to wyrażenie

)

(

1

f

d

d

f

d

m

m





nazywamy różniczka zupełną rzędu m funkcji f .

Druga różniczka funkcji f dwóch zmiennych (

2



n

) wyraża się wzorem









2

2

'

'

2

2

)

(

dy

f

dxdy

f

dx

f

dy

dy

f

dx

f

dx

dy

f

dx

f

df

d

f

d

yy

xy

xx

f

f

y

y

x

x

y

x

yx

xy













































zapis macierzowy







































dy

dx

f

f

f

f

dx

dx

f

d

yy

yx

xy

xx

2

Z uwagi na to że funkcja f jest klasy

)

(

2

D

C

(

yx

xy

f

f







) macierz drugich pochodnych cząstkowych

jest symetryczna
Trzecia różniczka funkcji f klasy

)

(

3

D

C

jest równa

3

2

2

3

2

3

3

3

)

(

dy

f

dy

dx

f

dy

dx

f

dx

f

f

d

d

f

d

yyy

xyy

xxy

xxx































Ze względu na podobieństwo prawej strony do wzoru dwumianowego Newtona stosujemy zapis
symboliczny





3

3

dy

f

dx

f

f

d

y

x









Przykład

Obliczyć druga różniczkę funkcji

2

3

)

,

(

y

x

y

x

f



.

AM2 semestr II wykład 5 21.03.2012

18

dy

y

x

dx

y

x

df

)

2

(

)

3

(

3

2

2















 



2

3

2

2

2

3

2

2

2

3

2

2

3

2

2

2

2

)

6

(

2

)

6

(

)

2

(

)

6

(

)

6

(

)

6

(

)

2

(

)

3

(

)

2

(

)

3

(

)

(

dy

x

dxdy

y

x

dx

xy

dy

dy

x

dx

y

x

dx

dy

y

x

dx

xy

dy

dy

y

x

dx

y

x

dx

dy

y

x

dx

y

x

df

d

f

d

y

x































Niech

n

R

D

R

D

f





,

:

TW. (wzór Taylora z różniczką rzędu m)
Jeżeli funkcja f jest klasy

m

C

w otoczeniu U punktu

0

x

, to dla każdego punktu

U

h

x

x







0

istnieje taki punkt

)

(

0

0

x

x

t

x

c







,

)

1

,

0

(



t

, że

)

)(

(

!

1

)

)(

(

)!

1

(

1

)

)(

(

!

3

1

)

)(

(

!

2

1

)

)(

(

)

(

)

(

0

1

0

3

0

2

0

0

h

c

f

d

m

h

x

f

d

m

h

x

f

d

h

x

f

d

h

x

df

x

f

x

f

m

m





















.

Uwagi: punkt c leży na odcinku łączącym punkty

0

x

,

x

.

Wyrażenie

)

)(

(

)!

1

(

1

)

)(

(

!

3

1

)

)(

(

!

2

1

)

)(

(

)

(

)

(

0

1

0

3

0

2

0

0

1

h

x

f

d

m

h

x

f

d

h

x

f

d

h

x

df

x

f

h

w

m

m





















jest wielomianem stopnia

1



m

n zmiennych

)

,

,

,

(

2

1

n

h

h

h



.

Dla

2



n

,

2



m

,

)

1

,

0

(



t

2

2

0

0

0

0

0

0

)

,

(

2

1

)

,

(

)

,

(

2

1

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

dy

y

x

f

dxdy

y

x

f

dx

y

x

f

dy

y

x

f

dx

y

x

f

y

x

f

y

x

f

c

c

yy

c

c

xy

c

c

xx

y

x























gdzie

0

x

x

dx





,

0

y

y

dy





,

)

,

(

)

,

(

)

,

(

0

0

0

0

y

y

x

x

t

y

x

y

x

c

c









,

)

1

,

0

(



t

. Punkt

)

,

(

c

c

y

x

jest

punktem odcinka o końcach

)

,

(

y

x

i

)

,

(

0

0

y

x

.

Przykład

Napisać wzór Taylora z trzecia resztą dla funkcji

y

x

x

y

x

f

ln

)

,

(



w punkcie (e,1).

Zastosowanie różniczki funkcji do obliczania przybliżonej wartości funkcji
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie

0

x , to

df

f





)

)(

(

)

(

)

(

0

0

0

h

x

df

x

f

h

x

f







Dla

2



n

dy

y

x

f

dx

y

x

f

y

x

f

dy

y

dx

x

f

y

x

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

0

0

0

0

0

0

0

0















Przykład
a) Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji

3

2

)

,

(

y

x

y

x

f





w punkcie (1,2).

b) Obliczyć przybliżoną wartość

3

2

95

,

1

03

,

1



.